Unterrichtseinsichten - Schuljahr 2009/2010 - Mathematik 13MA1e

Vektorrechnung

• Ähnlich wie im 2-dimensionalen Raum, in dem man einen Punkt durch ein geordnetes Wertepaar (x/y) beschreibt, gibt man Punkte im 3-dimensionalen Raum durch ein geordnetes Wertetripel (x/y/z) an.
• Die Richtungen der Koordinatenachsen in einem 3-dimensionalen Koordinatensystem kann man sich mit der "Rechte-Hand-Regel" merken:
  Daumen, Zeigefinger und Mittelfinger werden im 90°-Winkel zueinander gehalten. Dann zeigt der Daumen in Richtung der x-Achse, der Zeigefinger in Richtung der y-Achse und der Mittelfinger in Richtung der z-Achse.
• Die Lage von Punkten im 3-dim-Raum lässt sich aus einem in der Ebene gezeichneten Punkt nicht eindeutig bestimmen.
  Beispiel:
  
  Entsprechend der eingezeichneten Wege parallel zu den Koordinatenachsen kann es sich bei dem rot eingezeichneten Punkt z.B. um (-2/3/0), (0/4/1) oder um (4/6/3) handeln.
• Diese und alle weiteren möglichen Punkte müssen auf einer Geraden liegen. Man blickt im Koodinatensystem so auf diese Gerade, dass die Gerade genau durchs Auge verläuft. Man blickt also in Richtung der Gerade und sieht deshalb nur einen Punkt.
• Bei den Punkten müsste sich also ein linearer Zusammenhang erkennen lassen.
  In der Reihenfolge grün-blau-magenta der Punkte wachsen die Werte der Koordinaten folgendermaßen an:
  x-Richtung: erst +2, dann +4
  y-Richtung: erst +1, dann +2
  z-Richtung: erst +1, dann +2
  Geht man auf kürzestem Weg vom grünen zum blauen Punkt, so stimmen die Länge und der Winkel des Weges überein mit dem Weg vom Punkt (0/0/0) zum Punkt (2/1/1), wobei die Koordinaten mit den Änderungen der x-, y- und z-Werte von grün zu blau übereinstimen.
• Definiert man eine Addition von Punkten durch (x/y/z)+(a/b/c)=(x+a/y+b/z+c), so ergibt sich mit (-2/3/0)+(2/1/1)=(0/4/1) aus dem grünen Punkt der blaue Punkt und aus (-2/3/0)+3·(2/1/1)=(4/6/3) aus dem grünen der magentafarbene Punkt. Genutzt wird die Definition λ·(a/b/c)=(λ·a/λ·b/λ·c).
• Alle Punkte auf der Geraden, die wir als Punkt (rotes Kreuz) sehen, lassen sich also darstellen durch (x/y/z)=(-2/3/0)+λ·(2/1/1) .
• Statt der Punkte betrachtet man häufig (und wir demnächst auch) nicht die Punkte, sondern Pfeile, die vom Koordinatenursprung zu den Punkten zeigen. Alle Pfeile mit gleicher Richtung und gleicher Länge repräsentieren dabei einen Vektor. Die Schreibweise ändert sich geringfügig zu
  
  Auf der rechten Seite nennt man den linken Vektor Ortsvektor, weil er den Ort eines ganz bestimmten Punktes angibt und den rechten Vektor Richtungsvektor, weil er die Richtung angibt, mit der man von einem Punkt zu den anderen Punkten gelangt.

• Einige grundlegende Definitionen zur Vektorrechnung
• Ein Vektor ist ein Repräsentant für eine Klasse von Pfeilen, d.h. für alle Pfeile, die die gleiche Länge und die gleiche Richtung haben.
  Wählt man aus diesen Pfeilen den Pfeil aus, der seinen Beginn im Ursprung hat, so zeigt seine Spitze zu einem Punkt, dessen Koordinaten mit den Komponenten des Vektors identisch sind.
   Beispiel für den Vektor
• Ein Vektor, der antiparallel zu einem anderen Vektor liegt und die gleicher Länge wie dieser hat, heißt Gegenvektor zu diesem anderen Vektor.
  Zu der Gegenvektor.
• Ein Vielfaches eines Vektors erhält man, wenn man jede Komponente des Vektors mit demselben Wert multipliziert:
• Die Anzahl der Komponenten eines Vektors gibt seine Dimension an.
• Beispiel zur Berechnung eines speziellen Ortsvektors: Gesucht ist der Ortsvektor zu dem Punkt M, der genau in der Mitte der beiden Punkte A und B liegt.
  
• Vektoren werden hier entweder durch kleinen Buchstaben mit Pfeil oder durch zwei große Buchstaben mit Pfeil (Anfangs- und Endpunkt) angegeben.
• 
• 

• Hausaufgabe zu dieser Stunde war, den Schwerpunkt des Dreiecks ABC mit A(2/1/5), B(3/9/4) und C(7/16/-1) zu ermitteln.
  
  Gesucht ist also der Vektor s. Man findet ihn, indem man über Wege von O zu S geht, die durch die Vektoren a, b und c darzustellen sind.
  Vorausgesetzt wird das Wissen, dass der Schwerpunkt in einem Dreieck die Seitenhalbierenden im Verhältnis 2:1 teilt. 
  Es gilt:
  Daraus folgt
  Damit ergibt sich 
• Weiß man nicht, in welchem Verhältnis der Punkt S die Seitenhalbierenden im Dreieck teilt, kann man die Aufgabe auch lösen, indem man auf 2 Wegen vom Punkt O zum Punkt S geht und dabei darauf achtet, dass man auf verschiedenen Seitenhalbierenden zu S kommt. Die zurückgelegten Wege auf den Seitenhalbierenden dürfen also nicht die Winkel 0° oder 180° einschließen.
  Die benötigten Teilverhältnisse werden durch Variablen angegeben (λ, μ, ν, ..).
  Folgende Lösungsschritte führen zum Ziel
  
• 1. Weg (grün): Vektoren a und u
  
• 2. Weg (blau): Vektoren b, v und w
  
  
• Da der in beiden Wegen vorkommende Vektor s gleich ist, können auch die Ergebnisse gleichgesetzt werden:
  
  Sammeln und Vereinfachen auf der linken Seite bringt
  
• Auf der linken Seite der Gleichung kann sich nur dann der Nullvektor ergeben, wenn alle Klammern den Wert 0 haben.
  Berechnung des Gleichungssystems: 
• aus der Klammer des Vektors c ergibt sich 
• damit ergibt sich aus der Klammer des Vektors a:
  und damit
• Überprüfen in Klammer des Vektors b:  
  Damit sind alle drei Gleichungen erfüllt und die Annahme aus der Hausaufgabe ist bestätigt worden.
• In der nächsten Stunde werden wir sehen, wie man noch einfacher auf die gesuchten Teilverhältnisse kommen kann.

• In Gruppen wurde berechnet, in welchem Verhältnis die Strecken DE und AF durch den Punkt S  geteilt werden. Die Seite AB des Parallelogramms ist in 7 und die Seite BC in 3 jeweils gleich große Abschnitte aufgeteilt.
  
  Hier die Rechnungen für alle Gruppen:
• rot:
  

  ---

  grün:
  

  ---

  blau:
  

  ---

  gelb:
• Als Faktoren kommen für die Strecke DE die Werte 8/29 bzw. 21/29 und für die Strecke AF die Werte 12/29 bzw. 17/29 vor.
  Der Punkt S teilt die Strecke ED im Verhältnis 8:21 und die Strecke AF im Verhältnis 12:17.
• Die Aufgabe zu Vektoren im 3-dim-Raum wurde in der Stunde noch nicht gelöst und beibt als Hausaufgabe zu behandeln.
  Es ist zu berechnen, in welchem Verhältnis das rote Dreieck die gelbe Diagonale im Punkt S teilt.
  Eure Ergebnisse der Stunde:
   

• Lösung der Hausaufgabe:
  
  Die Klammern werden gleich 0 gesetzt. Das entstehende Gleichungssystem (3 Gleichungen mit 3 Unbekannten) wird gelöst:
  Aus der dritten Klammer folgt λ=μ·ν.
  Einsetzen in der mittleren Klammer: λ+λ-μ=0 → 2·λ=μ
  Einsetzen in der linken Klammer: λ+2·λ-1=0 → 3·λ=1 → λ=1/3
  Daraus folgt μ=2·λ=2·1/3=2/3
  Daraus folgt ν=λ/μ=(1/3)/(2/3)=(1/3)·(3/2)=1/2
• Deutung der Ergebnisse:
• Da ν=1/2, trifft die Verlängerung von BS die Seite GD genau in der Mitte (siehe Figur oben rechts). S liegt also auf einer Seitenhalbierenden im Dreieck BGD.
• Da μ=2/3, ist S der Schwerpunkt des Dreiecks BGD, da der Schwerpunkt auf den Seitenhalbierenden liegt und der Schwerpunkt die Seitenhalbierenden im Verhältnis 1 zu 2 teilt.
• Da λ=1/3, teilt das Dreieck BGD die Diagonale AE im Verhältbnis 1 zu 3.
• Eure Frage, warum die Klammern in der Vektorgleichung gleich 0 gesetzt werden müssen, haben wir bisher erst qualitativ gelöst: "Wenn man sich vom Nullpunkt nacheinander in 3 verschiedene Richtungen bewegt, kann man am Ende nicht wieder beim Nullpunkt ankommen."
  Wenn die Vektoren aber in einer Ebene liegen, gibt es auch Lösungen, bei denen die Klammern nicht 0 sein müssen.
• Um diesen Gedankengang rechnerisch nachvollziehen zu können, haben wir wiederholt, wie man lineare Gleichungssysteme schriftlich (Gauß-Verfahren) und mit dem Taschenrechner lösen kann.
• Gaußverfahren: Die Gleichungen werden so addiert oder subtrahiert, dass unterhalb einer Diagonale von links oben nach rechts unten nur Nullen stehen.
  Beginnend mit der unteren Gleichung kann man dann schrittweise die einzelnen Variablen bestimmen. Beispiel:
  
• Taschenrechner (Matrix-Menü): Die Zahlen einschließlich Vorzeichen werden in eine 3x4-Matrix geschrieben. Mit dem Befehl rref formt man die Matrix so um, dass in einer Diagonale von links oben nach rechts unten nur Einsen stehen (das könnte man durch weitere Rechnung auch beim Gaußverfahren erreichen). Rechts stehen dann die Lösungswerte für die Variablen:
       
      

• Bei Gleichungssystemen unterscheidet man folgende Fälle (Annahme: Die einzelnen Gleichungen sind unabhängig voneinander, lassen sich also nicht auseinander erzeugen):
• Die Anzahl der Variablen ist gleich der Anzahl der Gleichungen.
  Dann können die Werte der Variablen aus den Gleichungen ermittelt werden.
• Die Anzahl der Variablen ist größer als die Anzahl der Gleichungen.
  Dann ist das Gleichungssystem unterbestimmt. Nicht alle Werte der Variablen lassen sich aus den Gleichungen ermitteln.
• Die Anzahl der Variablen ist kleiner als die Anzahl der Gleichungen.
  Dann ist das Gleichungssystem überbestimmt. Das Gleichungssystem hat keine Lösung. Ausnahme: Lassen sich eine oder mehrere Gleichungen aus den anderen Gleichungen erzeugen, kann es doch eine Lösung geben.
• Ein Vektor ist linear abhängig von anderen Vektoren, wenn er durch eine Linearkombination (=Summe von Vielfachen von Vektoren) aus den anderen Vektoren erzeugt werden kann.
  Beispiel: ist linear abhängig von und , weil gilt mit λ=2 und μ=3.
• Allgemein gilt: n Vektoren sind linear unabhängig, wenn die Gleichung nur die Lösung λ_i=0 für 1 ≤ i ≤ n hat. 
• Mit n linear unabhängigen Vektoren kann man jeden Vektor in einem n-dimensionalen Raum erzeugen. Diese n Vektoren nennt man dann eine Basis des n-dimensionalen Raums.
  Speziell im 3-dimensionalen Raum gilt: Mit 3 linear unabhängigen Vektoren kann man jeden Ortsvektor zu einem Punkt im 3-dimensionalen Raum beschreiben.
  Beispiele:
• Die 3 Vektoren sind linear unabhängig.
  Der Ortsvektor zum Punkt (3/-5/2) wird durch die 3 Vektoren erzeugt aus .
  Das ist natürlich trivial, weil die 3 Basisvektoren in die Richtung der Koordinatenachsen des kartesischen Koordinatensystems zeigen.
• Die 3 Vektoren  sind linear unabhängig.
  Der Ortsvektor zum Punkt (9/-1/-20) wird durch die 3 Vektoren erzeugt aus  mit den Lösungen λ=4, μ=-2 und ν=5.
  Im schiefwinkligen Koordinatensystem, in dem die 3 Basisvektoren die Richtung der Koordinatenachsen angeben und in dem durch die Länge der Basisvektoren die Einheit auf diesen Achsen vorgegeben ist, hat der im kartesischen Korrdinatensystem gegebene Punkt (9/-1/-20) nun die Koordinaten (4/-2/5).
• Siehe auch das GeoGebra-Arbeitsblatt zu schiefwinkligen Koodinatensystemen.
  
• Die Beschreibung einer Geraden mit Vektoren haben wir am 2009-08-07 schon angesprochen. Bitte dort noch einmal nachschauen.

• Das Gaußsche Eliminationsverfahren ist ein Hilfsmittel, um lineare Gleichungssysteme sicher lösen zu können.
  Im Prinzip wird von einem Gleichungssystem mit n Gleichungen und m Variablen ausgegangen, aus dem ein Gleichungssystem mit n-1 Gleichungen und m-1 Variablen gebildet wird. Dieser Prozess wird solange fortgeführt, bis nur noch eine Gleichung oder eine Variable vorhanden ist.
  In speziellen Fällen gibt es allerdings oft einfachere und schnellere Verfahren.
  Hier ein Beispiel für ein Gleichungssystem mit 3 Gleichungen und 3 Variablen.
  Die jeweils noch zu lösenden Gleichungssysteme sind rot eingefärbt.
  
  Aus III folgt z = 0
  Damit folgt aus II: -10y+0 = -10  →  y = 1
  und daraus folgt aus I: 2x-4+0 = 6  →  2x = 10  →  x = 5
• Eine Gerade, die in der Form y=m·x+b geschrieben werden kann, kann folgendermaßen in Parameterdarstellung angegeben werden: 
  Dabei ist Δy/Δx=m.
• Die weiteren Übungsaufgaben in der Stunde stammen aus dem aktuellen Kapitel "Parameterdarstellungen von Geraden" im Buch auf Seite 40.

• Bitte die behandelten Themen "Punkt und Gerade", "Punktprobe", "Schnittpunkt von Gerade mit Koordinatenebene", "Gegenseitige Lage zweier Geraden" im Buch auf den Seiten 41 bis 49 nachbereiten.
• Aufgabe: Zwei Körper bewegen sich auf Bahnen, die durch die Geradengleichungen und  gegeben sind. t ist dabei die Zeit.
  Zu welchem Zeitpunkt haben die Körper die geringste Entfernung voneinander und wie groß ist der minimale Abstand?
  Befindet sich Körper 1 zur Zeit t bei A und Körper 2 bei B, so kann man ihren Abstand berechnen, indem man die Länge des Verbindungsvektors AB bestimmt. Die kürzeste Länge erhält man aus der Lösung einer entsprechenden Extremwertaufgabe:
  
  Länge von AB:
  Ableiten:
  Nullsetzen:
  Länge von AB zur Zeit t=21/52:
  Die Körper sind sich zur Zeit t=21/52 am nächsten und zwischen ihnen besteht eine Distanz von etwa 2.

• Wiederholung zur bisher behandelten Vektorrechnung.
• Aufgabe: Ein Spat (Parallelflach) ist gegeben:
  
  Der Spat wird aufgespannt duch die Vektoren a, b und c.
  Punkt T teilt die Strecke CG im Verhältnis 3:1.
  Punkt S teilt die Strecke AT im Verhältnis 1:1.
  Gegeben sind die Punkte A(0/0/0), B(4/0/0), D(2/3/1) und E(1/2/5).
  Gesucht sind das Verhältnis, in dem S die Strecke HP teilt und die Koordinaten des Punktes P, der in der Ebene ABCD liegen soll.^
• Lösung:
  Als geschlossener Streckenzug mit Abknicken an den wichtigen Punkten wird ASPA gewählt.
  Die Vektorsumme entlang dieses Streckenzugs ergibt den Nullvektor.
  Die Vektorsumme wird in Vielfachen von den Vektoren a, b und c aufgestellt.
  Die Koeffizienten müssen 0 sein. Daraus ergeben sich die gesuchten Teilverhältnisse.
  
  Damit ergibt sich:
• S teilt die Strecke HP im Verhältnis 5:3
• Da A der Koordinatenursprung ist, liegt P bei λ·AB+μ·AD.
  Daraus ergeben sich für die Koordinaten von P:  

• Thema 1: Wie berechnet man die Länge eines Vektors?
  Stellt man sich den Vektor als Diagonale in einem Quader vor, dessen Kanten parallel zu den Koordinatenachsen verlaufen, so kann man mit Hilfe des Satzes von Pythagoras (3-dim) die Länge berechnen:
     
• Thema 2: Wie kann man ermitteln, ob zwei Vektoren senkrecht zueinander stehen?
  Beispiel: Stehen die Vektoren  senkrecht zueienander?
  
  Aus der Zeichnung geht hervor, dass wegen des Satzes von Pythagoras zwischen den Vektoren a und b ein rechter Winkel ist, wenn die Quadrate der Längen von a und b summiert gleich der Länge von (b-a) zum Quadrat sind:
  
  Die Quadrate heben sich weg:
  Da in dieser Restsumme die Komponenten zweier Vektoren multipliziert werden, schreibt man abgekürzt als Produkt:
  
  Dieses Produkt nennt man Skalarprodukt, da das Ergebnis im Gegensatz zum Vektor (Richtung und Länge) ein Skalar (Zahl) ist.
  Die beiden oben genannten Vektoren stehen senkrecht zueinander, da
• Liegen zwei Vektoren parallel, so ergibt das Skalarprodukt das Produkt ihrer Längen:
  Wähle Vektor a so, dass er die Länge 1 hat. Dann gilt für die beiden Vektoren λ·a und μ·a das Skalarprodukt λ·a * μ·a = λ·μ·a² . Da wegen der Länge 1 aber a² den Wert 1 hat, ergibt das Produkt λ·μ.
• Als Zwischenergebnis halten wir fest:
• 
  
• 
• Was ist, wenn die Vektoren einen Winkel α einschließen?
  
  Der Vektor a wird in zwei Teilvektoren zerlegt, die ih als Summe ergeben. Der eine Teilvektor ist parallel zum Vektor b, der andere ist senkrecht zm Vektor b.
  Es gilt dann: 

• Übungen zum Berechnen von Winkeln
  
  Zu berechnen sind die Winkelgrößen (gelb, rot, grün) wenn die Abmessungen des Hauses wie eingezeichnet gegeben sind.
  Zur Lösung werden die Koordinaten folgender Punkte benötigt (x-Achse nach rechts, y-Achse nach hinten, z-Achse nach oben):
  F(16/0/4) ; G(16/10/4) ; J(14/5/7,5) ; K(8/0/4) ; L(8/5/7,5) ; M(8/10/4) ; N(16/5/4) ; P(14/5/4)
• α: gelber Winkel KLM
  
• β: grüner Winkel FJG
  
• γ: roter Winkel JNP
  
  

• Wiederholung zur Klausur

• Klausur 1   [ Aufgaben | Lösungen ]

• Abstand zweier windschiefer Geraden
• Aufgabe: Es sind zwei Geraden g₁ und g₂ durch ihre Parametergleichungen gegeben. Gesucht ist der Abstand der Geraden.
  
• Lösung: Es wird ein Vektor n gesucht, der senkrecht zu den beiden Richtungsverktoren der Geraden liegt.
  Dann wird die Länge dieses Vektors so verändert, dass der Vektor zwischen die Geraden "passt". Gleichung:
  
  Das sich ergebende Gleichungssystem mit 2 Gleichungen und 3 Unbekannten ist unterbestimmt.
  Man wählt eine Variable frei, z.B. x=3 und erhölt daraus y=-2 und z=6.
  
  Der Taschenrechner liefert die Lösung dieses Gleichungssystems:
       
  Es interessiert hier nur der ν-Wert 2. Damit hat der Verbindungsvektor 2·n die Komponenten 6, -4 und 12 und es folgt für den Abstand der Geraden:
  
• Das Finden eines Vektors, der senkrecht zu zwei gegebenen Vektoren liegt, ist eine Routinerechnung (Aufstellen und Lösen eines Gleichungssystems), die ggf. etwas zeitaufwändig ist.
  Man sollte deshalb diesen Vorgang ein einziges Mal allgemein durchrechnen und dann das Ergebnis der Rechnung als Formel benutzen:
  Aufgabe: Gegeben sind die beiden Vektoren a und b. Gesucht ist der Vektor n, der senkrecht zu a und b steht:
  
   
  
  Das Gleichungssystem ist unterbestimmt. Deshalb wählt man eine Variable frei: n₃=1
  
  
  Damit haben wir den gesuchten Vektor n erhalten. n3 ist mit dem Wert 1 gegenüber den beiden anderen Komponenten "bevorzugt".
  Der Vektor wird deshalb mit a₁·b₂-a₂·b₁ multipliziert. Dabei bleibt die Richtung des Vektors erhalten:
  
  Die Rechenoperation, mit der man aus 2 Vektoren einen zu beiden Vektoren senkrechten Vektor erhält, nennt man Vektorprodukt (oder Kreuzprodukt) und bezeichnet den Operator durch x.
  Beispiel:

• Besprechung und Rückgabe der Klausur 1 [ Aufgaben | Lösungen ]
• Sind in einem Bezugssystem mit dem Ursprung O zwei Punkte A und B gegeben, so kann die Gerade durch A und B dargestellt werden durch .
  
  a ist dabei der Ortsvektor zum Punkt A und der Richtungsvektor u ergibt sich als Differenz der Ortsvektoren zu den Punkten A und B.
• Analog kann man eine Ebene im Raum beschreiben: .
  
• Grundlegende Aufgaben,
  wie z.B. "Punktprobe" (liegt ein Punkt auf einer gegebenen Ebene?) oder "Ebene durch 3 gegebene Punkte legen"
  lassen sich analog zu den Aufgaben
  wie "Punktprobe" (liegt ein Punkt auf einer gegebenen Gerade?) oder "Gerade durch 2 gegebene Punkte legen" bei Geraden lösen.
  Hausaufgabe dazu: Seite 95 Aufgaben 9 (1), 10a, 11a

• Sollen nicht eine ganze Ebene, sondern nur die Punkte eines Teils der Ebene beschrieben werden, geschieht das durch Einschränkung des Bereiches der Werte für die Parameter.
  Beispiel: Gegeben sind die Punkte A(0/1/2), B(2/0/4) und C(4/8/0). Gesucht ist eine Beschreibung aller Punkte im Dreieck ABC.
  Ebenengleichung: 
  Für λ und μ muss gelten, dass 0≤λ≤1 und 0≤μ≤1 und außerdem 0≤λ+μ≤1.
• Die Berechnung des Flächeninhalts des oben angeführten Dreiecks kann mit Hilfe des Vektorprodukts erfolgen:
  Bilden 2 Vektoren zwei Kanten eines Parallelogramms, dann gilt für den Flächeninhalt A des Parallelogramms:
  Das Dreieck, von dem 2 Seiten von den Vektoren gebildet werden, hat dann den halben Flächeninhalt:
  
  
• Der Schnitt (eine Gerade) der oben angegebenen Ebene mit der x₁-x₂-Ebene soll berechnet werden. 
• 1. Methode: Gleichsetzen der Ebenengleichungen (Koordinatenebene gleich gegebene Ebene):
  
  Der Taschenrechner liefert mit dem rref-Befehl:
       
  Aus der 3.Zeile folgt ν - ξ = -1 oder ν = ξ -1. Durch Einsetzen in der Ebenengleichung folgt die Schnittgeraden-Gleichung
  
• 2. Methode: Da alle Punkte in der x₁-x₂-Ebene den x₃-Wert 0 haben, wird angesetzt:
  
  

• Normalenform der Ebenengleichung
  
  Die Lage einer Ebene ist durch einen Punkt P der Ebene und durch einen Normalenvektor, der senkrecht auf der Ebene steht, vollständig festgelegt.
  Damit gilt für alle Punkte P der Ebene, dass der Vektor PX senkrecht zum Normalenvektor stehen muss:
  
  Die Gleichung nennt man Normalenform (NF).
  Beispiele:
• Gegeben ist die Ebene, die den Punkt P(5/-1/3) enthält und zu der der Vektor mit den Komponenten (2/6/-7) senkrecht steht.
  Ist der Punkt Q(-4/3/8) ein Punkt der Ebene?
  
  Einsetzen von Q: . Also liegt der Punkt Q nicht in der Ebene.
• Ist der Punkt R(-1/1/3) ein Punkt der Ebene?
  . Also ist R ein Punkt der Ebene.
• Koordinatenform der Ebenengleichung
  Setzt man in die Normalenform des Beispiels allgemein den Punkt X(x₁,x₂,x₃) ein, so ergibt sich
  , oder allgemein
  
  Diese Darstellung der Ebene nennt man Koordinatenform.
  Die Ebene in unserem Beispiel schneidet die x-Achse bei -17/2, die y-Achse bei -17/6 und die z-Achse bei 17/7 (bitte nachrechnen!).
  Formt man die Koordinatengleichung so um:
  ,
  so sieht man, dass die Nenner unter den x_i die Koordinatenschnittpunkte angeben, wenn auf der rechten Seite der Gleichung eine 1 steht.
  (Dieses Ergebnis lässt sich übrigens auf Geradengleichungen in der Ebene übertragen.)
• Hessesche Normalenform
  Wählt man in der Normalenform statt eines beliebigen Normalenvektors den Normalenvektor der Länge 1, so erhält man die
  Hessesche Normalenform:
  Setzt man in die Hessesche Normalenform (HNF) den Ortsvektor irgendeines Punktes ein, so erhält man auf der rechten Seite der Gleichung nur dann 0, wenn der Punkt auf der Ebene liegt und sonst einen Wert, der den Abstand des Punktes von der Ebene angibt.
  
  Begründung: Man zerlegt den Vektor PX in einen Teil, der in der Ebene liegt und einen, der senkrecht zur Ebene steht. Dann ergibt sich:
  , wenn d der Abstand des Punktes X von der Ebene ist.
  Beispiel:
  Welchen Abstand hat der Punkt Q(-4/3/8) von der Ebene (siehe oben)?
  NF:
  HNF: (durch die Wurzel dividiert, damit der Normalenvektor die Länge 1 erhält)
  Einsetzen des Ortsvektors von Punkt Q:
  Der Punkt Q hat also etwa den Abstand 3 von der Ebene.

• Ebenengleichungen können (u.a.) beschrieben werden durch 
• eine Parametergleichung der Form 
• eine Koordinatengleichung der Form 
• die Normalenform (NF) als
• die Hessesche Normalenform (HNF)
• Abstand zwischen zwei parallelen Ebenen: Wähle einen Punkt aus der einen Ebene und berechne dessen Abstand zur anderen Ebene.
  Beispiel:
  Gegeben sind die beiden Ebenen
  Ebene E₁ in NF schreiben. Den Normalenvektor erhält man als Vektorprodukt aus den Richtungsvektoren:
  
  
  In HNF umwandeln. Dazu die Länge des Normalenvektors berechnen:
  
  HNF:
  Ortsvektor der Ebene E2 auf der linekn Seite der HNF einsetzen ergibt rechts den Abstand der Ebenen:
  
• Schnittwinkel zweier Ebenen
  Man bildet die Normalenvektoren der beiden Ebenen und berechnet den Winkel zwischen diesen Normalenvektoren. Das ist auch der Winkel zwischen den Ebenen.
  

• Gegeben sind 3 Ebenen (Parameterform, Normalenform, Koordinatenform). Gesucht ist der Schnittpunkt der 3 Ebenen.
  
• Umwandeln der Ebenen in die Koordinatenform:
• E₁:
  Mit Hilfe des Vektorprodukts wird aus den beiden Richtungsvektoren ein Normalenvektor der Ebene erzeugt.
  Mit diesem Normalenvektor und dem Ortsvektor der Ebenengleichung wird dann die Ebene in Normalenform beschrieben,
  um dann durch Einsetzen eines Vektors mit den Komponenten x, y und z nach Umformung zur Koordinatengleichung zu kommen:
  Normalenvektor:
  Normalenform:
  Koordinatenform: 
• E₂:
  Einsetzen eines Vektors mit den Komponenten x, y und z und Umformung zur Koordinatengleichung:
  
• Gleichungssystem aus den 3 Ebenengleichungen in Koordinatenform aufstellen und mit dem Taschenrechner (rref-Matrix-Befehl) lösen lassen:
   
       
  Der Punkt mit den Koordinaten (3,2/-6,8/-3,4) ist also der Schnittpunkt der 3 Ebenen.
  
• Bei einer weiteren behandelten Aufgabe (Seite 120, Aufgabe 9) ging es darum, herauszufinden, ob die Spitze eines Schornsteins den nötigen (vom Gesetz her vorgeschriebenen) Abstand von der Dachfläche besitzt.
  Das Problem lässt sich reduzieren auf die Aufgabe "Abstand eines Punktes von einer Ebene".
  Aufgabe bitte zur nächsten Stunde abschließen.

• Wiederholung zur Klausur (semesterübergreifendes Thema Analysis: Ableitungen und Eigenschaften von Graphen).
• Winkel zwischen Gerade und Ebene
  
  Man bestimmt den Winkel α zwischen dem Richtungsvektor der Geraden und dem Normalenvektor der Ebene.
  Der Ergänzungswinkel zu 90°-α ist dann der Winkel zwischen Gerade und Ebene.

• Nachtrag zur Normalenform (NF) und zur Hesseschen Normalenform (HNF):
  Generell gilt, dass in einem n-dimensionalen Raum durch die NF und HNF ein (n-1)-dimensionales Gebilde beschrieben wird.
  So wird im 3-dimensionalen Raum eine (2-dimensionale) Ebene beschrieben
  und im 2-dimensionalen Raum wird eine (1-dimensionale) Gerade beschrieben.
• Abstandsberechnungen im 3-dimensionalen Raum wie "Abstand eines Punktes von einer Ebene" lassen sich also auch im 2-dimensionalen Raum analog durchführen.
  Beispiel:
  Berechnen Sie den Abstand des Punktes P(5/2) von der Gerade mit der Gleichung .
  Aus dem Richtungsvektor der Gerade wird der Normalenvektor gewonnen. Für den einzusetzenden Punkt der Gerade nimmt man den Ortsvektor der Gerade.
  
  Durch die Länge des Normalenvektors dividiert ergibt sich die HNF:
  
  Mit Einsetzen der Koordinaten des Punktes P erhält man rechts statt 0 die Entfernung von der Gerade: