Unterrichtseinsichten - Schuljahr 2009/2010 - Physik 12PH3g

Wellen

• Wiederholung und Übung zur Wellengleichung
• Doppler-Effekt
  Bewegt sich eine Schallquelle oder ein Schall-Empfänger, so ändert sich die Tonhöhe in Abhängigkeit von der Geschwindigkeit.
  Die Sirene eines Unfallwagens, der sich nähert, hört man mit höherem Ton, als wenn sich der Wagen mit der Sirene entfernt.
  Kirchenglocken klingen höher, wenn man mit dem Auto auf die Kirche zu fährt, als wenn man von ihr weg fährt.
• Herleitung der Gesetzmäßigkeit für die gehörte Tonhöhe (hier für eine auf den Empfänger zu bewegte Schallquelle):
  Ein Sender S sendet ein Signal mit der Frequenz f_S aus.
  Die Schallgeschwindigkeit sei c.
  Die Geschwindigkeit der Schallquelle sei v.
  Die Wellenlänge λ_S ergibt sich (nach dem Weg-Zeit-Gesetz s=v·t) aus der Formel λ_S=c·T=c/f_S mit T als Zeit, die ein Schwinger für eine ganze Schwingung gebraucht, und in der die Welle um eine Wellenlänge weitergelaufen ist.
  
  Angenommen, in der Skizze sendet der Sender am linken Ende einen Wellenberg aus.
  Der vorherige Wellenberg ist dann gerade am rechten Ende angekommen. Dazwischen liegt die Strecke λ_S.
  In der Zeit, in der die Welle die Strecke λ_S zurücklegt, bewegt sich der Sender um die Strecke x=v·T weiter.
  Am Ende der Strecke x wird vom Sender also wieder ein Wellenberg ausgesendet.
  Damit bewegen sich die Wellenberge im Abstand λ_E weiter, den der Empfänger als Wellenlänge λ_E misst.
  Daraus folgt:
  
  Weiter gilt:
  (Sender bewegt sich auf ruhenden Empfänger zu)
  Diese Formel gibt an, einen Ton welcher Frequenz f_E der Empfänger hört, wenn sich der Sender mit der Geschwindigkeit v auf den Empfänger zu bewegt und dabei einen Ton mit der Frequenz f_S aussendet.
• Entfernt sich der Sender vom Empfänger, muss man einfach alle Minuszeichen durch Pluszeichen ersetzen.
  Es ergibt sich dann die Formel
  (Sender bewegt sich von ruhendem Empfänger weg)

• Übungen zu den Doppler-Effekt-Formeln
• Doppler-Effekt bei bewegtem Empfänger und ruhendem Sender
  Herleitung der Gesetzmäßigkeit für die gehörte Tonhöhe (hier für einen auf den Sender zu bewegten Empfänger):
  Ein Sender S sendet ein Signal mit der Frequenz f_S aus.
  Die Schallgeschwindigkeit sei c.
  Die Geschwindigkeit des Empfängers sei v.
  Die Wellenlänge λ_S ergibt sich (nach dem Weg-Zeit-Gesetz s=v·t) aus der Formel λ_S=c·T=c/f_S mit T als Zeit, die ein Schwinger für eine ganze Schwingung gebraucht, und in der die Welle um eine Wellenlänge weitergelaufen ist.
  
  Startet der Empfänger, wenn ein Wellenberg bei ihm ankommt, mit der Geschwindigkeit v zum Sender, so erreicht er den nächsten Wellenberg nach der Zeit T_E und einer Strecke, die der Empfänger als λ_E interpretiert.
  Der Wellenberg selbst hat sich in dieser Zeit T_E um die Strecke x=c·T_E fortbewegt.
  Es gilt also .
  Weiter gilt:
• Entfernt sich der Empfänger vom Sender, muss man einfach alle Minuszeichen durch Pluszeichen ersetzen.
  Es ergibt sich dann die Formel
   (Empfänger bewegt sich von ruhendem Sender weg)
• Insgesamt ergeben sich also für die verschiedenen Voraussetzungen folgende Formeln:
  
  
• Überlagerung von Wellen
  Versuch mit dem Quinckeschen Interferenzrohr
  
  In ein Rohr, das aus zwei U-förmigen Teilen besteht, die miteinander verbunden sind, wird auf der einen Seite Schall geleitet.
  Auf der anderen Seite wird die Intensität der überlagerten Schallwelle gemessen.
  Das Rohr wird auf der einen Seite verlängert, indem es in 1cm-Schritten auseinandergezogen wird.
  Messwerte: Oszilloskop: eine Wellenlänge umfasst 3,5 Einheiten bei 50μs pro Einheit.
  
• Bei der qualitativen Betrachtung war auffällig, dass das Signal nach Durchlaufen des Rohrs stärker war, als wenn das Mikrophon dem Sender ohne Zwischenbau direkt gegenüber steht.
  Das erklärt sich daraus, dass der Schall im Rohr geführt wird und fast vollständig im Mikrophon ankommt.
  Ein Beispiel für eine solche Schallführung ist die "Flüstertüte", die früher z.B. auf Sportplätzen eingesetzt wurde, heute aber von Lautsprechern und Megaphonen abgelöst ist.
  
• Hausaufgabe: Messwerte im Diagramm darstellen, glatte Kurve durch die Messpunkte legen, T, f und λ bestimmen. 
  Seite 163, Aufgabe 6

• Die Auswertung des Versuchs aus der letzten Stunde (Quincke-Rohr) mit dem Taschenrechner ergibt folgende Bildschirme:
         
  Anmerkung: Es ist nicht korrekt, die einzelnen Messpunkte mit Strecken zu verbinden.
  Würde man diese Verbindungen aber nicht einzeichnen, wäre (siehe Bild ganz rechts) der Zusammenhang zwischen den Messpunkten (fast) nicht zu erkennen.
  Besser sieht der Graph z.B. mit OOo.Calc aus:
  
• Beim Auseinanderziehen des Rohres misst man am Ausgang unterschiedliche Schallstärken, je nach der Länge, um die das Rohr verlängert wurde.
  Man erkennt, dass etwa alle 4,3cm ein Tiefpunkt und auch ein Hochpunkt vorkommt.
  Da das Rohr sich insgesamt um das Doppelte von der gemessenen Wegstrecke verlängert hat (zwei Seiten), folgen also Hochpunkte und Tiefpunkte im Abstand von etwa 8,6cm Schallweg.
  Die beiden am Ausgang eintreffenden Schallsignale müssen sich also in der Überlagerung verstärkt oder abgeschwächt haben. Wellenberg und Wellenberg werden sich dabei verstärken und Wellenberg und Wellental werden sich abschwächen.
  Zwei aufeinander folgende Maxima haben also den halben Abstand wie die Wellenlänge, d.h. λ=8,6cm.
  Damit folgt mit der Schallgeschwindigkeit c=340m/s=34000cm/s und der Formel c=f·λ für die Frequenz f=c/λ=34000/8,6Hz=3950Hz.
  Und für die Schwingungsdauer folgt T=1/f=1/3950s=0,000253s=0,253ms.
• Warum zwei entgegenlaufende Wellen sich gegenseitig verstärken bzw. auslöschen können, kann man sehen, wenn man die Phasen der sich überlagernden Wellen betrachtet.
  Je nach Phase addieren sich die y-Werte der den Wellen zugehörigen Sinuskurven zu mehr oder weniger großen Werten.
  Statt der Funktionswerte der Sinuskurven kann man auch die zu den Phasenwinkeln gehörenden Zeigern betrachten.
  Siehe zur Idee der Zeiger folgende GeoGebra-Datei:
  
• In folgender GeoGebra-Simulation kann man mit gegenläufigen und gleichlaufenden Wellen "experimentieren".
  Zu verändern sind Wellenlänge, Amplitude u.a.
  
• Im oberen Bereich der Simulation werden die Auslenkungen der einzelnen Schwinger in Abhängigkeit von der Zeit dargestellt.
  Unten kann man mit dem Empfänger E abtasten, wie groß die Intensität der Schwingung an einer bestimmten Stelle ist.

• Rückgabe der Klausur 3 [ Aufgaben | Lösungen ]
• Nachtrag zum Thema Schwingung:
  In der spanischen Kathedrale von Santiago de Compostela wird ein Weihrauchgefäß (Botafumeiro) an einem langen Seil durch die Kathedrale schwingen gelassen.
  Vier Männern gelingt es allein dadurch, dass sie das Aufhängeseil verkürzen und verlängern, den Weihrauchkessel innerhalb kürzester Zeit maximal auszulenken.
  Wir haben den Vorgang im Video  (siehe auch hier und hier) betrachtet und dann mit einem Freihandversuch nachgestellt.
  
• Wiederholung und weitere Auswertung zum Versuch mit dem Quincke-Rohr
  Bei der Simulation zweier entgegenlaufender Wellen haben wir gesehen:
  Im Bereich der Überlagerung gibt es Stellen, an denen die Summe der Elongationen der beiden Wellen ständig 0 sind
  und andere Stellen, an denen sich die Summe zwischen zwei Maximalwerten ständig ändert.
  Ist das Mikrophon mit einer Stelle verbunden, an der die Gesamtelongation immer 0 ist, so wird kein Schallsignal empfangen,
  ist das Mikrophon mit einer Stelle verbunden, an der die Gesamtelongation wechselt, so wird ein Schallsignal in einer Stärke empfangen, die von den Werten der Maxima der Elongationen abhängig ist.
• Versuch zur stehenden Welle
  Ein Gummiband wird zwischen zwei Halterungen eingespannt.
  An einem Ende werden mit Hilfe eines Sinusgenerators Auslenkungen des Gummibandes erzeugt, die sich am Band entlang ausbreiten.
  Bei bestimmten Anregungsfrequenzen sieht man, dass einige Stellen des Gummibandes immer in Ruhe sind, während andere Stellen stark hin und her schwingen.
  
  Hausaufgabe: Erklärung dieses Phänomens.

• Erklärung zum schwingenden Gummiband (siehe Bild oben).
  Das Phänomen nennt man "stehende Welle" (zum Namen mehr in der nächsten Stunde).
  Dadurch, dass die Welle am festen Ende reflektiert wird und dabei einen Phasensprung von 180° bzw. π erfährt, überlagern sich die nach rechts und die nach links laufende Welle so, dass an manchen Stellen immer Ruhe herrscht (Schwingungsknoten) und an anderen Stellen die Schwinger in maximaler Bewegung sind (Schwingungsbauch).
  Sind nur an den beiden festen Enden Schwingungsknoten, so nennt man die Schwingung "Grundschwingung".
  Sind mehr Knoten vorhanden, so nennt man diese Schwingungen "Oberschwingungen".
  In der Musik werden diese Oberschwingungen ausgenutzt (z.B. bei den Trompeten und Posaunen, bei denen man bei den Oberschwingungen von "Naturtönen" spricht) und der Zusammenklang mehrerer Oberschwingungen prägt das Klangbild des jeweiligen Musikinstruments.
• Der Zusammenhang zwischen Wellenlänge und Länge des schwingenden Gummibands:
   
  Es entsteht also bei zwei festen Enden eine stehende Welle, wenn die Länge des schwingenden Gebildes ein Vielfaches der halben Wellenlänge ist.
• Wenn zwei lose Enden vorhanden sind, ergibt sich:
   
  Auch hier gilt wie bei zwei festen Enden:
  Bei zwei losen Enden entsteht eine stehende Welle, wenn die Länge des schwingenden Gebildes ein Vielfaches der halben Wellenlänge ist. 
• Nicht nur bei linearen Wellen (Gummiband, Schraubenfeder), sondern auch bei Wellen, die sich in der Ebene ausbreiten, können stehende Wellen entstehen.
  Wird eine Metallplatte mit Sand bestreut und dann mit einem Bassbogen angestrichen und damit in Schwingungen versetzt, so bilden sich stehende Wellen aus.
  An den Schwingungsbäuchen wird der Sand verweht, an den Schwingungsknoten bleibt er liegen bzw. sammelt sich dort.
  Je nachdem, wo die Platte durch den Bogen berührt wird und welche Stellen der Platte fixiert werden, ergeben sich unterschiedlichste Bilder.
  Diese Bilder nennt man "Chladnische Klangfiguren". Schöne Bilder dazu findet man auch bei Leifi.
  Hier 2 Beispiele aus dem Unterricht:
   

• Stehende Wellen bei einem losen und einem festen Ende:
  
  
• Bei 1 Schwingungsknoten gilt für die Länge L des Schwingers und die Wellenlänge λ: L=1/4·λ
• Bei 2 Schwingungsknoten gilt für die Länge L des Schwingers und die Wellenlänge λ: L=3/4·λ
• Bei 3 Schwingungsknoten gilt für die Länge L des Schwingers und die Wellenlänge λ: L=5/4·λ
• Allgemein gilt bei k Schwingungsknoten: L=(2k-1)/4·λ
• Bei Wellen wird Energie und keine Materie transportiert.
  Bei stehenden Wellen wird dagegen Energie nur über kleine Strecken zwischen Schwingungs-Knoten und Schwingungs-Bäuchen ausgetauscht.
  Bei maximaler Auslenkung der Schwinger steckt die gesamte Energie als Spannenergie in den Schwingern, die sich in den Knoten befinden.
  Bei Auslenkung 0 steckt die gesamte Energie als Bewegungsenergie in den Schwingern, die trotz Auslenkung 0 eine von 0 verschiedene Geschwindigkeit besitzen.
• Das Verhalten von 2-dimensionalen Wellen haben wir an der Wellenwanne untersucht.
  
  Zwischen den Erregern bildet sich eine stehende Welle aus.
  Jeder Erreger ist Zentrum von sich ausbreitenden kreisförmigen Wellen.
  An allen Stellen mit Phasenunterschied 0 ist bei der überlagerten Welle ein Ort maximaler Auslenkung.
  An allen Stellen mit Phasenunterschied 180° (oder π) ist ein Ort mit keiner Auslenkung.
  Die Orte maximaler Auslenkung und die Orte mit Auslöschung liegen auf Hyperbeln.
• Trifft eine gerade Wellenfront auf ein Hindernis, in dem eine Lücke besteht, so bildet sich hinter der Lücke eine Kreiswelle aus.
  Bei mehreren Lücken entstehen bei jeder Lücke Kreiswellen, deren Zentren in der Lücke liegen.
  Durch Überlagerung dieser Kreiswellen hinter dem Hindernis kommt es bei sehr vielen Kreiswellen durch Überlagerung wieder zu einer geraden Wellenfront.
• Es gilt das Huygenssche Prinzip: An jedem Punkt einer Wellenfront werden ständig Kreiswellen (Elementarwellen) erzeugt, die in ihrer Überlagerung wieder die Wellenfront bilden.
  Wie mit dem Huygensschen Prinzip die Reflexion von Wellen an einerm Hindernis gedeutet werden kann, sieht man hier.

• Die Ausbreitung einer geraden Wellenfront lässt sich mit dem Huygensschen Prinzip erklären:
  An jeder Stelle der Wellenfront wird eine Elementarwelle erzeugt. Alle Elementarwellen zusammen überlagern sich so, dass immer wieder eine gerade Wellenfront erzeugt wird.
  In einer GeoGebra-Simulation kann man das erkennen (aber Vorsicht: die Grenzen des Modells sind offenkundig, da die Anzahl der Elementarwellen zu gering ist).
  
• In der letzten Stunde haben wir konstruiert, wie der Verlauf einer geraden Wellenfront nach Reflexion an einer ebenen Fläche aussieht.
  Wir haben erkannt: Es gilt Einfalls- gleich Ausfallswinkel.
  In "Wirklichkeit" treffen aber die Ausläufer aller Elementarwellen überall auf die reflektierende Fläche auf.
  In dieser Stunde haben wir nun für eine dieser Elementarwellen mit dem Zeigerkonzept ermittelt, welcher Anteil der Elementarwelle am meisten zur Reflexion beiträgt.
  Und wieder ergibt sich: Es ist der Teil der Elementarwelle, für den gilt "Einfallswinkel gleich Ausfallswinkel" (siehe GeoGebra-Arbeitsblatt)
  
• Wasserwellen haben bei unterschiedlicher Wasserhöhe unterschiedliche Geschwindigkeiten.
  In der Wellenwanne wird die andere Wasserhöhe durch Einlegen einer dünnen Scheibe realisiert:
  
  Die unterschiedliche Geschwindigkeit erzeugt eine Brechung der Wellen.
  Auch diesen Effekt kann man mit dem Zeigermodell deuten. Dazu mehr in der nächsten Stunde.

• In flachem Wasser breiten sich Wasserwellen langsamer aus als in tiefem Wasser.
  Beim Übergang zwischen verschiedenen Wassertiefen werden deshalb Wellen gebrochen.
  Mit Hilfe der folgenden GeoGebra-Simulation kann man den Punkt an der Grenzschicht ermitteln, an dem im klassischen Sinne z.B. ein vom Sender zum Empfänger laufender Lichtstrahl gebrochen würde.
  
  Siehe zur Brechung von Wasserwellen auch dieses sehr gute Applet von Walter Fendt
• Hausaufgabe: Seite 164, Aufgabe 14 und das Thema "stehende Wellen" wiederholen

• In einem oben offenen Glasrohr wird der Wasserstand stufenlos geändert.
  Bei einigen Wasserständen (Pfeile) erzeugt eine angeschlagene Stimmgabel, die über das offene Ende gehalten wird, einen stark klingenden Ton.
     
  Es entstehen stehende Wellen im Glasrohr, wobei das obere Ende offen und das untere Ende fest sind.
• Die Grundschwingung ensteht, wenn die Länge des freien Rohres eine Viertel-Wellenlänge beträgt (Wasser steht bis zum obersten Pfeil).
  Im Versuch waren das 20cm. Daraus folgt eine Wellenlänge von 80cm und eine Frequenz von 425Hz.
  Die Aufschrift 435Hz auf der Stimmgabel bestätigt das Ergebnis (bei einem Messfehler von +-0,5cm).
• Die erste Oberschwingung (Wasserstand wie abgebildet) entsteht, wenn der freie Raum 3/4 der Wellenlänge ausmacht, in diesem Fall 20cm+40cm=60cm.
  Auch mit diesem Wert ergibt sich die Frequenz 425Hz.
• Zur Vorbereitung auf die Lernzielkontrolle im Buch die Aufgaben auf den Seiten 163 und 164 bearbeiten.

• Wiederholung zur Lernzielkontrolle

• Lernzielkontrolle

• Nachschreibtermin Lernzielkontrolle

• Rückgabe der Lernzielkontrolle [ Aufgaben | Lösungen ] und der Nachschreib-LZK [ Aufgaben | Lösungen ]