Unterrichtseinsichten - Schuljahr 2010/2011 - Mathematik 9c

Figuren und Körper

• Zusammenhang zwischen Umfang und Durchmesser beim Kreis
  
  In Gruppen habt Ihr die Umfänge und die Durchmesser verschiedener Kreise ausgemessen.
  Für die Messung des Umfangs haben mehrere einen Bindfaden um den Kreis gelegt und dann die Länge des straffgezogegen Bindfadens mit dem Maßstab abgemessen.
  Eine Gruppe hat den Kreis einfach auf dem Maßstab abgerollt.
  Wertetabelle:
  
• Die Werte für jeden Kreis wurden durch die Grundrechenarten verknüpft.
  Wir sahen, dass sich bei jedem Kreis fast dasselbe Ergebnis ergibt, wenn man die beiden Messwerte dividiert.
  Dass das so sein muss, haben wir uns nachträglich an den Strahlensätzen klar gemacht:
  Den Umfang kann man durch Abrollen oder Abmessen mit dem Bindfaden zu einer geraden Linie machen und zwei Strecken verändern sich bei Vergrößerung oder Verkleinerung proportional zueinander.
• Da sich für jeden denkbaren Kreis bei Division von Umfang und Durchmesser immer derselbe Wert ergibt, hat man sich einen besonderen Namen für den Quotienten ausgedacht: π (pi).
  Ein genauerer Wert für π ist 3,14159265
• Wie man den Wert so genau und noch genauer bestimmen kann, werden wir in der nächsten Stunde kennenlernen. Man nähert dazu den Kreisumfang durch Viereckke, Sechsecke oder allgemein durch n-Ecke an.

• Als erstes Objekt mit gekrümmten Rändern betrachteten wir in der letzten Stunde Kreise mit der Aufgabe, den Umfang eines Kreises mit dem Radius r zu bestimmen.
  Näherungsweise sollte dabei der Kreis von innen durch gleichseitige Dreiecke, Vierecke und Sechsecke angeglichen werden.
  
• Als Dokumentation und Ergänzung hier die Rechnungen.
  Ergänzt sind die Rechnungen für das Umbeschreiben des Kreises mit einem n-Eck.
  Bei jeder Figur werden die Seitenlängen s der einbeschriebenen und S der umbeschriebenen Figur berechnet und daraus der Umfang der Figuren ermittelt.
• Einbeschriebenes und umbeschriebenes Dreieck (ausgenutzt wird, dass M der Schnittpunkt der Seitenhalbierenden ist und dass dieser Schnittpunkt die Seitenhalbierenden im Verhältnis 1:2 teilt).
• einbeschriebenes Dreieck
  
  
  
• umbeschriebenes Dreieck
  
  
  
• Einbeschriebenes und umbeschriebenes Viereck
• einbeschriebenes Viereck
  
  
• umbeschriebenes Viereck
  
  
  
• Einbeschriebenes und umbeschriebenes Sechseck
• einbeschriebenes Sechseck
  
  
• umbeschriebenes Sechseck
  
  
• Übersicht über die bisher erhaltenen Ergebnisse:
  
  Je größer das n des n-Ecks, desto besser die Eingrenzung des Wertes für den Kreisumfang.
  Da dieses Verfahren aber sehr zeitaufwändig ist, haben wir uns ein effektiveres Vorgehen ausgedacht.
  Die Rechnungen in der Stunde sind in einer umfangreicheren Abhandlung zusammengefasst: Berechnung des Kreisumfangs - Kreiszahl π - Subtraktionskatastrophe 

• In der letzten Stunde haben wir den Umfang eines Kreises zu U=2·π·r gefunden.
• Die Kreisfläche lässt sich mit Hilfe der Umfangsformel leicht herleiten:
  
  Um den Kreis wird ein regelmäßiges n-Eck gelegt.
  Dieses lässt sich in gleichschenklige Dreiecke zerlegen, deren einer Eckpunkt immer in der Mitte des Kreises liegt.
  Die Dreiecke haben dann jeweils die Grundseite S_n, die Höhe r und damit die Fläche A_Dreieck=1/2·r·S_n.
  Alle n Dreiecke zusammen bilden die Fläche des Kreises: A_Kreis=n·1/2·r·S_n.
  Da im Grenzfall für sehr große n gilt n·S_n=U_Kreis, gilt A_Kreis=1/2·r·U_Kreis=1/2·r·2·π·r=π·r².
• Folgende Formeln gelten also bei einem Kreis: 
• Umfang eines Kreises: U=2·π·r
• Fläche eines Kreises: A=π·r² 

• Flächen- und Umfangsberechnungen
          
• Flächeninhalt
• Man sieht unmittelbar, dass in allen Zeichnungen die gelben Flächen innerhalb der Figur gleich groß sind.
  Die kleinen nach unten gewölbten Halbkreise kann man nämlich in die fehlenden weißen nach oben gekrümmten Halbkreise setzen und es ergibt sich jedesmal ein Halbkreis mit dem Radius 6.
  Auch bei noch feineren Unterteilungen der x-Achse ergibt sich (wenn genau gleich viele nach unten wie nach oben gerichtete Halbkreise existieren) für die Flächeninhalte immer derselbe Wert.
  Das gilt auch für den Grenzfall, bei dem die kleinen Kreisbögen auf der x-Achse nur als waagrechte Strecke zu erkennen sind.
• Umfang
• In der linken Figur wird der Umfang der Figur gebildet aus dem Kreisbogen für einen großen Halbkreis (Radius 6) und einem ganzen Kreisumfang für einen Kreis mit dem Radius 3:
  
• In der mittleren Figur wird der Umfang der Figur gebildet aus dem Kreisbogen für einen großen Halbkreis (Radius 6) und 2 ganzen Kreisumfängen für einen Kreis mit dem Radius 1,5:
  
• In der rechten Figur wird der Umfang der Figur gebildet aus dem Kreisbogen für einen großen Halbkreis (Radius 6) und 3 ganzen Kreisumfängen für einen Kreis mit dem Radius 1:
  
• Das Ergebnis ist immer der Umfang eines groeßen Kreises mit dem Radius 6.
  Das gilt auch für den Grenzfall, bei dem die kleinen Kreisbögen auf der x-Achse optisch nicht von einer Strecke zu unterscheiden sind.
  Der Umfang eines großen Halbkreises würde aber nur 6π+12 betragen.
  
• Die Möndchen des Hippokrates
  
  Zu berechnen ist der Flächeninhalt der gelb unterlegten Fläche.
  Lösung: Die Flächeninhalte der beiden Halbkreise über AC und BC und der Flächeninhalt des roten Dreiecks werden addiert. Davon wird der Flächeninhalt des Halbkreises über AB subtrahiert.
  
  Die Fläche der beiden gelben Sichelmöndchen ist also genau so groß wie die Fläche des roten Dreiecks.
  Dieser Sachverhalt (genannt: Möndchen des Hippokrates) war schon vor über 2000 Jahren in Griechenland bekannt.

• Weitere Übung zum Thema Kreisumfang:
  Der Umfang eines kleinen Fasses wird mit Hilfe eines Bindfadens (Drumherumlegen und dann bei gestrecktem Bindfaden abmessen) ermittelt.
  Dann wird dieser "Umfangsbindfaden" um 1m verlängert und wieder um das Fass herumgelegt. Es bleibt nun im Mittel etwas mehr als 15cm Platz zwischen Bindfaden und Fass.
  Wieviel Platz würde wohl bleiben, wenn man einen Bindfaden am Äquator um die Erde herumlegt und diesen dann um 1m verlängert?
  Rechnung:
  U_Erde=40.000.000m → r_Erde=U_Erde/(2·π)
  U_Erde+1m=40.000.001m → r_Erde+1m=U_Erde+1m/(2·π)
  
  Man sieht, dass der sich der gleiche Abstand wie beim Fass ergibt.
  Der Umfang des betrachteten Kreises (Fass oder Erde) subtrahiert sich heraus, sodass im Nenner nur 1m übrig bleibt.
  Selbst beim kleinsten möglichen "Umfang", dem Umfang 0 eines Punktes, klappt diese Rechnung: Ein Kreis, der aus einem 1m langer Bildfaden gebildet wird, hat den Radius 15,9 cm.
• Hausaufgabe:
  
  Eine Pizzahersteller vertreibt seine Pizzen grundsätzlich nur in quadratischen Packungen der Seitenlänge 36 cm.
  Entweder gibt es darin 1 "Familienpizza", 4 "Normalpizza" oder 9 "Häppchenpizza".
  Berechne die Fläche des Leerraumes in jeder der Pizzapackungen und entscheide damit, in welcher der Packungen der Platz am besten ausgenutzt ist.

• Lösung der Hausaufgabe:
  Angenommen, die Seitenkante des Pizzakartons sei a (siehe Abbildung oben, dort waren es 36 cm).
  Liegen n Pizzen nebeneinander, so beträgt der Radius einer Pizza.
  Der Flächeninhalt einer Pizza ist dann also .
  Liegen n Pizzen nebeneinander, so befinden sich n·n=n² Pizzen in der Packung.
  Es wird dann die Fläche in der Schachtel bedeckt.
  Da in der Formel nun kein n mehr vorkommt, spielt es keine Rolle, wieviel Pizzen in quadratischer Anordnung in der Schachtel sind: Immer wird dieselbe Fläche belegt.
• Mit Hilfe des Dreisatzes lassen sich sehr einfach die Formeln für einen Kreisausschnitt finden:
  
  Flächeninhalt eines Kreisausschnittes:
  
  Bogenlänge eines Kreisausschnittes:
  
  
  
  
  
  

• Berechnung der Länge von Spiralen
  
  Man denkt sich die Spirallinie auf den Mantel eines Zylinders gemalt, schneidet dann die Mantelfläche auf und rollt sie ab.
  Die Spirallinie ergibt dann gerade aber schräge Strecken auf der Mantelfläche.
  Ist die Spirale n mal gederht, so ergeben sich n Strecken.
  Diese Streckenlängen können mit dem Satz des Pythagoras leicht berechnet werden.

• Das Volumen von Körpern wird in einer Kubik-Einheit gemessen (z.B. cm³), weil Werte für 3 Raumdimensionen miteinander multipliziert werden müssen.
• Spezielle Volumina
• Würfel mit Seitenlänge a: 
• Quader mit Seitenlängen a, b und c:
• Prisma mit Grundfläche G und Höhe h:
• Zylinder (Prisma mit Kreis als Grundfläche, Radius r, Höhe h): 
• Pyramide mit Grundfläche G und Höhe h: 
• Kegel (Pyramide mit Kreis als Grundfläche, Radius r, Höhe h):
• Die Oberflächen der Körper bestimmt man, indem man die einzelnen Teilflächen berechnet und dann die Zwischenergebnisse addiert.
  Den Mantel eines Zylinders erhält man, indem man den Zylinder der Länge nach aufschneidet und dann den Mantel zu einem Rechteck abrollt.
• Der Satz von Cavalieri besagt, dass die Volumina zweier gleich hoher Körper übereinstimmen, wenn die Querschnittsflächen in jeder Höhe gleichen Inhalt haben.
• Mit Hilfe des Prinzips von Cavalieri lässt sich nach der Methodes des Archimedes leicht das Volumen einer Kugel bestimmen.
  Dabei zeigt man, dass die Querschnittsfläche einer Halbkugel immer den gleichen Inhalt hat wie die auf gleicher Höhe liegende Querschnittsfläche eines gleich hohen Zylinders, aus dem ein auf dem Kopf stehender Kegel gleicher Höhe herausgeschnitten wurde.
  Siehe dazu auch folgendes GeoGebra-Arbeitsblatt:
  
  
  Kugel mit Radius r:  
  
• Kegelmantel
  
• Schneidet man den Mantel des Kegels an der Seitenkante s auf und wickelt ihn ab, so ergibt sich ein Kreisausschnitt.
  

• Der Bogen U des Kreisausschnitts entspricht dem Umfang U der Grundfläche des Kegels und der Radius s des Kreisausschnitts ist gleich der Seitenkante s des Kegels.
  Vergleicht man den Kreisbogen U mit dem Umgfang des gesamten Kreises mit dem Radius s, so ergibt sich folgende Verhältnisgleichung:
  
  Vergleicht man nun den Mantel des Kegels, also den Kreisausschnitt, mit der Fläche des gesamten Kreises, ergibt sich: