Unterrichtseinsichten - Schuljahr 2010/2011 - Physik 10a

Dynamik

• Bei der Beschreibung von Bewegungen muss man zunächst festlegen, welches Bezugssystem man benutzen will.
  Das Laborsystem ist ein ruhendes Bezugssystem. Alle Vorgänge werden in Bezug auf den Raum, in dem man sich befindet, beschrieben.
  Manchmal ist es aber auch sinnvoll, ein bewegtes Bezugssytem zu verwenden, z.B. das Schwerpunktsystem bei der Untersuchung mehrerer aufeinander einwirkender Körper, bei dem der Schwerpunkt als ruhend angenommen wird.
  In unterschiedlichen Bezugssystemen können Vorgänge unterschiedlich aussehen.
• Wir haben den Fall zweier Kugeln untersucht, bei dem eine Kugel ohne Antrieb senkrecht nach unten fiel und die andere Kugel parallel zum Erdboden abgeschossen wurde.
  
  Beim Lösen der Schraube wird der dünne zentrale Metallstab nach rechts gestoßen.
  Damit verliert die linke Kugel ihren Halt und fällt senkrecht nach unten. Die rechte Kugel wird nach rechts geschleudert und fällt dabei auch nach unten.
  Diese Beschreibung ist im Laborsystem abgefasst.
  Benutzt man ein gewegtes Bezugssystem, das sich mit der rechten Kugel nach rechts bewegt, sieht die Lage so aus:
  Die rechte Kugel fällt senkrecht nach unten und die linke Kugel wird scheinbar nach links geschleudert und fällt dabei auch nach unten.
  Da die Vorgänge im bewegten und im ruhenden Bezugssystem symmetrisch ablaufen, müssen beide Kugeln zur selben Zeit unten ankommen.
  Dieses für manche überraschende Versuchsergebnis haben wir tatsächlich beobachtet.
• Die beiden fallenden Kugeln waren im Versuch identisch (gleiche Masse, gleiche Form).
  Würde eine Kugel eher unten ankommen, wenn die Massen unterschiedlich wären?
  Dazu haben wir Galileis Gedankenversuch nachvollzogen:
  
  1. Zwei zusammengeklebte Massestücke (rechts) benötigen für den Fall einer bestimmten Strecke s die Zeit t.
  2. Löst man die Verklebung und legt die Massestücke nur aneinander, so werden sie die gleiche Zeit t für die Strecke s benötigen.
  3. Auch wenn man die Massestücke etwas voneinander entfernt, werden sie wieder die Strecke s in der Zeit t durchfallen.
  4. Also wird auch ein einzelnes Massestück die Zeit t für die Strecke s gebrauchen.
• Die Fallzeit sollte also nicht von der fallenden Masse abhängen.
  In Wirklichkeit fällt aber ein Backstein z.B. schneller als ein Stück Schaumstoff.
  Das liegt daran, dass wir von Luft umgeben sind und der Luftwiderstand eher leichte als schwere Körper abbremsen kann.
• Versuch mit der Fallröhre
  
  Befindet sich Luft in der Fallröhre, so fallen Aluminiumkugel, Papier und Feder unterschiedlich schnell nach unten, wenn die Röhre senkrecht gehalten wird.
  Nach der Evakuierung der Röhre fallen alle drei Gegenstände mit gleicher Geschwindigkeit.
• Fazit: Im luftleeren freien Raum stimmen die Geschwindigkeiten fallender Massen zu jeder Zeit überein.
• Quantitative Untersuchung einer Fallbewegung:
  
  Eine Metallkugel wird aus unterschiedlichen Höhen fallen gelassen und löst beim Start und beim Auftreffen einen elektrischen Kontakt aus.
  Die Fallzeit kann dadurch gemessen werden.
  Es soll untersucht werden, wie die Fallzeit von der Fallhöhe abhängt.
  Messwerte der vorläufigen Messung (Fallhöhen grob geschätzt, in der nächsten Stunde bei mehr zur Verfügung stehender Zeit genauere Messung)
  
  Die drei Messungen zur Fallhöhe 70cm sollten zeigen, wie genau die Zeitmessung ist.
• Hausaufgabe: Auswertung der Messtabelle als Übung für den Ernstfall in der nächsten Stunde.

• Wird ein Körper der Masse m auf eine Höhe h angehoben, so besitzt er die potenzielle oder Lageenergie E_Pot=m·g·h.
  Fällt er aus dieser Höhe herunter, so besitzt er beim Auftreffen auf den Boden keine potenzielle Energie mehr, dafür aber kinetische oder Bewegungsenergie E_Kin.
  Diese kinetische Energie wird von der Masse m und der Geschwindigkeit abhängen.
• Der Zusammenhang zwischen der Höhe h bei der potenziellen Energie und der Geschwindigkeit v bei der kinetischen Energie soll untersucht werden.
  Dazu ein Vorversuch:
• Eine schräge Ebene hat ihren tiefsten Punkt an der Stelle auf dem Fußboden, der in einer Entfernung zur Wand liegt, die zweimal so lang wie die schiefe Ebene ist.
  
  Eine Kugel wird auf den obersten Punkt der schiefen Ebene gesetzt und rollen gelassen.
  Sobald die Kugel am unteren Ende der schiefen Ebene angekommen ist, wird eine zweite Kugel rollen gelassen (siehe obere Zeichnung).
  Diese zweite Kugel erreicht zu der Zeit das untere Ende der schiefen Ebene, zu der die erste Kugel an die Wand stößt (siehe untere Zeichnung).
  Da die 1. Kugel in gleicher Zeit doppelt so viel Weg zurücklegt wie die 2. Kugel, ist die Geschwindigkeit der 1. Kugel (also die Geschwindigkeit, die die Kugel am unteren Ende der schiefen Ebene erreicht), doppelt so groß wie die mittlere Geschwindigkeit während des Herabrollens auf der schiefen Ebene.
• Anders ausgedrückt:
  Wird bei der gleichmäßigen Beschleunigung im Gravitationsfeld der Erde die Wegstrecke und die Zeit vom Beginn der Bewegung bis zu einem Messpunkt registriert, so kann man aus dieser Wegstrecke und der Zeit die mittlere Geschwindigkeit des bewegten Körpers berechnen. Diese mittlere Geschwindigkeit ist halb so groß wie die Geschwindigkeit, die der Körper am Messpunkt erreicht hat.
• Mit dem Fallversuch aus der letzten Stunde kann man die Geschwindigkeit v des Fallkörpers beim Auftreffen nach Durchfallen der Höhe h bestimmen.
  Das geschieht in 3 Abschnitten:
  1. Fallhöhe h und Fallzeit t messen.
  2. Daraus die mittlere Fallschwindigkeit v_mittel berechnen: v_mittel=h/t.
  3. Aus v_mittel wird die Geschwindigkeit beim Auftreffen berechnet: v=2·v_mittel.
• Beim Fallversuch ergaben sich folgende Werte (Dank an Arissa und Melitta für die gute Versuchsdurchführung):
  
  Hausaufgabe: Auswertung nach dem oben angegebenen 3-Punkte-Programm.

• Was wir schon wissen:
• Fällt ein Körper oder rollt er auf einer Ebene mit konstanter Neigung nach unten, so ist seine momentane Geschwindigkeit doppelt so groß wie seine Durchschnittsgeschwindigkeit.
  Bedingung dabei ist, dass der Körper zu Beginn der Zeitmessung in Ruhe war.
• Die potenzielle Energie (oder Lageenergie) wird berechnet nach der Formel E_Pot=m·g·h.
• Die kinetische Energie (oder Bewegungsenergie) ist proportional zur bewegten Masse m und hängt irgendwie von der Geschwindigkeit v ab.
• Es liegt eine Messreihe vor, aus der der Zusammenhang zwischen Fallstrecke und Fallzeit hervor geht.
• Gesucht ist die Formel für die kinetische Energie.
  Da die Kugel zunächst nur potenzielle Energie hat, die am Boden vollständig in kinetische Energie umgewandelt wurde, können wir folgende Gleichung benutzen:
  E_Pot=E_Kin oder m·g·h=m·...  Die Punkte müssen durch einen Term ersetzt werden, in dem die Geschwindigkeit v vorkommt.
  Dazu müssen wir zunächst folgende Schritte durchführen (in Klammern jeweils die entsprechenden Listen im Taschenrechner):
• Mit Hilfe der Streckenlängen h (L1) und der Zeiten t (L2) die Durchschnittsgeschwindigkeit v_mittel (L3=L1/L2) berechnen.
• Aus v_mittel (L3) die momentanen Geschwindigkeiten v (L4=L3*2) bei jeder Höhe berechnen.
• Der Graph von v in Abhängigkeit von h kann uns einen ersten Hinweis auf den Zusammenhang zwischen h und v geben.
• Taschenrechner-Screenshots:
       
  Bedenkt man, dass für h=0 gilt v=0, der Koordinatenursprung also zum Graph hinzugenommen werden muss, so ergibt sich keine Gerade, d.h. h und v sind nicht proportional zueinander.
• Mit der Taschenrechnerfunktion PwrReg (Ansatz y=a·x^b) folgt aus der Regression:
     
  
• In der Gleichung m·g·h=m·... muss bei den Pünktchen auf alle Fälle v2 vorkommen: m·g·h=m·v²·....
  Ob noch weitere Faktoren hinzu kommen, kann man sehen, wenn man die Messwerte einsetzt.
  Erst einmal dividiert man die Gleichung durch m:  g·h=v²·....
  Mit dem Taschenrechner wird dann das Produkt g·h (mit dem Ortsfaktor g=981cm/s²) (L5=981*L1) und das Quadrat v² (L6=L4^2) berechnet.
      
• Man erkennt, dass die Werte für g·h und v² nicht übereinstimmen.  
  Allerdings fällt auf, dass die Werte für v² in L6 etwa doppelt so groß sind wie die Werte für g·h in L5.
  Also wird in L7 durch L7=L6/L5 der Quotient von v² und g·h gebildet.
  
  Tatsächlich ist dieser Wert immer näherungsweise gleich 2.
  Die Pünktchen bei der kinetischen Energie müssen also noch durch 1/2 ersetzt werden, damit auf beiden Seiten der Gleichung dasselbe steht:
  
• Mit den beiden Formeln
  
  kann man in vielen Fällen sehr einfach Bewegungsvorgänge berechnen.
  Beispiel: Eine Kugel bewegt sich mit der konstanten Geschwindigkeit von 1m/s vorwärts.
  Aus welcher Höhe müsste sie fallen, damit sie die gleiche Geschwindigkeit hätte?
  Lösung:
  Die Kugel müsste also aus der Höhe h=5cm fallen.

• Beispiel für eine Berechnung mit Hilfe der Energie-Gleichungen:
• Ein Ball wird von einem 10m hohen Turm nach unten fallen gelassen. Mit welcher Geschwindigkeit kommt er unten an?
  Lösung:
  Oben besitzt der Ball ausschließlich potenzielle Energie: E_Pot=m·g·h.
  Unten ist nur noch kinetische Energie vorhanden: E_Kin=1/2·m·v².
  Da keine Energie dazukommt oder verloren geht, müssen beide Energien gleich sein. Daraus ergibt sich durch Umformungen der Wert für v.
  
• Nun wird der Ball mit 5m/s vom 10m hohen Turm geworfen. Wie hoch ist jetzt seine Geschwindigkeit am Boden?
  Lösung:
  Oben besitzt der Ball jetzt die potenzielle Energie E_Pot=m·g·h und die kinetische Energie E_Kin,oben=1/2·m·v_oben².
  Unten ist nur noch kinetische Energie vorhanden: E_Kin,unten=1/2·m·v_unten².
  Da keine Energie dazukommt oder verloren geht, müssen die Energien ganz oben gleich der Energie ganz unten sein. Daraus ergibt sich durch Umformungen der Wert für v_unten.
  
• Reibungskraft
  Aufgaben für die Schülerübung waren:
  1. Welchen Einfluss hat die Größe der Auflagefläche auf die Reibungskraft?
  2. Welchen Einfluss hat die Masse des rutschenden Körpers auf die Reibungskraft?
   
• Ergebnisse:
  zu 1: Die Größe der Auflagefläche hat beim selben Körper mit derselben Zuladung keinen Einfluss auf die Reibungskraft.
          Bei einer großen Fläche verteilt sich die Kraft, bei einer kleinen Fläche wirkt die Kraft pro Flächeneinheit stärker.
  zu 2: Die Reibungskraft ist proportional zur Gewichtskraft des rutschenden Körpers (eigene Masse + Zuladung).

• Aufgaben zu Bewegungsvorgängen, die sich mit den Energiegleichungen lösen lassen
• Ein Lastwagen der Masse m=3000kg fährt eine 5km lange steile Strecke der Steigung 6% hinab und bremst dabei ständig und unten bis zum Stillstand ab.
  Gefragt ist nach der Energie, die dabei (letztendlich in innere Energeie, also Wärme) umgesetzt wird.
• 6% Steigung bedeutet, dass sich die Strecke auf 100m um 6m erhöht.
  
  Nach dem Satz des Pythagoras gilt: 
  Für die waagrechte Strecke ergibt sich 100·49,91m=4991m oder wenn man mit x=50 rechnet genau 5000m.
• Wir sehen: Bei solchen kleinen Steigungen (die aber in Wirklichkeit für Fahrradfahrer schon ganz schön steil sind) kann man davon ausgehen, dass schräge und waagrechte Strecke etwa gleich lang sind. Man kann dann also für die senkrechte Strecke einfach 6% von der schrägen Strecke berücksichtigen.
• Auf alle Fälle können wir für die senkrechte Strecke die Näherung 300m benutzen.
• Die potenzielle Energie E_Pot=m·g·h ist die Gesamtenergie, die umgesetzt wird, weil der Wagen unten dann keine potenzielle Energie mehr besitzt.
  Es ergibt sich E_Pot=m·g·h=3000kg·10N/kg·300m=9000000Nm=9000000J als gesamte umgesetzte Energie.
• Um wieviel Grad wird mit der umgesetzten Energie die Masse 100kg Eisen (z.B. Bremsen des Autos) erhitzt?
• Mit der Formel für die innere Energie E_innere=c·m·ΔT (spezifische Wärmekapazität mal Masse mal Temperaturdifferenz) und der Beziehung E_innere=E_Pot ergibt sich
  
  Die große Temperatursteigerung kann bewirken, dass die Bremsen versagen. Man soll deshalb bei steilen Abfahrten die Motorbremse benutzen (d.h. kleinen Gang fahren).
• Ein Sportler der Masse 60kg springt aus 5m Höhe auf ein Trampolin und hält dabei zwei Säcke Sand von insgesamt 40kg in der Hand.
  Unten lässt er die Säcke los und wird nach oben geschnellt. Wie groß ist dabei seine Geschwindigkeit und wie hoch wird er fliegen?
  Zu dieser Hausaufgabe haben wir den Versuch mit den Flummis gemacht:
  
  Der kleine rote Flummi rechts wird zunächst mit auf den blauen Stab gesetzt und fällt zusammen mit den anderen Bällen nach unten.
  Die anderen Bälle werden vom verdickten blauen Stab festgehalten, nur der kleine Flummi fliegt nach oben weg und erreicht dabei eine Höhe, die die Ausgangshöhe um ein Vielfaches übertrifft.
• Generell gilt, wenn Reibungseffekte und andere zusätzliche Effekte ausgeschlossen werden:
  Körper, die aus der gleichen Höhe fallen, sind auf jeder anderen erreichten Höhe gleich schnell, unabhängig von dem Weg, der bis dahin zurückgelegt wird.
  Das folgt aus der Umsetzung der potenziellen Energie in kinetische Energie:
  Bei der Fallhöhe h gilt
  Die Masse der Körper und andere Größen außer der Größe h kommen nicht vor, wenn man davon ausgeht, dass alle Versuche an der Erdoberfläche (g näherungsweise konstant) durchgeführt werden.

• Lösung der Hausaufgabe:
• Aufgabe: Ein Sportler der Masse 60kg springt aus 5m Höhe auf ein Trampolin und hält dabei zwei Säcke Sand von insgesamt 40kg in der Hand.
  Unten lässt er die Säcke los und wird nach oben geschnellt. Wie groß ist dabei seine Geschwindigkeit und wie hoch wird er fliegen?
• Lösung: Beim Herunterfallen aus der Höhe h₁ besitzt der Sportler die Gesamtmasse m₁=100kg, beim Hochschnellen bis zur Höhe h₂ die Masse m₂=60kg.
  Beim Auftreffen unten besitzt er die Geschwindigkeit v₁, beim Hochschnellen zu Beginn die Geschwindigkeit v₂.
  Folgende Energien werden jeweils restlos ineinander umgeformt:
  Potenzielle Energie zu Beginn: E_Pot1=m₁·g·h₁
  Kinetische Energie unten beim Auftreffen: E_Kin1=1/2·m₁·v²
  Kinetische Energie unten beim Hochschnellen: E_Kin2=1/2·m₂·v₂²
  Potenzielle Energie wieder oben nach dem Hochschnellen: E_Pot2=m₂·g·h₂
  Wegen der Gleichheit der Energien gilt:
  . Der Sportler trifft unten mit 10m/s auf.
  . Der Sportler fliegt mit 12,9m/s wieder nach oben.
  . Der Sportler erreicht nun eine Höhe von 8,33m.
• Reibung
  Die Reibungskraft F_R hängt nicht von der Auflagefläche eines Körpers ab (haben wir in den letzten Stunden im Schülerversuch herausgefunden), sondern von der Gewichtskraft F_G.
  Es gilt F_R~F_G .
  Der Proportionalitätsfaktor hängt ab von den Stoffeigenschaften der reibenden Stoffe und davon, ob der Körper noch in Ruhe ist (Haftreibungskoeffizient μ_H) oder sich schon bewegt (Gleitreibungskoeffizient μ_G):
  Haftreibung: F_RH=μ_H·F_G  ;  Gleitreibung: F_RG=μ_G·F_G .
  Die Reibungskoeffizienten für das Reiben zwischen verschiedenen Stoffen finden sich in Tabellen.
• Der Strömungswiderstandskoeffizient c_W gibt an, wie stark z.B. ein Auto von der Luft beim Fahren behindert wird.
  Die Leistung, die ein Auto erbringen muss, wenn es den Querschnitt A und die Geschwindigkeit v besitzt und die umgebende Luft die Dichte ρ hat, berechnet sich so: .
  Hausaufgabe: Seite 143 Aufgabe 2.

• Wiederholung zur Klassenarbeit

• Klassenarbeit 1

• Rückgabe der Klassenarbeit 1  [ Aufgaben | Lösungen ]
• Versuch zur Untersuchung einer Fallbewegung: Messung an einem waagrecht austretenden Wasserstrahl
    
• Vorüberlegung:
  Die Bahnkurve ist gekrümmt. Vorgeschlagen wurden von Euch als Art der Kurve 1. Kreis, 2. Ellipse, 3. Parabel.
  In der Skizze gibt der gelbe Kasten den jeweils betrachteten Bereich an.
  Der Kreis wurde ausgeschlossen, weil die Krümmung nicht gleichmäßig ist.
  Die gestreckte Form im linken Bereich (siehe Foto) würde eher auf eine Ellipse hindeuten.
  Sowohl Kreis wie Ellipse wurden dann abgelehnt, weil die Fall-Kurve des Wassers sich im weiteren Verlauf niemals von selbst wieder nach rechts krümmen wird.
  Es bleibt also der Vorschlag 3. Parabel übrig, der bei der Auswertung mit Hilfe des Taschenrechners zu Grunde gelegt wird.
• Gemessen werden die Koordinaten einiger Punkte, durch die der Wasserstrahl führt.
  Das Koordinatensystem wird nach einiger Diskussion so gelegt, dass der Koordinatenursprung an der Stelle des Wasserauslasses (oben rechts im Foto) liegt und der Wasserstrahl sich in Richtung der negativen x-Achse und der negativen y-Achse ausbreitet.
  Aus messtechnischen Gründen werden die y-Werte zunächst vom Tisch aus nach oben gemessen (positive Werte) und die x-Werte vom Auslass nach links (negative Werte, in Liste L1).
  Zur Korrektur der y-Werte müssen dann vom jeweiligen gemessenen y-Wert (in Liste L2) der gemessene y-Wert (enthalten in der Zelle L2(1)) des Wasseraustritts subtrahiert werden, um den y-Wert im gewählten Koordinatensystem zu erhalten.
• Messwerte und Auswertung (Längenangaben in cm):
         
  
       
  Anmerkung: Die Regression mit PwrReg funktioniert hier nicht, weil negative x-Werte vorkommen. Wäre dann der Exponent nicht ganzzahlig, wäre für negative x (in der Regel) kein Wert definiert.
  Der Graph deutet auf eine Parabel hin, deren Scheitel sich im Koodinatenursprung befindet.
  Das Ergebnis der Regression legt aber den Scheitel zum x-Wert 1,597 und zum y-Wert 0,037.
  Diese Werte sind aber gegenüber den Messwerten so klein, dass sie vernachlässigt werden dürfen.
  Das Ergebnis der Funktionsgleichung für den Verlauf des Wassertstrahls ist also y=-0,045·x² mit der Einheit cm für die x- und y-Werte.
• Für die Bahnkurve eines waagrecht austretenden Wasserstrahls gilt also: Bei linearer Zunahme von x steigen die y-Werte quadratisch an.
  Dieses Ergebnis werden wir in den nächsten Stunden noch häufiger antreffen.

• Wir werden demnächst zwei verschiedene Arten der Bewegung genauer untersuchen:
  1. Die geradlinig gleichförmige Bewegung (geradeaus mit konstanter Geschwindigkeit)
  2. Die gleichförmig beschleunigte Bewegung (geradeaus mit konstanter Beschleunigung)
• Eine Beschleunigung tritt auf, wenn sich die Geschwindigkeit ändert. Im Auto oder im Aufzug scheint uns dann eine Kraft in eine bestimmte Richtung zu drängen.
  Mit der Geschwindigkeitsänderung definiert (=legt man fest) man die Beschleunigung:
  Die Geschwindigkeitsänderung dividiert durch die bei der Änderung vergangene Zeit nennt man Beschleunigung a.
  Als Formel:
• Betrachtet man die Geschwindigkeitsänderung vom Beginn der Bewegung an (also beginnend mit v₁=0), so gilt a=v/t oder v=a·t.
  v ist also proportional zur Zeit t:  v~t. Als t-v-Graph ergibt sich also eine Ursprungsgerade.
  
• Anfang des Schuljahres haben wir in einem Versuch gezeigt: Bei einer beschleunigten Bewegung ist die Endgeschwindigkeit v genau doppelt so groß wie die mittlere Geschwindigkeit , also .
  Mit v=a·t folgt daraus .
• Die gesamte Fahrstrecke seit Beginn der Bewegung kann man berechnen aus .
  Der t-s-Graph ist also eine Parabel:

• Für die beschleunigte Bewegung mit konstanter Beschelunigung haben wir folgende Formeln für den Weg und die Zeit kennen gelernt:
  
  Der "freie Fall", bei dem ein Körper ausschließlich durch die Erdanziehungskraft angetrieben wird, ist eine beschleunigte Bewegung, auf die die Formeln anzuwenden sind.
  Wir haben schon einmal mit Hilfe von Energien berechnet, wie groß die Geschwindigkeit ist, wenn der Körper die Strecke s durchfallen hat:
  Die potenzielle Energie am oberen Punkt ist gleich der kinetischen Energie ganz unten:
  
  Setzen wir diese Geschwindigkeit in der Gleichung v=a·t ein, so erhalten mit s=h:
  
  Beim freien Fall ist also die Beschleunigung gleich dem Ortsfaktor.
• Aufgaben zum freien Fall
• Ein Körper fällt aus der Ruhe aus 8m Höhe nach unten. Wie lange dauert sein Fall?
  Lösung:
  
• Ein Körper fällt 10s lang in freiem Fall (ohne Luftwiderstand). Welche Geschwindigkeit erreicht er dabei und welche Strecke legt er dabei zurück?
  Lösung:
  
  
• Ein Körper wird mit 8m/s nach oben geworfen. Welche Höhe erreicht er dabei?
  Lösung:
  Wir haben erörtert, dass die Bewegungsabläufe beim Nach-Oben-Fallen und beim Herabfallen symmetrisch sind.
  Auf gleichen Höhen hat der Körper dieselbe Geschwindigkeit.
  Wir können die Aufgabe also so abwandeln: Welche Strecke durchfällt ein Körper im freien Fall, bis er die Geschwindigkeit 8m/s erreicht hat?
  Zuerst wird mit Hilfe der v-Gleichung t berechnet, dann damit die Strecke s:
  
  Wie diese Fallstrecke hat auch die Steighöhe die Länge 3,2m.

• Weiterer Beispielaufgabe zum senkrechten Wurf:
  Ein Körper wird mit der Geschwindigkeit 5m/s nach oben geworfen und fällt dann wieder herunter. Welche Geschwindigkeit besitzt er 1m über dem Boden?
  
• Die Energien ganz unten und 1m über dem Boden sind gleich. Daraus folgt:
  
  
• Waagrechter Wurf
  
  Wird ein Körper waagrecht geworfen, so bewegt er sich mit konstanter Geschwindigkeit in x-Richtung und mit beschleunigter (Fall-)Bewegung in y-Richtung.
  Die y-Achse sei in diesem Fall nach unten gerichtet.
  Die Bewegungen in x- und y-Richtung lassen sich durch folgende Gleichungen beschreiben:'
  
  Aus diesen Gleichungen lässt sich herauslesen, wo sich der Körper zur Zeit t befindet.
  Möchte man unabhängig von der Zeit die Bahnkurve des Körpers wissen, muss das t aus den Gleichungen entfernt werden:
  
  Man sieht an dem x², dass die Bahnkurve eine Parabel ist.

• Beispielaufgabe zum waagrechten Wurf
  Mit v=4m/s wird ein Körper waagrecht geworfen.
  Stelle die Bewegungsgleichungen auf und bestimme eine mathematische Funktion, die den beim Fallen zurückgelegten Weg  des Körpers beschreibt.
  Lösung:
  
  Man könnte jetzt wie in der letzten Stunde die obere Gleichung nach t auflösen und den gefundenen Term in die 2. Gleichung einsetzen.
• Ihr habt eine andere Methode vorgezogen: Regression mit dem Taschenrechner
• In L1 werden die Zeiten von 0s bis 2s im Abstand 0,1s eingetragen:  L1=seq(x,x,0,2,0.1)
• In L2 werden die x-Werte für diese Zeiten berechnet:  L2=4*L1
• In L3 werden die y-Werte für diese Zeiten berechnet:  L3=5*L1^2
• Mit PwrReg L2,L3,Y1 erhält man die Gleichung der Funktion, deren Graph den Weg des Körpers beschreibt.
       
  Es ergibt sich die Gleichung .  Durch das Umformen des Gleichungssystems hätte sich ergeben .

• Rechnungen zum waagrechten Wurf am Beispiel free running.

• Die im Unterricht besprochene Aufgabe zum schrägen Wurf ist ganz ähnlich zur Aufgabenstellung auf folgendem Arbeitsblatt. Bitte das Arbeitsblatt durcharbeiten.
  

• Um einen Körper zu beschleunigen benötigt man eine Kraft.
  Wir haben bei einer Luftkissenfahrbahn Kräfte auf einen Luftkissenwagen wirken lassen und die jeweilige Beschleunigung geemssen.
  
  
  Die Formel für die Beschleunigung wurde aus der Bewegungsgleichung ermittelt:
  
  Die graphische Darstellung Beschleunigung in Abhängigkeit von der Kraft zeigt eine Gerade:
  
  Kraft und Beschleunigung sind also proportional zueinander: F~a.
• Den Einfluss der bewegten Masse werden wir in der nächsten Stunde untersuchen.

• In der letzten Stunde haben wir gesehen, dass bei einer gleichförmig beschleunigten Bewegung die Kraft F proportional zur Beschleunigung a ist:  F~a.
• Versuch zum Einfluss der Masse m auf die Beschleunigung a
  Der Luftkissengleiter durchfährt jeweils eine Strecke von 1m Länge. Die Masse des Wagens wird bei jedem Messvorgang verändert.
  Messwerte:
  Die Beschleunigung wird aus den Zeitwerten nach der Formel  berechnet.
  Die Funktionsgleichung, die die Beziehung zwischen a und m beschreibt, wird mit der Regression PwrReg gefunden:
       
  
       
  
  Es ergibt sich also die Funktion a = 29,5 · m^-1
• Die Beschleunigung a und die Masse m sind also antiproportional. Insgesamt folgt also:
  
  Benutzt man diese Proportionalität, um die Kraft F aus der Masse m und der Beschleunigung a zu definieren, so kann man den Proportionalitätsfaktor zu 1 wählen und erhält
  die Newtonsche Bewegungsgleichung F=m·a.
• Ab jetzt können wir also gleichförmig beschleunigte Bewegungen mit einer weiteren Gleichung neben den bekannten Bewegungsgleichungen beschreiben:
  
• Hausaufgabe: Seite 161 Aufgabe 1 (grün) ganz

• Besprechung der Hausaufgabe und weitere Aufgaben

• Richtung der Beschleunigung beim waagrechten Wurf
  Beim waagrechten Wurf ist die Beschleunigung immer senkrecht nach unten gerichtet, ganz gleich, in welche Richtung sich der fallende Körper bewegt.
  Grund dafür: Es wirkt nur die Beschleunigung zum Erdmittelpunkt hin. Die Anfangsgeschwindigkeit lässt den Körper schräg nach unten fallen.
  Mit dem GeoGebra-Arbeitsblatt kann man das ausprobieren:
          
  Mit dem Schieberegler vx kann man die Abwurfgeschwindigkeit in waagrechter Richtung wählen.
  Die Punkte A, B und C sind Orte, die zeitlich im Abstand 1s aufeinander folgen.
  Die waagrechte Geschwindigkeitskomponente ist auf beiden Abschnitten gleich groß.
  Die senkrechte Geschwindigkeitskomponente nimmt wegen der Beschleunigung von A nach B zu.
  Die Differenz der Geschwindigkeiten v1 und v2 ergibt die Geschwindigkeit dv, aus der die Beschleunigung durch a=dv/dt berechnet und die Richtung der Beschleunigung abgelesen werden kann.
  Vom (verschiebbaren) Punkt P sind die beiden Vektoren v1 und v2 noch einmal abgetragen worden, sodass man dort die Konstanz des senkrechten Differenzvektor dv  gut erkennen kann.
  Auch bei Abänderung der Funktion f(x) bleibt die senkrechte Beschleunigung konstant. 
  Beim Ändern der Funktionsgleichung wird für die Variable immer (x/vx) gesetzt werden.
  Grund: x=vx·t und y=-1/2·g·t^2, daraus folgt t=x/vx und y=-1/2·g·(x/vx)^2.
• Das Addieren von Vektoren kann man mit folgendem GeoGebra-Arbeitsblatt veranschaulichen:
   
  

• Erproben von Schülerversuchen in Verbindung mit der Facharbeit im Seminarfach.
• Aufgaben zur Geschwindigkeitsänderung unter Benutzung von Vektoren.
  Wiederholungsaufgaben zur beschleunigten Bewegung unter Verwendung der Newtonschen Gleichung F=m·a.
  GeoGebra-Arbeitsblatt zur Veranschaulichung der Addition und Subtraktion von Vektoren:
  

• Wiederholung zum freien Fall und senkrechten Wurf (siehe 2010-11-24)

• Wiederholung zum waagrechten und schiefen Wurf (siehe 2010-12-01 bis 2011-01-19)

• Wiederholung zur Newtonschen Bewegungsgleichung F=m·a und zur Vektoraddition und Vektorzerlegung
  

• Klassenarbeit 2  [ Aufgaben | Lösungen ]
  

• Kreisbewegung
  
• Schallplatten gab es früher (und zum Teil auch noch heute) als Langspielplatte (12'' Durchmesser, Laufzeit ca. 20 Minuten) mit 33 1/3 rpm und als Single (7'' Durchmesser, Laufzeit ca. 5 Minuten) mit 45 rpm.
  Die kleinere Platte muss sich aus Qualitätsgründen schneller drehen, da sonst die in der Rille gespeicherten Informationen nicht genügend Platz hätten.
  rpm steht für "Rotationen pro Minute" und bedeutet, dass sich die große Platte 33 1/3-mal pro Minute dreht und die Single 45 mal pro Minute.
  Der Winkel, der in einer bestimmten Zeit zurückgelegt wird, ist für alle Teile der Schallplatte gleich.
• Sitzen Personen in einem Karussell, so ist es nicht sinnvoll, die Bewegung des Karussells durch die Bahngeschwindigkeit einer einzelnen Person zu beschreiben, da die Geschwindigkeit davon abhängig ist, in welchem Abstand zur Drehachse sich die Person befindet.
• Besser ist es, eine Größe zu finden, die für alle Personen auf dem Karussell gleich ist. Dazu bietet sich der Winkel Δφ an, der in einer bestimmten Zeit Δt zurückgelegt wird.
• Man definiert so als Winkelgeschwindigkeit ω=Δφ/Δt. Diese Winkelgeschwindigkeit gilt für alle Personen auf dem Karussell.
• Nimmt man als Winkeldifferenz bei der Winkelgeschwindigkeit den Vollwinkel 2π, so gehört dazu die Umlaufdauer T und es gilt ω=2π/T.
• Häufig, vor allem bei schnellen Drehbewegungen, ist es instruktiver zu wissen, wie oft sich ein Rad dreht, als zu wissen, wie viel Zeit bei einer Umdrehung vergeht.
  Bei Schallplatten (s.o.) wird z. B. 45 rpm oder 33 1/3 rpm angegeben, d. h. die Schallplatte dreht sich 45-mal oder 33 1/3-mal in der Minute.
  Das ist besser einzuschätzen, als wenn die Umdrehungsdauer 1,3 s oder 1,8 s angegeben würde.
  Die Umdrehungszahl pro Zeiteinheit (meist Sekunde) wird Frequenz genannt und mit f benannt.
  Die Frequenz f ist der Kehrwert der Umlaufdauer T: f=1/T.
• Zusammenhang zwischen Frequenz f und Winkelgeschwindigkeit ω: Wegen ω=2π/T und f=1/T gilt ω=2π·f, d. h. ω und f unterscheiden sich durch den Faktor 2π.
• Für die Bahngeschwindigkeit eines Köpers gilt bei einer Kreisbewegung bei konstanter Gechwindigkeit v=Δs/Δt wie bei der geradlinigen Bewegung.
  Allerdings unterscheiden sich diese Geschwindigkeiten für Körper, die auf verschiedenen Radien um ein Zentrum umlaufen.
  Besitzt die Umlaufbahn den Radius r, so hat ein Vollkreis die Wegstrecke 2π·r und wird in der Zeit T zurückgelegt. Es gilt dann also v=2π·r/T oder wegen ω=2π/T auch v=ω·r.

• Quantitative Untersuchung von Drehbewegungen
  Gemessen wird jeweils die Kraft, die auf einen gedrehten Wagen wirkt.
  Variiert werden die Masse des Wagens, der Radius der Kreisbahn (gemessen im Schwerpunkt des Wagens) und die Umdrehungsdauer des Wagens (jeweils 10 Umdrehungen).
  
  Messwerte:
  
• Hausaufgabe: Auswertung der Messreihen.
  Aus Zeitgründen haben wir bei der Messreihe mit der Umdrehungsdauer nur 3 Messungen durchführen können. Ein Trend sollte aber auch dort zu sehen sein.

• Auswertung des Versuchs aus der letzten Stunde.
  Da sich das Kraftmessgerät unbelastet nicht auf 0 stellen lässt, muss jeweils noch von dem gemessenen Wert bei Belastung der Wert bei Nichtbelastung subtrahiert werden.
  
• Abhängigkeit der Kraft von der Masse
         
          
  Man sieht also, dass die Kraft proportional zur Masse ist.
• Abhängigkeit der Kraft vom Radius
          
          
  Man sieht, dass die Kraft auch proportional zum Radius ist.
• Abhängigkeit der Kraft von der Umdrehungsdauer.
  Aus Zeitgründen wurden hier nur 3 Messwerte aufgezeichnet. Außerdem war die Qualität der Zeitmessung nicht optimal.
  Man sieht an folgender Auswertung mit PwrReg, dass sich unter schlechten Versuchsbedingungen manchmal Ergebnisse einstellen können, die zunächst sehr einleuchtend sind, bei genauerer Betrachtung aber fehlerhaft sind:
  Die Auswertung geschieht analog zu den oben angegebenen Auswertungen. Hier ergibt die Regression aber folgende Ergebnisse:
      
  Der Exponent scheint leicht gerundet genau -1 zu ergeben, d.h. es würde gelten F~1/T.
  In Wirklichkeit müsste sich ergeben F~1/T².
  Lässt man über die Punkte die Kurve mit der Gleichung y=200/x² zeichnen, so ergibt sich
   
  was fast ebenso gut passt.
  Für ein verlässlicheres Ergebnis werden also mehr Messungen und eine bessere Messgenauigkeit benötigt.
• Für die Zentripetalkraft gilt .
• Die Auswirkungen einer schnellen Drehung auf eine brennende Kerze und einen Ball haben wird am Drehtisch beobachtet:
       
  Da die umgebende kalte Luft nach außen gedrückt wird, erfährt die heiße Luft der Kerzenflamme einen Auftrieb und die Flamme neigt sich zum Zentrum des Drehsystems.
  Der blaue Ball sollte so durch die Klemme gestützt werden, dass er beim Drehen nicht herunterfiel. Weder auf der linken noch auf der rechten Seite der Klemme wurde der Ball gehalten. Wurde er dagegen wie auf dem Bild von den 2 Spitzen der Klemme berührt, fiel er bei der Drehbewegung nicht von der Platte. Da die Zentrifugalkraft radial nach außen wirkt, wurde der Ball von der auf das Zentrum zielenden Kraft der Klemme gehalten.

• Anwendungen zum Thema Drehbewegungen
• Kurvenfahrten mit dem Motorrad
  Wie man auf den Bildern im Link sehen kann, fahren Motorräder bei Rennen in Kurven sehr zur Seite geneigt, um nicht aus der Kurve hinausgeschleudert zu werden.
  Auch beim Fahrradfahren muss man sich in den Kurven etwas zur Seite lehnen.
  Welcher Winkel α muss zwischen Straße und Fahrzeug bestehen?
  Auf den Fahrrad- oder Motorradfahrer wirke 2 Kräfte, die Gewichtskraft senkrecht nach unten und die Zentrifugalkraft parallel zur Erdoberfläche.
  Die Gesamtkraft ergibt sich durch Vektoraddition bzw. Ergänzen zum Kräfteparallelogramm.
  Für den Winkel zwischen der Gesamtkraft F und der Erdoberfläche ergibt sich:
  
  Fährt zum Beispiel ein Fahrradfahrer mit der Geschwindigkeit 20 km/h um einen kleinen Kreisel von 10 m Durchmesser, so gilt:
  
• Geostationärer Satellit
  Information: Zwei Massen im Abstand r (r ist der Abstand der Schwerpunkte der beiden Massen) ziehen sich mit folgender Kraft an:
  
  Nimmt man für m₁ die Masse M_E der Erde, so gilt
  
  Es ergibt sich als Faktor vor dem m₂ der Ortsfaktor g auf der Erde entsprechend zur schon bekannten Gleichung F_G=m·g .
  Hausaufgabe: Berechne, wie hoch über der Erde sich ein geostationärer Satellit befinden muss, damit seine Winkelgeschwindigkeit mit der der Erde übereinstimmt und er damit scheinbar am Himmel feststeht.

• Rechnungen zur Himmelsmechanik
  Bei allen Rechnungen gilt: Die Gravitationskraft F_G ist gleich der Zentripetalkraft F_Z:
  
• Mit Hilfe des Abstandes Erde-Mond (r_E-M=384400 km) und der Umlaufdauer des Mondes (U_M=29,53 d) kann man die Masse m₁=M_E der Erde bestimmen:
  
• Gesucht ist das Verhältnis von Umlaufzeit T der Planeten um die Sonne zum Abstand r von der Sonne:
  
• Gesucht ist der Abstand eines geostationären Satelliten von der Erdoberfläche (Umlaufdauer 1 Tag):
  
• Wie lang müsste ein Tag sein, damit am Äquator Schwerelosigkeit herrschen würde?