Unterrichtseinsichten - Schuljahr 2009/2010 - Mathematik 9a

Ähnlichkeit

• Von einem Logo im Format 4x8 werden Fotos in den Formaten 9x13 und 10x15 hergestellt.
                  
                                4x8                                                  9x13                                               10x15
• Warum sind die Grafiken auf den Fotos verzerrt?
  Wir haben gesehen, dass Abbildungen nur dann "gleich" aussehen, wenn die Strecken in waagrechter und senkrechter Richtung mit dem gleichen Faktor vergrößert werden.
  Um vom Bild 4x8 ein Bild mit der Höhe 9 zu erhalten, muss man jede Seite mit 9/4=2,25 multiplizieren. Damit müsste die waagrechte Seite nicht 13, sondern 18 lang sein.
  Der Faktor, mit dem man multiplizieren muss, nennt man Streckfaktor (häufig mit k bezeichnet).
• Um das Bild im Format 9x13 auf das 10-er-Format 10x? zu bringen, muss man rechnen 9·k=10 und 13·k=?.
  Es folgt: k=10/9 und ?=13·k=13·10/9≈14,4<15
  Die Verzerrungen sind im Format 9x13 und 10x15 also unterschiedlich.
  Die Fotofirmen schneiden deshalb die Vorlagen für die Bilder so zu, dass die Bilder unverzerrt abgebildet werden.
• Gilt für 2 unterschiedlich große Figuren, dass alle Strecken der einen Figur k-mal so groß sind wie die entsprechenden Strecken der anderen Figur und dass alle Winkel in beiden Figuren übereinstimmen, so nennt man diese Figuren "ähnlich".
• Die Bedingung "alle Winkel gleich groß" ist wichtig! Z.B. sind ein Quadrat und eine Raute mit jeweils gleich langen Seiten nicht ähnlich, wenn die Raute andere Winkel als 90° besitzt.
• Zusätzlich habt Ihr noch herausgefunden, dass der Flächeninhalt von ähnlichen Figuren sich mit dem k²-fachen ändert. Sind die Längen alle k-mal so lang, so ist der Flächeninhalt k²-mal so groß.

• Besprechung der Hausaufgabe (Entfernungsbestimmung miz Hilfe einer Karet und des Maßstabes 1 : 5 000 000.
• Bei Streckungen mit dem Faktor k werden 3-dimensionale Gebilde um das k³-fache vergrößert.

• Besprechung der "Detektiv-Aufgabe":
• Gegeben sind zwei Dreiecke ΔABC und ΔDEF mit den Zeichnungen
  Die Dreiecke sollen ähnlich sein.
• Ihr habt herausgefunden, dass die Bezeichnungen nicht stimmen können. Der Zeichnung nach könnten nur die Dreiecke ΔABC und ΔEFD ähnlich sein.
• In den abgebildeten Rechnungen sind mehrere Fehler enthalten. Richtig ist:
  Mit dem Streckfaktor k werden die Seiten des Dreiecks ΔABC auf das Dreieck ΔEFD abgebildet. 
  d und f können folgendermaßen berechnet werden:
• 3·k=5 → k=5/3
• 4·k=d → d=4·5/3=20/3
• 6·k=f → f=6·5/3=10

• Zum Thema "Zentrische Streckung" haben wir in der ersten Hälfte der Stunde mit einer "Hexentreppe" experimentiert.
  
  Hält man die untere linke Ecke fest und bewegt die rechts daneben liegende Schraube über eine Figur, so zeichnet die untere rechte Ecke ein vergrößertes Abbild dieser Figur.
• Hier Euer Versuch, mit der Hexentreppe ein Auto zu vergrößern:
  
• Und hier unsere Planskizze zur Rechnung, die dann erbracht hat, dass der Streckfaktor eigentlich k=4 hätte sein müssen:
  
  
• Wer die Hexentreppe weiter ausprobieren will, kann sie sich selbst sehr einfach bauen (z.B. aus 8 langen Pappstreifen und ein paar Musterklammern).
  Hier ein GeoGebra-Arbeitsblatt zur Hexentreppe (gelingt Euch die Vegrößerung besser? Die nachfolgenden Übungen im Heft sahen jedenfalls sehr gut aus.)
  
  
• Damit Ihr ein Gefühl dafür bekommt, was zentrische Streckung ist und als Arbeitsblatt zum weiteren Forschen eine weitere GeoGebra-Datei:
  

• Wird der Punkt A zentrisch vom Streckzentrum Z aus auf den Punkt A' gestreckt, so gilt mit dem Streckfaktor k die Gleichung ZA·k=ZA' (Länge der Strecke ZA multipliziert mit k ergibt die Länge der Strecke ZA').
• Hat A die Koordinaten xA und yA und A' die Koordinaten xA' und yA' und Z die Koordinaten xZ und yZ, so gilt auch (xA-xZ)·k=(xA'-xZ) und (yA-yZ)·k=(yA'-yZ)
  Vielleicht hilft zum Verstehen das folgende GeoGebra-Arbeitsblatt
  
• Sind k und die Koordinaten von Z und A gegeben, so ermittelt man die Koordinaten von A' so:
• (xA-xZ)·k=(xA'-xZ) → xA'=(xA-xZ)·k+xZ
• (yA-yZ)·k=(yA'-yZ) → yA'=(yA-yZ)·k+yZ
• Sind k und die Koordinaten von Z und A' gegeben, so ermittelt man die Koordinaten von A so:
• (xA-xZ)·k=(xA'-xZ) → k·xA-k·xZ=(xA'-xZ) → k·xA=(xA'-xZ)+k·xZ → xA=((xA'-xZ)+k·xZ)/k=(xA'-xZ)/k+xZ
• (yA-yZ)·k=(yA'-yZ) → k·yA-k·yZ=(yA'-yZ) → k·yA=(yA'-yZ)+k·yZ → yA=((yA'-yZ)+k·yZ)/k=(yA'-yZ)/k+yZ
• Sind k und die Koordinaten von A und A' gegeben, so ermittelt man die Koordinaten von Z so:
• (xA-xZ)·k=(xA'-xZ) → k·xA-k·xZ=xA'-xZ → xZ-k·xZ=xA'-k·xA → (1-k)·xZ=xA'-k·xA → xZ=(xA'-k·xA)/(1-k)
• (yA-yZ)·k=(yA'-yZ) → k·yA-k·yZ=yA'-yZ → yZ-k·yZ=yA'-k·yA → (1-k)·yZ=yA'-k·yA → yZ=(yA'-k·yA)/(1-k)
• Sind die Koordinaten von A, A' und Z gegeben, so ermittelt man den Wert von k so:
• (xA-xZ)·k=(xA'-xZ) → k=(xA'-xZ))/(xA-xZ)
• (yA-yZ)·k=(yA'-yZ) → k=(yA'-yZ))/(yA-yZ)
• Achtung: Die Egebnisse sind nicht zum Auswendig-Lernen gedacht, sondern es soll an diesem Beispiel gezeigt werden, wie man bekannte Formeln umstellen kann, um gesuchte Größen zu erhalten.
  Es kann aber nicht schaden, diese Rechnungen zur Übung selbst nachzurechnen!

• In Verbindung mit der Besprechung der Hausaufgabe haben wir zahlreiche Kenntnisse aus dem letzten Schuljahr aufgefrischt:
• Satz des Pythagoras
• Binomische Formeln
• Flächenberechnung beim Rechteck, Dreieck und Parallelogramm
• Scherung einer Figur
• Rechnen mit Wurzeln
• Idee zur Lösung der Aufgabe "3 Punkte ABC und 3 Bildpunkte A'B'C' sind gegeben. Untersuche, ob A'B'C' durch eine zentrische Streckung aus ABC hervorgegangen sein kann.":
  Man zeichnet die Geraden durch A und A', durch B und B' und durch C und C'. Wenn sie sich in einem Punkt schneiden, kann es eine zentrische Streckung geben. Dazu muss aber noch gezeigt werden, dass alle Punkte A, B und C mit einem einzigen Streckfaktor gestreckt wurden.
  Mit dem Taschenrechner haben wir die Geraden zeichnen lassen und gesehen, dass sie sich nicht alle in einem Punkt schneiden. Also kann hier keine zentrische Streckung zu Grunde liegen.

• Kathetensatz und Höhensatz - In jeder der beiden Abbildungen gilt: Die Flächeninhalte von Quadrat und Rechteck sind gleich groß.
     
  Durch Klick auf die Bilder öffnet sich jeweils ein GeoGebra-Arbeitsblatt, auf denen die Abmessungen des rechtwinkligen Dreiecks verändert werden können.
• Beweis der Sätze
• Kathetensatz:
  Dreieck ADC ist ähnlich zu Dreieck ACB, d.h. p/b=b/c oder p·c=b², d.h. die Flächeninhalte von Rechteck und Quadrat sind gleich groß.
• Höhensatz:
  Dreieck ADC ist ähnlich zu Dreieck CDB, d.h. h/p=q/h oder h²=p·q, d.h. die Flächeninhalte von Quadrat und Rechteck sind gleich groß.
• "Selbstähnlichkeit" bedeutet, dass Teile einer Figur zur Gesamtfigur ähnlich sind.
  In diesem Zusammenhang haben wir kurz das Pascalsche Dreieck kennen gelernt. Mehr dazu in der nächsten Stunde.

• Wir haben gesehen, wie aus der Definition der Ähnlichkeit die Strahlensätze folgen:
  Annahme: Schneiden sich mehrere Geraden in einem Punkt und wird dieses Geradenbüschel durch eine Parallelenschar geschnitten, so gilt:
• Dividiert man die Längen von 2 Strecken auf einer Geraden, so ergibt sich dasselbe Ergebnis wie bei der Division von entsprechenden 2 Strecken auf einer anderen Geraden.
• Dividiert man die Längen von 2 Strecken auf einer Parallelen, so ergibt sich dasselbe Ergebnis wie bei der Division von entsprechenden 2 Strecken auf einer anderen Parallelen.
• Dividiert man die Längen einer Strecke s1 (einer der Endpunkte ist der Schnittpunkt der Geraden) durch die Länge einer Strecke auf der Parallelen, auf der der zweite Endpunkt von s1 liegt, so ergibt sich dasselbe Ergebnis wie bei der Division einer anderen Strecke s2 (einer der Endpunkte ist der Schnittpunkt der Geraden) durch die Länge einer entsprechenden Strecke auf der Parallelen, auf der der zweite Endpunkt von s2 liegt.
• Zum Üben könnt Ihr ein GeoGebra-Arbeitsblatt benutzen. Hier Beispiele zu den verschiedenen Strahlensätzen.
  
  
  

• Weitere Übungen zu den Strahlensätzen.
• Noch einmal Vorsicht! Wenn das Verhältnis von den Streckenlängen von einem Strahl und einer Parallele gebildet wird, muss man die Strecke auf dem Strahl beim Schnittpunkt der Strahlen beginnen lassen.

• Auch heute noch einmal Übungen zu den Strahlensätzen.
• Ein Dank an Jonas für die schöne Merkregel zum 2. Strahlensatz:
• Liegt der Schnittpunkt der Strahlen/Geraden nicht zwischen den Parallelen, so bilden die verwendeten Strecken ein F.
     d/c = f/e
• Liegt der Schnittpunkt der Strahlen/Geraden zwischen den Parallelen, so bilden die verwendeten Strecken ein Z.
    d/c = f/e
• Bitte die Aufgaben auf den Seiten 44 bis 47 anschauen!

• Klassenarbeit 1  [ Aufgaben , Lösung ]