Unterrichtseinsichten - Schuljahr 2010/2011 - Physik 11PH1e + 11Sf6

Schwingungen

• Einführung in das Thema Schwingungen mit Berechnungen zu nicht-harmonischen Schwingungen
• Hin- und Herpendeln eines Luftkissengleiters mit konstanter Geschwindigkeit
• Springen eines Flummi-Balles
• Gleiten auf zwei schiefen Ebenen
• Laden des Arbeitsblattes durch Klick auf das Bild
  
  

• Harmonische Schwingung
  Als Beispiel für eine harmonische Schwingung haben wir das Federpendel kennengelernt.
  
  Einfache Versuche zeigten uns:
• Die Schwingungsdauer T eines Federpendels hängt von der Masse m des schwingenden Körpers ab.
  Je größer die Masse, desto größer auch die Schwingungsdauer.
• Die Schwingungsdauer T eines Federpendels hängt von der Federhärte der Schraubenfeder ab.
  Je härter die Feder, desto kleiner die Schwingungsdauer.
• Die Schwingungsdauer hängt nicht von der Auslenkung des Federpendels ab.
• Wiederholung bzw. Einführung zu den Größen der Kreisbewegung
• Die Geschwindigkeit v, mit der sich ein Körper auf einem Kreis bewegt, nennt man Bahngeschwindigkeit.
• Da die Bahngeschwindigkeit vom Radius abhängt, definiert man zur Beschreibung einer Kreisbewegung eine Größe, die unabhängig vom Radius ist, die Winkelgeschwindigkeit.
  Die Winkelgeschwindigkeit ω ist dadurch festgelegt, welche Winkelgröße pro Zeit zurückgelegt wird:
• Betrachtet man einen gesamten Umlauf, so wurde der Winkel 2π (im Bogenmaß) zurückgelegt in der Zeit T (Umlaufdauer).
  Damit ergibt sich  .
• Die Bewegung eines schwingenden Federpendels sieht zunächst sehr kompliziert aus, da sich die Geschwindigkeit des Pendels ständig ändert.
  Der Vergleich mit einer Kreisbewegung mit konstanter Winkelgeschwindigkeit zeigt jedoch, dass die senkrechte Komponente bei der Kreisbewegung genau der Schwingung des Federpendels entspricht.
        Download der GeoGebra-Datei
  Die senkrechte Komponente s lässt sich angeben als r·sin α, wobei r gleich der maximalen Auslenkung s_m ist.
  Mit α=ω·t und unter Beachtung der Tatsache, dass s von der Zeit abhängt, kann als Schwingungsgleichung geschrieben werden .
• Hausaufgabe: Unter Beachtung, dass die Geschwindigkeit v die 1. Ableitung des Weges nach der Zeit und die Beschleunigung die 1. Ableitung der Geschwindigkeit nach der Zeit ist, sollen v(t) und a(t) berechnet werden.

• Zur Erinnerung: Produktregel, Quotientenregel und Kettenregel 
• Lösung der Hausaufgabe:
  
• Wir erkennen, dass das schwingende Federpendel eine für uns neue Bewegungsform ausführt, da weder die Geschwindigkeit noch die Beschleunigung konstant sind.
  Da die Beschleunigung sich im Lauf der Zeit ständig ändert, muss ständig eine Kraft mit wechselnder Stärke wirken. Hier ist es die Federkraft.
  Mit der Newtonschen Bewegungsgleichung F=m·a und dem Hookeschen Gesetz F=-D·s und dem Wissen um die Identität dieser beiden Kräfte gilt:
  
• Die Schwingungsgleichung kann also folgendermaßen geschrieben werden:
• Mit lässt sich nun auch die Schwingungsdauer in Abhängigkeit von den Gerätekonstanten m und D angeben:
  
  Mit einer Messreihe haben wir diesen Zusammenhang bestätigt.

• Registrierung einer Pendelschwingung mit einem Schreib-Pendel:
   
  Es sieht so aus, als wäre eine Sinuskurve Grundlage des Schwingungsgraphen.
• Theoretische Untersuchung dieses Vorgangs:
  Planfigur:
  Hausaufgabe: Wenn die Schwingung harmonisch ist, dann muss die Rückstellkraft F proportional zur Auslenkung s sein.
  Der funktionale Zusammenhang zwischen F und s ist aufzustellen.

• Rechnung zum Pendelversuch der letzten Stunde (siehe Skizze oben).
  Das in der Rechnung untersuchte Pendel heißt auch mathematisches Pendel.
  Darunter versteht man ein idealisiertes Pendel, dessen Masse in einem Punkt vereinigt ist und dessen Faden/Stange die Masse 0 hat.
  
  Den Zusammenhang zwischen s und α erhält man über eine Verhältnisgleichung für Kreisbögen und Winkel:
  
  Gibt man den Winkel α im Bogenmaß an, so folgt:
  
• Damit ergibt sich für den funktionalen Zusammenhang zwischen F und s:
  Die Pendelschwingung ist also keine harmonische Schwingung, da sonst gelten müsste F~s. Hier ist aber F~sinα.
• Für kleine Winkel α (kleiner als ca. 10°) gilt allerdings in guter Näherung α=sinα, so dass man näherungsweise schreiben kann
  
  Setzt man den konstanten Faktor D in die Schwingungsgleichung ein, so erhält man
  
  Die Schwingungsdauer ist also nur abhängig von der Länge L des Fadens und vom Ortsfaktor g, nicht aber von der Masse des schwingenden Körpers und der Auslenkung.
• Den Unterschied zwischen den Schwingungen eines mathematischen Pendels und eines harmonischen Pendels kann man sehr schön simulieren mit dem Applets von Prof. Peter Junglas:
      
  Hinweis: Das Applet zum mathematischen Pendel ist durch das Applet Mathematical Pendulum with Random Force ergänzt worden:
  Der Bewegung ist ein "Rauschen" unterlegt worden, das einer leichten äußeren Kraft entspricht, die in nicht vorhersagbarer Weise zufällig das Pendel beeinflusst.
  Damit wird das Pendel nicht mehr stehen bleiben, wenn es sich genau in der höchstmöglichen Position befindet. Nach kurzer Zeit wird es nach links oder rechts schwingen.
  Bitte ausprobieren!
  
• Mehrere Schwingungen können sich überlagern. Die Amplitude der Schwingung ermittelt man durch Addition der Einzelamplituden.
  Siehe dazu die GeoGebra-Anwendung:
  

• Diskussion des mathematischen Pendels
  Näherungsweise (für kleine Auslenkungen) führt das mathematische Pendel harmonische Schwingungen aus.
  Dazu muss der Unterschied zwischen sin α und α "klein" sein. Aber was bedeutet "klein"?
• In der Simulation (2011-02-04) wurde rechts ein maximaler Auslenkwinkel von etwa 70° eingestellt.
  Selbst bei diesem "großen" Winkel liegt noch fast eine harmonische Schwingung vor, was man daran erkennen kann, dass sich für die Geschwindigkeit (rötliche Kurve) fast eine Kosinuskurve ergibt.
• In der linken Simulation betrug der maximale Winkel etwas über 140°.
  Hier ist die Schwingung sicher nicht mehr harmonisch, da die Geschwindigkeitkurve etwa einer Dreieckskurve ergibt.
  Die schrägen Flanken deuten auf eine Ableitung hin, die fast einer linearen Funktion entspricht. Die grüne Kurve setzt sich also angenähert aus Parabelstücken zusammen.
• Überprüfung der Eigenschaft "näherungsweise harmonisch" mit GeoGebra:
           
  Die grünen "Messkurven" in den Simulationen (hier rötlich dargestellt) werden durch eine Sinus-Funktion der Art f(x)=a·sin(b·x+c)+d (hier in grün) angenähert.
  Während die Schwingung mit der kleineren Auslenkung (rechts) vollständig vom Funktionsgraphen überdeckt wird, gelingt das im Fall der größeren Auslenkung nicht mehr.
  Aber auch hier erkennt man noch die Tendenz zur Sinuskurve.
  Wer die Annäherung selbst ausprobieren möchte, kann das mit folgendem GeoGebra-Arbeitsblatt durchführen.
   
  Die Bilder der Simulation können verschoben werden, die Form der Sinuskurve kann mit den Parametern a, b, c und d verändert werden.
  
• Erzwungene Schwingungen, Resonanz
• Pendel unterschiedlicher Länge
   
  Am Tonnenfuß wird die waagrechte Stange hin- und hergedreht.
  Je nach Frequenz schwingen die Pendel mit, deren Eigenfrequenz gerade getroffen wurde, im Bild ist das beim 2. Pendel von rechts der Fall.
• Schwingungserreger mit unterschiedlich langen Blattfedern
   
  Der Schwingungserreger (Lautsprecher) kann mit dem Sinusgenerator durchgestimmt werden.
  Bei Frequenzen, denen die Resonanzfrequenzen der Blattfedern entsprechen, schwingen die Blattfedern stark mit, hier links unten.
• Pohlsches Drehpendel
   
  Hier wird durch einen Motor eine Stange waagrecht hin und hergeschoben, wodurch über die Spiralfeder das Drehpendel angetrieben wird.
  Katharina hat es in kurzer Zeit geschafft, die "richtige" Frequenz zu finden, sodass das Drehpendel bis zum Anschlag ausgelenkt wurde.
• Bei allen Versuchen (einschließlich eines Pendels, bestehend aus Faden und Holzkugel) war folgendes "Gesetz" zu finden.
  Um eine große Pendelauslenkung zu erzwingen, muss die anregende Schwingung um eine Viertel Schwingung (Phasendifferenz π/2) vorherlaufen.
  Bei der Phasendifferenz 0 schwangen beide Schwingungen im Gleichtakt. Es wurde dabei fast keine Energie von der einen Schwingung auf die andere Schwingung übertragen.
  Ebenso wurde bei der Phasendifferen π fast keine Energie übertragen. Dann schwangen die Schwinger gegeneinander.
• Dass Schwingungen auch anders als durch eine weitere Schwingung angeregt werden können, haben wir am Beispiel des Weihrauchkessels in der Kathedrale von Santiago de Compostela gesehen.
  Hier der Film zur Schwingung des Weihrauchkessels.
  Die Anregung der Schwingung geschieht hier durch Verkürzung des Seils beim Heraufschwingen und der Verlängerung des Seils am Umkehrpunkt des Pendels.
  Man könnte die Anregung auch als Rechteckschwingung auffassen.

• Theoretische Aufarbeitung der Versuche aus der letzten Stunde.
• Weiteres Beispiel für Resonanz:
  Je nach Frequenz werden verschiedene Teile des Autos (Kotflügel, Achsen, usw.) zum heftigen Schwingen angeregt.
  
• Betrachtungen zum stabilen, labilen und indifferenten Gleichgewicht.
• Film zum Thema Resonanzkatastrophe (Tacoma Narrows Bridge)

• Noch ein Beispiel zu erzwungenen Schwingungen, bei dem sich zwei Schwingungen abwechselnd gegenseitig anregen:
  Wilberforce-Pendel
   
  Das Pendel schwingt einerseits als Masse-Feder-Pendel, andererseits als Drehpendel.
  Durch die Drehung wird die Schraubenfeder verlängert und verkürzt: Es wird eine Auf- und Abbewegung erzeugt.
  Durch die Auf- und Abbewegung wird die Feder etwas verdrillt: Es entseht eine Drehbewegung.
  Beide Schwingungen haben dieselbe Schwingungsdauer und können deshalb besonders gut Energie austauschen, weil die zum Anregen notwendige Phasendifferenz von π/2 über längere Zeit aufrecht erhalten werden kann.