Unterrichtseinsichten - Schuljahr 2009/2010 - Mathematik 9a

Trigonimetrie

• In einer gesetzlichen Verordnung für öffentliche Rampen steht, dass Rampen für Rollstuhlfahrer höchstens eine Steigung von 6% haben dürfen.
• Was versteht man unter 6% Steigung?
  Ihr vermutetet, ein Steigungswinkel von 90° würde eine Steigung von 100% bedeuten und 0% würde einen Steigungswinkel von 0° angeben. Zwischen diesen Randwerten würden die Winkel und Prozentwerde proportional sein.
• Information: Die Prozentzahl bei einer Steigung gibt an, wieviel Prozent der waagrecht zurückgelegten Strecke dabei an Höhenunterschied dazugekommen ist.
  Euch war klar: 100% entspricht 45° Steigungswinkel und 0% entspricht 0° Steigungswinkel.
  
• Und wie ist es mit Steigungen zwischen 0% und 100%? Sind Winkel und zugehörige Prozentzahl proportional zueinander?
  Dann müsste bei einem Steigungswinkel von 30°(=2/3·45°) eine 2/3·100%-Steigung (also 66,7%) vorliegen.
  Aus der roten Figur (Hilfsfigur schwach rot, um ein gleichseitiges Dreieck zu bekommen mit der Möglichkeit, die Länge der senkrechten Strecke zu berechnen) folgt, dass bei einer waagrechten Strecke von 5 sich eine senkrechte Strecke von 2,9 Länge ergibt. 2,9 ist aber 58% von 5 und nicht 66,7%.
  Also sind Prozentzahl der Steigung und Steigungswinkel nicht proportional zueinander!
• In der Abbildung ergeben sich bei den einzelnen Dreiecken folgende prozentuale Steigungen:
• gelbes Dreieck: senkrechte Strecke/waagrechte Strecke = 5,0/5,0=1=100%
• rotes Dreieck: senkrechte Strecke/waagrechte Strecke = 2,9/5,0=5,8/10=0,58=58%
• blaues "Dreieck": senkrechte Strecke/waagrechte Strecke = 0/5,0=0=0%
• Im Unterrichtsgang zur Ähnlichkeit haben wir gesehen: Wenn die Verhältnisse entsprechender Seiten in zwei Figuren übereinstimmen, so sind die Figuren ähnlich und die Winkel in den Figuren stimmen überein. 
• Die Größe der Winkel in einem Dreieck ist also gekoppelt an das Verhältnis der Seiten zueinander.
• Da kein einfacher Zusammenhang zwischen Winkel und Seitenverhältnis existiert (siehe missglückter Versuch oben), hat man neue Beziehungen definiert:
   AK = Ankathete ; GK = Gegenkathete ; HY = Hypotenuse
  Im rechtwinkligen Dreieck liegt die Hypotenuse dem rechten Winkel gegenüber.
  Von den zwei Katheten, die zusammen den rechten Winkel bilden, liegt die Ankathete am eingezeichneten Winkel und die Gegenkathete liegt dem Winkel gegenüber.
• Tangens: tan α = GK/AK
• Sinus: sin α = GK/HY
• Kosinus: cos α = AK/HY
• Um mit Winkeln im Gradmaß arbeiten zu können, sollte man auf dem Taschenrechner den Modus (MODE) DEGREE einstellen:  
• Tangens, Sinus und Kosinus kann man über die Tasten tan, sin, cos und nachfolgender Winkelgröße eingeben.
• Will man den Winkel berechnen, gibt man 2nd mit nachfolgendem tan, sin oder cos ein und als Argument wählt man das Seitenverhältnis.

• Das Wort Trigonometrie enthält die Bedeutungen "Dreieck" und "Maß". Mit Sinus Kosinus und Tangens werden Beziehungen zwischen dem Verhältnis von Seitenlängen und Winkeln in einem rechtwinkligen Dreieck angegeben.
  Während in rechtwinkligen Dreiecken mit Hilfe des Satzes von Pythagoras bei Kenntnis zweier Seiten die dritte Seite berechnet werden kann, kann man mit Hilfe der Trigonometrie auch die Winkel bzw. mit Hilfe der Winkel auch die Seitenlängen berechnen.
• Bei Aufgaben sollte man so vorgehen:
• Suchen nach rechtwinkligen Dreiecken
• Gegebene und gesuchte Größen aufschreiben
• Die Beziehung (sin, cos, tan) heraussuchen, die die meisten gegebenen Größen enthält
• Gesuchte Größen berechnen
• Die meisten Sinuswerte lassen sich nicht durch einen kurzen Term angeben, sondern müssen näherungsweise bestimmt werden oder aus Tabellen oder mit dem Taschenrechner ermittelt werden.
  Ausnahmen bilden u.a. die Sinuswerte für die Winkel 30°, 45° und 60°
• 
  
  Im roten rechtwinkligen Dreieck ist der Winkel α=30° gegeben. Damit hat der dritte Winkel die Winkelgröße 60°.
  Spiegelt man das Dreieck an der Seite c, so ergibt sich ein gleichseitiges Dreieck (alle Winkel 60°).
  Es gilt sin α = a/b. Da a+a'=b, gilt b=2a.
  Also folgt sin α = a/b = a/(2a) = 1/2.
• 
  
  Im roten rechtwinkligen Dreieck ist der Winkel α=45° gegeben. Damit hat der dritte Winkel auch die Winkelgröße 45°.
  Das Dreieck ist also gleichschenklig und es gilt a=c.
  b kann man nun mit dem Satz des Pythagoras berechnen:
  Damit gilt:
• 
  
  Im roten rechtwinkligen Dreieck ist der Winkel α=60° gegeben. Damit hat der dritte Winkel die Winkelgröße 30°.
  Spiegelt man das Dreieck an der Seite a, so ergibt sich ein gleichseitiges Dreieck (alle Winkel 60°).
  a ist die Höhe im gleichseitigen Dreieck, c ist halb so lang wie b, also b=2c.
  Damit lässt sich a berechnen:
  Damit gilt:

• Besprechung und Rückgabe der Klassenarbeit 1 [ Aufgaben | Lösungen ]
• Aus gegebenem Anlass: Wiederholung zum Lösen von linearen und quadratischen Gleichungen
• lineare Gleichung
  1. Sortieren: alle Summanden mir der Variable auf die eine und alle Summanden ohne die Variable auf die andere Seite der Gleichung
  2. Vereinfachen auf beiden Seiten der Gleichung
  3. Variable ausklammern
  4. Dividieren durch den Faktor der Variable (in der Regel eine Klammer)
  Beispiel:
  
• quadratische Gleichung
  1. Alles auf die linke Seite der Gleichung bringen und dort sortieren nach Potenzen von x 
  2. Falls der Faktor vor x² nicht 1 ist, die Gleichung durch diesen Faktor dividieren
  3. Lösung entsprechend der p-q-Formel aufschreiben
  Beispiel:
  
• Wiederholung zum Thema "Sinus, Kosinus und Tangens" (siehe oben)

• Sinus, Kosinus und Tangens am Einheitskreis
  
  Mit Hilfe des GeoGebra-Arbeitsblattes (Klick auf das Bild oder auf den Link) kann erkundet werden, wie sich die Werte von sin α, cos α und tan α bei Variation des Wertes von α verändern.
  Erläuterungen zur Bedienung im Arbeitsblatt.
• Einige besonders gut zu merkende Werte für sin α und cos α
  
• Aus der Zeichnung mit dem Einheitskreis liest man unmittelbar ab 
• (man benutze den Satz vom Pythagoras)
• (man benutze den Strahlensatz)
• (man benutze die Symmetrie zwischen sin und cos - gut zu sehen im Geogebra-Arbeitsblatt, wenn dort die Spuren für Sinus und Kosinus gezeichnet sind).

• Warum gibt es tan 90° nicht?
• Im GeoGebra-Arbeitsblatt sieht man, dass der Tangens als Abschnitt auf der Tangente am Einheitskreis abgemessen werden kann.
  Wenn aber der Winkel 90° wird, trifft der freie Schenkel des Winkels nicht mehr die Tangente, sondern verläuft parallel zu ihr.
  Es gibt keinen Schnittpunkt, also auch keinen Wert für tan 90°.
• Setzt man in der Formel der letzten Stunde für den Winkel 90° ein, so ergibt sich formal .
  Durch 0 kann aber nicht dividiert werden, also existiert auch tan 90° nicht.
• Beim Lösen von Anwendungs-Aufgaben mit Hilfe von sin, cos und tan sollte man immer nach rechtwinkligen Dreiecken ausschauen.
• Bei räumlichen Gebilden hilft es oft, wenn man Strecken, die sich in einer schräg im Raum liegenden Ebene befinden, in einer Ebene betrachtet und zeichnet, die in der Papierebene des Heftes liegt.
• Hausaufgabe: Seite 76, Aufgabe 19 und Seite 77, Aufgaben 22a und 24

• Bei vielen Aufgaben zur Trigonometrie kommt es darauf an, durch Zeichnungen, Einfügen von Hilfslinien und Lösung von Teilaufgaben den Lösungsweg vorzuplanen und das Vorgehen klar und deutlich erkennbar zu halten - für sich selbst und für den, der die Lösung liest.
  2 Beispiele:
• Berechne den Winkel α, der sich zwischen einer Raumdiagonalen und einer Kante (Länge a) eines Würfels befindet.
  
  Idee: Wenn man die Längen von a und d kennt, kann man mit cos α=a/d den Winkel α berechnen.
  a ist gegeben, d erhält man aus dem rechts abgebildeten Schnittgebilde mit dem Satz des Pythagoras aus d²=e²+a².
  e erhält man aus der in der Mitte abgebildeten Teilfigur mit dem Satz des Pythagoras aus e²=a²+a².
  Die benötigten Teilfiguren werden nicht perspektivisch verzerrt mit Angabe der Eckpunkte gezeichnet.
  Folgende Teilüberlegungen ergeben nun die Lösung:
• 
• 
• 
• Ein Seil hängt von der Decke. Es ist so lang, dass noch 50 cm flach auf dem Boden liegen können.
  Zieht man das Seil aber straff, so erreicht es den Boden noch 250 cm entfernt vom Ort, über dem es aufgehängt ist.
  Wie lang ist das Seil und welchen Winkel schließt es, wenn es straff gespannt ist, mit dem Boden ein?
  
  Zunächst ist eine Zeichnung sehr wichtig. Die Strecken in der Zeichung werden bezeichnet, die Länge des Seils mit L, weil man den Wert der Länge noch nicht kennt.
  Erkennt man das rechtwinklige Dreieck, das 2-mal aus dem Seil und 1-mal aus dem Boden gebildet wird, kann man mit dem Pythagoras L berechnen.
  Der Winkel α ergibt sich dann mit cos α = 250/L.
• Pythagoras: 
  Die Seillänge beträgt also 650 cm.
• . Daraus folgt α ≈ 67,4°.
• Hausaufgabe: Seite 76 Aufgaben 14, 15, 16

• Teilweise hattet Ihr noch Schwierigkeiten bei der Hausaufgabe.
  Leichter wird es, wenn Ihr Euch folgendes Vorgehen merkt:
• Zeichnung anfertigen
• nach rechtwinkligen Dreiecken schauen
• entsprechend der gesuchten und gegebenen Größen eine der trigonometrischen Funktionen (sin, cos, tan) auswählen und damit Gleichung aufstellen
• umformen der Gleichung zur gesuchten Größe und diese Größe berechnen
• Berechnung von Dreiecken, die nicht rechtwinklig sind
  Lösungsidee: Durch Einfügen von Hilfslinien rechtwinklige Dreiecke erzeugen und diese zur Berechnung verwenden.
• Aufgabe:
  Die Entfernung von A-Stadt nach C-Heim ist gesucht, kann aber nicht so einfach gemessen werden, da zwischen den Städten ein Fluss fließt.
  
  Man misst stattdessen die Entfernung von A-Stadt nach B-Dorf und bestimmt die Winkel, unter denen zu dieser Verbindungsstrecke C-Heim von den beiden Orten gesehen wird.
  Als Hilfslinie fügt man die Höhe h von A-Stadt auf die Verbindungs-Strecke von C-Heim nach B-Dorf ein.
  Nun gilt:
  Bei C-Heim findet sich der Winkel 180°-50°-65° = 65°.
  Damit gilt:
  Die Entfernung von A-Stadt nach C-Heim beträgt also etwa 5 km.
• Hausaufgabe: Seite 85 Aufgabe 4a

• Besprechung der Hausaufgabe und weiterer ähnlicher Aufgaben zur Bestimmung von Winkeln und Strecken in Dreiecken, die nicht rechtwinklig sind.
• Verallgemeinerung aller dieser Rechnungen:
  
  Im allgemeinen Dreieck ABC soll eine Beziehung zwischen den Seiten a und b und den Winkeln α und β hergestellt werden.
  Im linken Teildreieck gilt: .
  Im rechten Teildreieck gilt: .
  Durch Gleichsetzen erhält man: (Sinussatz)
• Hausaufgabe: Seite 85 Aufgaben 6, 10, 11

• Besprechung der Hausaufgabe
• Zeichnet Euch bei 3-dimensionalen Körpern Schnittgebilde in extra Zeichnungen auf (siehe 2009-11-04).
• Wiederholt das Umformen von Gleichungen
• bei a·(b·c)=a·b·c muss man nur einen Faktor in der Klammer mit a multiplizieren (so immer bei "·" und ":")
• bei a·(b+c)=a·b+a·c muss man jeden Summanden in der Klammer mit a multiplizieren (so immer bei "+" und "-")
• erst müssen Summanden auf beiden Seiten geordnet werden, dann erst darf multipliziert und dividiert werden
• Wird ein Teilterm auf einer Seite der Gleichung multipliziert, so muss er zum Entfernen dividiert werden.
  Wird ein Teilterm auf einer Seite der Gleichung dividiert, so muss er zum Entfernen multipliziert werden.
  Wird ein Teilterm auf einer Seite der Gleichung addiert, so muss er zum Entfernen subtrahiert werden.
  Wird ein Teilterm auf einer Seite der Gleichung subtrahiert, so muss er zum Entfernen addiert werden.
• Trigonometrische Funktionen:
• Sinus: Gegenkathete durch Hypotenuse
• Kosinus: Ankathete durch Hypotenuse
• Tangens: Gegenkathete durch Hypotenuse
• Prägt Euch die Lage von sin, cos und tan am Einheitskreis ein (2009-10-26)
• Wiederholung: Lösen eines Gleichungssystems mit dem Taschenrechner (siehe unter TI-84-Funktionen).

• Bei Übungen zum Sinussatz haben wir zwei wichtige Punkte kennen gelernt:
• Winkelberechnung mit dem Sinussatz
  Gegeben sind von einem Dreieck a=5, c=7 und α=23°. Zu berechnen ist der Winkel γ.
  Planfigur:
  Anwendung des Sinussatzes:
  Dieser Wert scheint nicht zu stimmen, da in der Zeichnung (Längen und Winkelgrößen stimmen dort) ein Winkel >90° für γ erwartet wird.
  Die Lösung des scheinbaren Widerspruchs ergibt sich durch Konstruktion :
  
  Hier sieht man, dass es 2 Lösungen gibt: Die in der Rechnung gefundene Lösung ist die Winkelgröße für γ₂ rechts oben bei C₂.
  Am Einheitskreis erkennt man, dass es zu einem bestimmten Sinuswert 2 verschiedene Winkel geben kann, die sich gegenseitig zu 180° ergänzen:
  
  Bei der Berechnung von Winkeln mit dem Sinussatz muss man also immer überprüfen, ob der Winkel größer als 90° oder der Winkel kleiner als 90° der richtige Winkel ist.
  In der Planfigur oben wäre also der Winkel 146,8° der richtige Winkel gewesen.
  
  
• Berechnung des Flächeninhalts eines beliebigen Dreiecks mit Hilfe eines Sinuswertes
  Den Flächeninhalt eines Dreiecks berechnt man aus A=1/2·g·h (Grundseite mal Höhe durch 2).
  Ist c die Grundseite, so gilt A=1/2·c·h :
  
  Es gilt .
  Daraus folgt für die Fläche A: .
  Zur Berechnung kann man auch das rechte Dreieck nehmen:
  Aus  folgt
  Mit einer anderen Grundseite als c würde sich als 3. Formel noch ergeben.
  Wenn also von einem Dreieck 2 Seiten und der eingeschlossene Winkel bekannt sind, kann man den Flächeninhalt sehr schnell errechnen durch
  
• Hausaufgabe: Seiten 90/91 Aufgaben 4g,h und 8c,e

• Wie Ihr durch Ausmessen an verschiedenen Dreiecken und Kombinieren der Ergebnisse gefunden bzw. vermutet habt, gilt folgender Satz:
  In einem beliebigen Dreieck teilt die Winkelhalbierende die eine Seite in demselben Verhältnis, in dem die entsprechenden anderen beiden Dreiecksseiten zueinander stehen.
  
  In der Zeichnung bedeutet das: .
  Beweis:
  Im Dreieck ADC gilt
  Im Dreieck ABD gilt
  Daraus folgt durch Gleichsetzen:
  Nun gilt aber in diesem Dreieck δ+ε=180° bzw. ε=180°-δ.
  Es gilt aber (siehe Einheitskreis weiter oben): sin δ = sin (180°-δ)
  Also gilt w.z.z.w.
• Hausaufgabe: Seite 91, Aufgaben 8a,b ; 10 ganz und 12 ganz

• Sind in einem beliebigen Dreieck wenigstens 1 Winkel mit seiner gegenüberliegenden Seite gegeben, so bietet sich der Sinussatz an, um weitere Seiten oder Winkel zu berechnen.
  Sind aber 2 Seiten und der eingeschlossene Winkel gegeben, so kann der Sinussatz nicht angewendet werden. Dann hilft der
• Kosinussatz
  
  Gegeben sind die beiden Seiten b und c und der Winkel α. Die Länge der Seite a ist gesucht.
  Man bestimmt zunächst die beiden Seiten des linken Teildreiecks und geht dann zu den Größen des rechten Teildreiecks über:
  
  
  
  Rechts stehen nun nur bekannte Größen, links steht das gesuchte a.
  Aus Symmetriegründen lässt sich die Herleitung auch auf die Fälle übertragen, bei denen ein anderer Winkel gegeben und dessen gegenüberliegende Seite gesucht ist:
  

• Zunächst hatten wir den Sinus, Kosinus und Tangens nur im Bereich 0° bis 90° definiert.
  Es ist aber sinnvoll, auch größere Winkel für die trigonometrischen Funktionen zuzulassen.
  Es gelten folgende Gleichungen:
• sin α = sin (180°-α)
• cos α = cos -α = cos (360°-α)
• tan α = tan (α+180°) = tan (α-180°)
• Mit dem abgebildeten GeoGebra-Arbeitsblatt kann man diese Gleichungen nachvollziehen: Zu ausgewählten Winkeln werden die sin-, cos- und tan-Werte als Funktionsgraph aufgezeichnet.
  
• Zusammenhang zwischen sin und dem Umkreisradius r eines Dreiecks:
  
  In jedem Dreieck ist der Umfangswinkel γ halb so groß wie der Mittelpunktswinkel 2·γ.
  Im unteren linken Teildreieck der Zeichnung gilt: .
  Aus Symmetriegründen gilt dann auch .

• Wiederholung zur Arbeit:
• Anwendungsaufgaben (Entfernungsberechnung in der Natur, Höhenberechnung, Vorwärtseinschneiden, ...)
  Gehe am besten vom Ziel aus und überlege, welche Größen (Seiten, Winkel) benötigt werden, um die Zielgröße auszurechnen.
  Falls die notwendigen Größen noch unbekannt sind, überlege nun, welche Größen (Seiten, Winkel) benötigt werden, um diese Größen bestimmt werden können.
  Falls die notwendigen Größen noch unbekannt sind, überlege nun, welche Größen (Seiten, Winkel) benötigt werden, um diese Größen bestimmt werden können.
  ...
  Irgendwann wird dieser Prozess auf die gegebenen Größen führen und man kann mit der Berechnung beginnen.
• Formeln für die Berechnungen mit sin, cos und tan:
  
  

• Wiederholung zur Klassenarbeit

• Klassenarbeit 2   [ Aufgaben | Lösungen ]