Unterrichtseinsichten - Schuljahr 2010/2011 - Mathematik 9c

Vierfeldertafeln und Baumdiagramme

• Bei einem Verbrechen wurden dem Täter einige Haare ausgerissen.
  10 Personen können der Täter gewesen sein, eine Person wird aber nur gefangen.
  Ein Test zeigt, dass die Haare von der Person stammen können.
  Bekannt ist, dass der Test mit 100% Sicherheit das richtige Ergebnis zeigt, wenn das Haar wirklich von der Person stammt.
  Stammt das Haar nicht von der Person, zeigt der Test in 1/3 aller Fälle trotzdem eine Übereinstimmung an.
  Frage: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei einem positiven Testausgang (die Haare sind identisch) die Person der Täter ist?
• Lösung: Es wird unterschieden zwischen "Person ist a) schuldig, b) unschuldig" und zwischen "Testergebnis ist a) positiv + , b) negativ -"
• Vierfeldertafel:
  
• Zugehörige Baumdiagramme in der nächsten Stunde.

• Baumdiagramme zur letzten Stunde:
        
• Wir haben gesehen: Die Wahrscheinlichkeit für einen Ausgang des 2-stufigen Versuchs erhält man, indem man die Wahrscheinlichkeiten entlang eines Pfades multipliziert.
• In der ersten Verzweigung stehen die Wahrscheinlichkeiten p(s)=p(schuldig), p(us)=p(unschuldig), p(+)=p(Testergebnis ist positiv) und p(-)=p(Testergebnis ist negativ).
• In der zweiten Verzwigung stehen die bedingten Wahrscheinlichkeiten, z.B. p_s(+) für "Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Test positiv ausfällt, unter der Bedingung, dass der Täter schuldig ist".
• Allgemein sieht die Berechnung so aus: p(A)·p_A(B)=p(A und B)
  Die bedingte Wahrscheinlichkeit p_A(B) erhält man daraus zu .
• Ermitteln der Werte einer 4-Felder-Tafel über ein Gleichungssystem
• Aufgabe:
  45% aller Schüler/innen einer Schule kommen von außerhalb zum Unterricht.
  Die auswärtigen Mädchen haben einen Anteil von 60% an allen Mädchen, 52,5% aller Jungen kommen von außerhalb.
• Lösung:
  Nicht alle Werte der 4-Felder-Tafel lassen sich unmittelbar berechnen. Es werden deshalb für die Anzahl aller Mädchen und aller Jungen die Variablen M und J verwendet und damit die 4-Felder-Tafel aufgestellt:
  
  Nun sucht man sich 2 Gleichungen für ein Gleichungssystem heraus, in denen jeweils die Variablen M und J vorkommen.
  Aus diesem Gleichungssystem berechnet man dann die Werte für M und J:
  
  Daraus folgt die vollständige 4-Felder-Tafel:
  
  Aus dieser Tafel kann man z.B. entnehmen, dass von den Schüler(inne)n am Ort etwa 2/3 Mädchen und nur 1/3 Jungen sind, während bei den auswärtigen Schüler(inne)n die Anzahl der Mädchen und Jungen etwa ausgeglichen sind.

• Übungsaufgaben zu den Themen: Vierfeldertafel, Baumdiagramme aus Vierfeldertafel erstellen.

• Rückgabe der Klassenarbeit 2  [ Aufgaben | Lösungen ]
• Wiederholung zu Baumdiagrammen und Vierfeldertafel
• Die Wahrscheinlichkeiten der ersten Verzweigung im Baumdiagramm erscheinen in der Vierfeldertafel ganz rechts oder ganz unten (Summen).
• Die Wahrscheinlichkeiten für die vollständigen Pfade des Baumdiagramms (Produkt der Wahrscheinlichkeiten entlang der Pfade) erscheint in der Vierfeldertafel in der Mitte.
• Die Wahrscheinlichkeiten der zweiten Verzweigung im Baumdiagramm erscheinen in der Vierfeldertafel nicht direkt, sondern müssen berechnet werden (Wert aus der Mitte dividiert durch Wert am Rand).
• Hausaufgabe: Seite 113 Aufgabe 4

• Wiederholung und weitere Übung zu Baumdiagrammen und Vierfeldertafeln
  Hier noch einmal das in der letzten Stunde Besprochene (2011-01-10) symbolisch in Baumdiagrammdarstellung.
  Zunächst wird überprüft, ob das Kriterium K1 erfüllt ist oder nicht (K1ja und K1nein), dann wird nach dem Kriterium K2 unterschieden (K2ja und K2nein).
  
• Aufgabe:
  Die Zusammensetzung des Inhalts zweier Kisten ist bekannt: Kiste 1 enthält 7 rote und 3 gelbe Kugeln, Kiste 2 enthält 2 rote und 8 gelbe Kugeln.
  Es steht nur eine Kiste zu Untersuchungszwecken zur Verfügung, deren Inhalt aber nur so untersucht werden darf:
  Eine Kugel wird entnommen und deren Farbe festgestellt. Danach wird die Kugel wieder zurückgelegt.
  Da man zunächst gleichwahrscheinlich ist, die Kiste 1 oder 2 vor sich zu haben, wird ausgegangen von p(Kiste1)=0,5 und p(Kiste2)=0,5 (siehe links unter "alt").
  
  In der Mitte sind die Belegungszahlen für die Kisten 1 und 2 berücksichtigt.
  Von oben nach unten sind an den Pfaden eingetragen p_Kiste1(rot)=7/10=0,7 ; p_Kiste1(gelb)=3/10=0,3 ; p_Kiste2(rot)=2/10=0,2 ; p_Kiste2(gelb)=8/10=0,8.
  Damit ergeben sich durch Pfad-Multilplikation die Wahrscheinlichkeiten p(Kiste1 ^ rot)=0,35 ; p(Kiste1 ^ geöb)=0,15 ; p(Kiste2 ^ rot)=0,10 ; p(Kiste2 ^ gelb)=0,40.
  Angenommen, es wurde als erstes eine gelbe Kugel gezogen, dann kann man berechnen, wie groß die daraus folgende Wahrscheinlichkeit ist, Kiste 1 oder Kiste 2 vor sich zu haben:
  Es gilt p(gelb)=p(Kiste1 ^ gelb)+p(Kiste2 ^ gelb)=0,15+0,40=0,55.
  Weiter gilt p_gelb(Kiste1)=p(Kiste1 ^ gelb)/(p(Kiste1 ^ gelb)+p(Kiste2 ^ gelb))=0,15/(0,15+0,40)=0,15/0,55=0,27
  und p_gelb(Kiste2)=p(Kiste2 ^ gelb)/(p(Kiste1 ^ gelb)+p(Kiste2 ^ gelb))=0,40/(0,15+0,40)=0,40/0,55=0,73
  Setzt man nun diese Wahrscheinlichkeiten für p(Kiste1) und p(Kiste2) ganz links ein, kann man mit dem Ziehen einer weiteren Kugel analog zu der oben geschilderten Rechnung immer weitere Wahrscheinlichkeiten für p(Kiste1) und p(Kiste2) berechnen, die von Versuch zu Versuch immer besser auf die Identität der vorliegenden Kiste deuten.
  
  Hier die Ergebnisse nach etwa 15 mal Ziehen mit Zurücklegen.
  Das Ergebnis deutet mit sehr großer Sicherheit darauf hin, dass die Kiste 1 untersucht wurde.
  Zum Ausprobieren zu Hause kann das benutzte Delphi-Programm durch Klick auf die Bilder heruntergeladen werden.
• Hausaufgabe: Seite 114 Aufgabe 9a

• Übungsaufgaben zu Baumdiagrammen und Vierfeldertafeln
• Beim Aufstellen der Vierfeldertafel beachten:
• Woraus besteht die Grundmenge aller betrachteten Elemente?
• Nach welchen Kriterien werden die Elemente unterschieden?
• Bezieht sich eine angegebene Wahrscheinlichkeit auf die gesamte betrachtete Menge oder auf eine Teilmenge?
• Die Wahrscheinlichkeiten an der 2. Verzweigung des Baumdiagramms stehen nicht in der Vierfeldertafel, sondern müssen durch Division gebildet werden ("Mitte" dividiert durch "Rand").

• Übungsaufgaben zu Baumdiagrammen und Vierfeldertafeln

• Weitere Widerholungen zu Baumdiagrammen und Vierfeldertafeln

• Wiederholung zur Arbeit

• Klassenarbeit 3  [ Aufgaben | Lösungen ]