Unterrichtseinsichten - Schuljahr 2009/2010 - Physik 12PH3g

Schwingungen

• Möchten wir die Vorgänge in unserer Welt besser verstehen, ist es sinnvoll, nach bereichsübergreifenden Größen und Prinzipien zu suchen.
  So haben wir in der Sek.I die Begriffe "Kraft" und "Energie" kennen gelernt. Das letzte Semester stand unter dem Thema "Felder".
• In diesem Semester geht es nun um periodische, d.h. immer wiederkehrende Vorgänge.
  Einige wenige Beispiele aus der Umwelt sind Jahreszeiten, Tageszeiten, Kinderschaukel, Ankunft der Nahverkehrszüge am Bahnhof, Herzschlag, Windmühlen, Ebbe und Flut, usw.
• All diesen periodischen Vorgängen gemeinsam ist, dass nach einer bestimmten Zeit derselbe (oder der gleiche) Vorgang wieder beginnt.
  Die Zeit für eine Periodenlänge nennt man Schwingungsdauer T.
  Werden in der Zeit t die Anzahl n Perioden vollständig abgeschlossen, so spricht man beim Quotienten aus n und t von der Frequenz f=n/t.
  Da eine Periode (n=1) in der Zeit T abgeschlossen wird, kann man auch schreiben f=1/T.
• Beispiele für periodische Vorgänge mit Übungen zur Berechnung von f und T
• Beidseitige Reflexion eines Wagens auf der Luftkissenfahrbahn
  
  Der Wagen auf einer Luftkissenfahrbahn gleitet mit konstanter Geschwindigkeit v=10 cm/s zwischen zwei Begrenzungen (Abstand L) hin und her.
  An den Begrenzungen wird der Wagen durch 2 Federn elastisch reflektiert.
• Berechne die Schwingungsdauer und die Frequenz des Wagens (keine Reibung, Länge des Wagens W=0, Federn ohne Ausdehnung)
  T ergibt sich aus der Summe für einen Hin- und einen Rückweg: T=t₁+t₂ mit t₁=t₂
  Anzuwenden ist die Formel s=v·t für die geradlinige Bewegung mit v=const.
  
  Daraus folgt: und
• Berechne allgemein die Schwingungsdauer und die Frequenz des Wagens der Länge W (Wegstrecke L, keine Reibung, Federn ohne Ausdehnung)
  Nun gilt s=L-W. Daraus folgt:
  
• Schwingungsdauer und Frequenz eines vollelastisch senkrecht springenden Balls ohne Widerstand
  
  Der Ball fällt aus der Höhe h mit konstanter Fallbeschleunigung g=10m/s².
  Die Zeit für eine Schwingung setzt sich zusammen aus den gleich langen Zeiten für den Fall und den Aufstieg: T=t₁+t₂.
  Anzuwenden ist die Formel s=1/2·g·t² für den freien Fall (beschleunigte Bewegung) mit s=h und t=t₁=t₂.
  
  Zusatzfrage: Aus welcher Höhe muss der Ball fallen, damit er im Sekundentakt springt?
  
• Schwingung eines Balls auf einer geknickten Ebene
  
  Die beiden Teil-Ebenen besitzen den Winkel α zum Untergrund, der Ball legt auf jeder Ebene die Strecke L (senkrecht zum Knick) zurück.
  
  Hausaufgabe: Wiederholen Sie das Thema "schiefe Ebene" und berechnen Sie die Schwingungsdauer und die Frequenz des auf der Ebene rollenden Balls.

• Schwingung der Kugel auf der geknickten schiefen Ebene
• Die Gesamtzeit T für eine Schwingung ergibt sich aus 4 Teilzeiten: t₁: linke Ebene nach unten, t₂: rechte Ebene nach oben, t₃: rechte Ebene nach unten, t₄: linke Ebene nach oben.
• Die Abwärtsbewegung auf der linken Seite ist eine beschleunigte Bewegung. Es gelten daher die Formeln s=1/2·a·t² und v=a·t.
  s ist die Länge L der Ebene. Unbekannt ist die Beschleunigung a.
• Es gilt die Newtonsche Bewegungsgleichung, hier für die Hangabtriebskraft F_H:  F_H=m·a  mit der Masse m der Kugel. Daraus folgt a=F_H/m
• F_H lässt sich berechnen aus der Gewichtskraft F_G=m·g:  sin α = F_H/F_G  →  F_H=F_G·sin α=m·g·sin α 
• Nun kann man einsetzen: 
  und umformen nach t:
• Es gilt t₁=t₂=t₃=t₄. Darum gilt für die Schwingungsdauer: 
• Für  α=90° erhalten wir das Springen des Balls, das wir schon in der letzten Stunde untersucht haben.
  Formel für die schiefe Ebene mit α=90°: 
  Für den springenden Ball hatten wird folgende Formel erhalten:
  h=L, das ist kein Problem. Aber warum ist der Faktor vor der Wurzel nicht gleich?
  Da beim freien Fall die Fallstrecken senkrecht und waagrecht übereinstimmen, benötigen wir nur einen Fall und einen Aufstieg, die Schwingungsdauer ist also nur halb so groß.
• Bemerkenswert ist, dass die Masse der Kugel nicht in der Gleichung vorkommt. Die gefundene Formel gilt also für alle Bälle, ganz gleich wie viel Masse sie haben (wenn man Reibungseffekte ausschließt).

• Harmonische Schwingung - Schwingungsgleichung
• Die Schwingung einer Schraubenfeder (schwingende Masse durch M dargestellt) kann als Projektion der Bewegung eines Punktes K auf einem Kreis aufgefasst werden.
  In der Animation sieht man, dass die y-Koordinaten von M und K immer gleich sind.
  Für die Schraubenfederschwingung gilt also die Bewegungsgleichung y=sin(ω·t), wobei ω=α/t (Winkel pro Zeit) die Winkelgeschwindigkeit ist.
  Im Kontextmenue des Schiebereglers können die Bedingungen für die Animation eingestellt werden. Am unteren Rand des Bildschirms findet man eine Pause- bzw. Start-Knopf.
      
• Wodurch der Wert für die Winkelgeschwindigkeit bestimmt ist, werden wir in der nächsten Stunde besprechen.
• Beispiele für (fast) harmonische Schwingungen 
• Schraubenfeder-Schwingung. Die Schwingung wurde mit einem Kraftsensor registriert.
  
• Schwingung einer Stimmgabel. An einer Zinke der Schreib-Stimmgabel ist ein spitzer Dorn befestigt, der auf eine rußgeschwärzte Platte die Schwingungsfigur zeichnet.
     

• Wiederholung für die Schülerinnen und Schüler, die in der letzten Woche am Skikurs teilgenommen haben.
• Herleitung der Schwingungsformel zur harmonischen Schwingung (Teil 1):
  
  Die Kreisbewegung (siehe GeoGebra-Applet der letzten Stunde) verläuft so, dass der Winkel α proportional zur Zeit t ist: α~t.
  Der Proportionalitätsfaktor ist die Winkelgeschwindigkeit ω, die man auch als ω=2π/T schreiben kann: α=ωt=2π/T·t.
  Mit dem Radius s_m, der die maximale Auslenkung des Pendels bedeutet, gilt im rechtwinkligen Dreieck ZCK: .
  Nach s aufgelöst und in Abhängigkeit von t geschrieben ergibt sich 
• Hausaufgabe: Berechne die Geschwindigkeit und die Beschleunigung bei der harmonischen Schwingung, jeweils in Abhängigkeit von t.
  Hilfe: Wir haben uns erinnert, dass bei der beschleunigten Bewegung folgende Gleichungen gelten:
• 
• 
• 

• Geschwindigkeit und Beschleunigung bei der harmonischen Schwingung
• 
• 
• 
• Eine Gleichung wie nennt man Differentialgleichung, weil die Funktion und die Ableitung der Funktion auftreten.
  Durch diese Gleichung ist die gesamte Schwingung mathematisch beschrieben.
  Eine Lösung dieser Gleichung (d.h. eine Funktion, die man für s einsetzen kann) ist neben der Sinusfunktion z.B. auch die Kosinusfunktion.
• Die Frage, wie durch die Federkonstante D einer Feder und der angehängten Masse m die Schwingungsdauer T bestimmt wird, haben wir heute in einer Schülerübung untersucht.
  
  Auswertung und theoretische Überlegungen in der nächsten Stunde.

• Schwingungsdauer T einer harmonischen Schwingung
• Versuch:
  Da sich aus qualitativen Vorversuchen ergibt, dass die Schwingungsdauer eines Federpendels (schwingende Schraubenfeder) von der Masse und der Federkonstante abhängt, werden 3 Versuchsreihen durchgeführt:
  1. Bestimmung der Federkonstanten
  2. Abhängigkeit der Schwingungsdauer T von der Masse m bei konstanter Federkonstante D (also dieselbe Feder).
  3. Abhängigkeit der Schwingungsdauer T von der Federkonstante D bei konstanter Masse m.
• Bestimmung der Federkonstanten aus der Verlängerung der Schraubenfeder bei wirkender Kraft.
  Dazu wird jeweils ein bestimmter Ort des Auflagetellers gemessen und die angehängte Masse:
  
  Zur Auswertung:
  Die Kraft F wird über die Beziehung F=m·g berechnet, die Verlängerung s der Schraubenfeder über die Differenzen der Orte.
  D ergibt sich dann aus D=F/s.
  
  Gerechnet wurde mit g=10m/s².
  Ergebnisse: Die 1. Feder besitzt die Federkonstante D₁=0,12 N/cm, die 2. Feder besitzt die Federkonstante D₂=0,06 N/cm.
• Abhängigkeit der Schwingungsdauer T von der Masse m bei konstanter Federkonstante D
  Für verschiedene Massen m wird jeweils die Zeit t für 10 Schwingungen gemessen.
  
  
  Auswertung mit  dem Taschenrechner (PwrReg)
  
  Feder 1
             
  
  Feder 2
             
  
  Es ergibt sich für die Feder 1 mit D₁=0,12 N/cm die Beziehung T=0,06·m^0,51
  und für die Feder 2 mit D₂=0,06 N/cm die Beziehung T=0,10·m^0,45.
  Nichtganzzahlige Exponenten deuten auf eine Wurzelbeziehung hin.
  Da die Exponenten näher an 0,5=1/2 als an 0,33=1/3 liegen, könnte der gesuchten Beziehung folgende Propotionalität zu Grunde liegen: T~√m.
• Um die Abhängigkeit von D zu finden, werden die Schwingungsdauern beider Federn jeweils bei konstanter Masse verglichen.
  Graphische Darstellung bei m=200 g:   
  Da nur jeweils 2 Messpunkte vorliegen, ist es nicht sinnvoll, eine Regression durchzuführen.
  Der Taschenrechner liefert beim Versuch mit der Regression PwrReg folgende Ergebnisse:
  50 g : T=0,17·D^-0,45
  100 g : T=0,20·D^-0,49
  150 g : T=0,26·D^-0,47
  200 g : T=0,44·D^-0,32
  250 g : T=0,47·D^-0,35    
  Die negativen Hochzahlen deuten darauf hin, dass D unter einer Wurzel im Nenner vorkommt.
  Für die Massen von 50 g bis 150 g scheint das eine Quadratwurzel zu sein, für die Massen von 200 g bis 250 g eher eine Kubikwurzel.
• Insgesamt könnten also folgende 2 Formeln (mit irgendeiner Konstanten c) den Versuch beschreiben:
  
  
• Theoretische Herleitung der Formel für die Schwingungsdauer
  Bekannt sind schon die Gleichungen für s(t), v(t) und a(t).
  Die Bewegungsgleichung für die harmonische Schwingung lautet .
  Nach dem Hookeschen Gesetz gilt .
  Gleichsetzen der Gleichungen: 
  Ersetzt man die Winkelgeschwindigkeit durch die Schwingungsdauer, so ergibt sich
  
  Bei der experimentellen Auswertung ist also die links stehende Formel richtig.
  c müsste also den Wert 2π haben. Trifft das zu?

• Mathematisches Pendel (=punktförmige Masse, die an einem masselosen Faden auf einer Kreisbahn schwingt)
  Im Schülerversuch wurde die Abhängigkeit der Schwingungsdauer von verschiedenen Einflüssen untersucht.
  
• Angehängte Masse
  Übereinstimmendes Ergebnis: Die Masse hat keinen Einfluss auf die Schwingungsdauer.
• Auslenkung
  Auch hier wurde kein Einfluss auf die Schwingungsdauer entdeckt.
  Im Gespräch haben wir aber gesehen, dass bei sehr großen Auslenkungen durchaus die Schwingungsdauer sehr große Werte annehmen kann (Beispiel: Schiffsschaukel)
• Länge des Fadens
  Messergebnisse:  
  Auswertung:  
  Anmerkung: Wenn die Länge in m angegeben wird, vergrößert sich a um den Faktor 10.
  Der Mittelwert des Exponenten beträgt 0,468, liegt also in der Nähe von 0,5.
  Es könnte deshalb sein, dass die Schwingungsdauer T proportional zur Wurzel aus der Länge des Fadens ist:  T~√L.
  Aufschluss kann da wieder eine theoretische Betrachtung des Vorgangs sein. Dazu mehr in der nächsten Stunde.

• Zeichnung zum mathematischen Pendel (s ist der von der Ruhelage aus zurückgelegte Weg, x der Abstand der Kugel vom Faden in der Ruhelage):
  
  Unmittelbar aus der Zeichnung liest man ab: (mit α im Bogenmaß).
  Für kleine Winkel (α<10°) sind x und s etwa gleich. D.h. man kann sin α durch α ersetzen.
  Daraus folgt: und damit F ~ α bzw. F ~ s.
  Das ist die Bedingung für das Vorliegen einer harmonischen Schwingung. Ein Fadenpendel schwingt also bei kleinen Auslenkungen (fast) harmonisch.
  Für die harmonische Schwingung hatten wir beim Federpendel die Beziehung F = -D · s gefunden.
  Schreiben wir hier analog (mit dem Minuszeichen, weil die Kraft entgegengesetzt zur Auslenkung ist) F = - (m·g/L)·s, so gilt .
• Für die Schwingungsdauer der harmonischen Schwingung eines Federpendels haben wir gefunden: .
  Ersetzen wir jetzt D durch den oben gefundenen Term, so ergibt sich für die Schwingungsdauer eines Fadenpendels bei kleiner Amplitude
  
  Die Schwingungsdauer ist also proportional zur Quadrat-Wurzel aus der Länge des Fadens.
  Wichtig ist in physikalischen Formeln auch oft eine Größe, die nicht vorkommt, hier z.B. die Masse m.
  Die Schwingunsgdauer T ist also unabhängig von der schwingenden Masse.
• Für große Amplituden mit Winkeln über 10° schwingt das Fadenpendel nicht mehr harmonisch. Die Schwingugnsdauer hängt dann auch von der Masse ab.
  
• Überlagerung von Schwingungen
  
• Zwei gleiche Stimmgabeln werden angeschlagen: Man hört nur einen Ton.
• Eine der Stimmgabeln wird durch Aufsetzen eines Reiters verstimmt: Man hört zwei Töne fast gleicher Tonhöhe. Die Lautstärke des Klanges nimmt periodisch zu und wieder ab.
• Wird der Reiter nicht am oberen Rand der Stimmgabel sondern weiter unten aufgesetzt, so gleichen sich die Frequenzen der beiden Töne mehr an und das An- und Abschwellen der Lautstärke geschieht langsamer. 
• Deutung der Versuche:
  Durch das Aufsetzen des Reiters wird wegen der zusätzlichen Masse die Schwingung langsamer und damit der Ton tiefer.
  Die beiden Töne überlagern sich. Die gesamte Amplitude ergibt sich zu jeder Zeit aus der Addition der Amplituden beider Schwingungen.
  In der folgenden GeoGebra-Anwendung wird das experimentell Gesehene simuliert.
  Für die beiden Schwingungen werden die Schwingungsgleichungen verwendet.
  Die gesamte Auslenkung zur Zeit t ergibt sich dann aus s(t) = s₁(t) + s₂(t).
  Einzelne Parameter können in der Anwendung frei gewählt werden.
  
  
  Gute Sichtbarkeit der Schwebung bei großen Frequenzen, die fast gleich sind.
  
  
• Hausaufgabe: Seite 137 Aufgabe 3

• Wiederholung zu den Themen "Überlagerung von Schwingungen" und "Schwebungen" an Hand der GeoGebra-Anwendung.
  Die Frequenz f_Sch der Schwebung ergibt sich aus den Frequenzen f₁ und f₂ der Schwingungen durch f_Sch = | f₁ - f₂ |
• Erzwungene Schwingung
  
  Die Spiralfeder des Drehpendels wird durch einen Motor periodisch angetrieben. (Für Interessierte: Facharbeit zum Pohlschen Drehpendel und  das Pohlsche Pendel im Hochschulpraktikum)
  Wir haben gesehen: Die Energie wird vom Antrieb dann besonders gut auf das Drehpendel übertragen, wenn die Frequenz des Antriebs und des Drehpendels übereinstimmen.
  Der Antrieb muss mit einer Phasenverschiebung von 90° dem schwingenden Pendel vorauseilen.
• Hausaufgabe: Seite 138, Aufgabe 4

• In der Hausaufgabe ging es darum, ob die Masse einer Schraubenfeder Einfluss auf die Schwingungsdauer des Federpendels hat und zu welchem Teil die Masse der Schraubenfeder berücksichtigt werden muss.
  Mit m_K = "an die Schraufenfeder gehängte Masse" ; m_F = "Masse der Schraubenfeder" ; m = "Masse des gesamten Systems" war der k-Wert in der Beziehung m = m_K + k·m_F gesucht.
• Dirk hat sich zu Hause nicht nur mit den gegebenen Werten befasst (es ergab sich der Wert k=0,35), sondern allgemein das Problem untersucht:
• Die Länge der gesamten Feder beträgt L, S ist die Entfernung vom Aufhängepunkt der Feder bis zu einer bestimmten Stelle.
• Ist die Masse der Feder homogen verteilt, so befindet sich auf der Teilstrecke Δs die Teilmasse Δm.
  Es gilt die Beziehung Δm/m_F=Δs/L und damit Δm=m_F·Δs/L.
• Die Geschwindigkeit der unteren Federbegrenzung sei v_F.
  Alle anderen Teile der Feder bewegen sich mit einer kleineren Geschwindigkeit.
  Das Federstück der Masse Δm an der Stelle S hat die Geschwindigkeit v_S.
  Es gilt die Beziehung v_S/v_F=S/L und damit v_S=v_F·S/L.
• Für die kinetische Energie des Federstückes der Masse Δm gilt .
• Die Gesamtenergie ergibt sich durch Integration von 0 bis L:
  
  In diese Energie geht also die Federmasse nur zu 1/3 ein.
  Damit muss auch gelten: k=1/3 (0,35 ist ein recht guter Näherungswert).
• Zwei Versuche zur erzwungenen Schwingung zeigen: Größere Gegenstände haben eine tiefere Eigenfrequenz als kleinere Gegenstände.
  Mit einem Schwingungserreger wurden unterschiedlich lange Blattfedern und ein Metallauto in Schwingungen versetzt.
   
• Der sehr bekannte Film über die Tacoma Narrows Bridge zeigte uns, dass selbst Gegenstände, die scheinbar sehr starr sind, bei Schwingungen (hier selbsterregte Schwingung) in Resonanz geraten können und dass bei zu viel Energiezufuhr die Resonanzkatastrophe eintreten kann - hier der Einsturz der Brücke.
• Hausaufgabe: Seite 138, Aufgaben 9 und 10

• Wilberforce-Pendel
  
  Das Wilberforce-Pendel kann so abgestimmt werden, dass die Schwingung in senkrechter Richtung dieselbe Schwingungsdauer hat wie die Drehschwingung des angehängten Massestücks.
  Die Schwingungsenergie des einen Schwingungsmodus wird jeweils in den anderen Schwingungsmodus übertragen, so dass Longitudinall- und Drehschwingung abwechseln.
  Die Schwingungsart, die die Energie empfängt hinkt jeweils mit der Phasenverschiebung von 90° bzw. π/2 hinter der Energie abgebenden Schwingung her.
• Auch beim gekoppelten Pendel strömt Energie von einem Pendel zum anderen Pendel:
  
  Bei dieser Anordnung sieht man sehr schön, die Phasenverschiebung von π/2 zwischen den Pendeln.
• Hausaufgabe: Seite 138 Aufgabe 6

• Ergänzt man den Versuch der letzten Stunde um einige schwingende Kugeln, so erkennt man folgende Gesetzmäßigkeiten:
     
  zunächst schwingt nur die linke Kugel. Die Energie dieser Kugel wird kontinuierlich an die rechts daneben hängenden Kugeln weiter gegeben.
  Grund ist die Kopplung der Pendel durch den oben angebrachten Querfaden.
  Schließlich kommt die linke Kugel zur Ruhe und nur die Kugeln rechts schwingen.
  Da die rechte Kugel aber rechts keine Nachbarin hat, fließt die Energie nun nach links und der Prozess spielt sich symmetrisch ab.
  So wandert die Energie ständig hin und her.
• Ordnet man die Kugeln immer dichter an und bringt man eine festere Kopplung an (z.B. durch einen starreren Querfaden), so wird der Energietransport beschleunigt.
  Eine sehr lange Schraubenfeder kann man sich aus sehr vielen Schwingern (jedes Masseteilchen der Feder ist ein Schwinger) vorstellen, die sehr stark miteinander gekoppelt sind.
  Die Auslenkung einer Schraubenfeder zur Seite bewirkt eine Störung, die sich mit großer Geschwindigkeit entlang der Feder ausbreitet.
  Diese sich ausbreitende Störung nennt man Welle.
• Wellenarten
• Transversalwelle (Querwelle)
  Die einzelnen Schwinger schwingen senkrecht zur Ausbreitungsrichtung der Welle.
  Beispiele: Schwingung durch seitliche Auslenkung eines Bandes, einer Kette oder einer Schraubenfeder, Wasserwellen
• Longitudinalwelle (Längswelle)
  Die Schwinger schwingen in Ausbreitungsrichtung der Welle
  Beispiele: große Schraubenfeder, Schallwellen
• Verhalten von Wellen am Ende des schwingfähigen Systems
• Reflexion am festen Ende:
• Transversalwelle: Wellenberg wird als Wellental und Wellental als Wellenberg reflektiert.
• Longitudinalwelle: Verdichtung wird als Verdichtung und Verdünnung als Verdünnung reflektiert.
• Reflexion am losen Ende: 
• Transversalwelle: Wellenberg wird als Wellenberg und Wellental als Wellental reflektiert.
• Longitudinalwelle: Verdichtung wird als Verdünnung und Verdünnung als Verdichtung reflektiert.

• Wiederholung zur Arbeit.
• Betrachtungen von Wellenausbreitung an der Wellenmaschine:
  
• Simulation der Ausbreitung von Störungen mit dem Programm Wellma6.
• Reflexion am losen Ende. Am Ende schwingt der letzte Schwinger durch. Ein Wellenberg wird als Wellenberg reflektiert.
      
• Reflexion am festen Ende. Der letzte Schwinger ist fixiert. Ein Wellenberg wird als Wellental reflektiert.
        
• Das Fortschreiten der Welle geschieht dadurch, dass die Geschwindigkeiten der Schwinger auf beiden Seiten des Wellenbergs in unterschiedliche Richtungen zeigen.
  In Ausbreitungsrichtung zeigen die Geschwindigkeitspfeile eines Wellenbergs nach oben, auf der anderen Seite nach unten.
• Setzt man bei einem Wellenberg die Geschwindigkeit aller Schwinger auf 0, so breiten sich 2 Störungen symmetrisch zur Seite aus:
   
  
   
  
  
• Treffen Wellenberg und Wellental zusammen, so löschen sie sich kurzzeitig (fast) aus.
  Wegen der unterschiedlichen Geschwindigkeitsvektoren bilden sich Wellenberg und Wellental neu aus.
  Wellenberg und Wellental durchdringen sich ungestört.
   
  
  
  
  
• Das Simulationsprogramm kann man sich auf der Seite der Uni Erlangen herunterladen.

• Wiederholung zur Klausur
• Herleitung der Wellengleichung
  
  Die Darstellung zeigt einen sich nach rechts ausbreitenden Wellenzug.
  Zur Zeit t₀ beschreibt die rote Kurve, zur Zeit t₁=t₀+Δt die grüne Kurve die Welle.
  Zur Zeit t₀ ist also der Schwinger bei 0 in der Ruhelage, zur Zeit t₁ ist es der Schwinger bei 1.
  Wenn für den Schwinger bei 0 die Gleichung s₀(t)=s_M·sin(ωt) gilt, so gilt für den Schwinger bei 1 die Gleichung s₁(t)=s_M·sin(ω(t-Δt)), weil er erst Δt später die entsprechende Auslenkung zeigt.
  Das Δt soll nun in der Gleichung ersetzt werden durch eine Angabe zum Ort, wo sich der Schwinger bei 1 befindet.
  Es gilt für die Ausbreitungsgeschwindigkeit c der Welle wegen der Beziehung Geschwindigkeit=Weg/Zeit sowohl c=x/Δt mit x als Ort des Schwingers bei 1 als auch c=λ/T mit λ als Wellenlänge und T als Schwingungsdauer der Schwinger.
  Daraus folgt .
  Eingesetzt in der Wellengleichung ergibt sich 
  In dieser Form der Wellengleichung kann man sowol für einen Schwinger an einer bestimmten Stelle x den zeitlichen Verlauf der Schwingung untersuchen als auch zu einer bestimmten Zeit t die Auslenkung der Schwinger an beliebigen Orten x.

• Klausur 3  [ Aufgaben | Lösungen ]