Unterrichtseinsichten - Schuljahr 2009/2010 - Mathematik 8d

Quadratische Funktionen und Gleichungen

• Der Graph mit der Funktionsgleichung y=x² ist symmetrisch zur y-Achse, hat seine tiefsten Punkt (den Scheitelpunkt) im Punkt (0/0) und zeigt eine nach oben geöffnete gekrümmte Kurve.
  
  Diesen Graph nennt man Parabel, in diesem speziellen Fall Normalparabel.
  Zu jedem x-Wert findet man auf der Parabel das Quadrat dieses x-Wertes als y-Wert.
  So gehört zum Beispiel zu x=2 der y-Wert 4 (=2²).
• Mit dem Taschenrechner kann man die Koordinaten der Parabel-Punkte u.a. folgendermaßen bestimmen:
• Die Parabelgleichung unter Y= eingeben, z.B. als Y1=x^2.
  Die WINDOW-Eigenschaften geeignet wählen.
  Mit GRAPH den Graphen zeichnen lassen.
  Mit dem Cursor können nun einzelne Punkte angesteuert werden. Die Koordinaten werden am Bildschirm angezeigt.
  Beispiel:
        
• Auch als Tabelle kann man sich die Koordinaten der Parabel-Punkte anzeigen lassen:
  Mit TBLSET Beginn und Abstand der x-Werte einstellen und dann mit TABLE die Tabelle anzeigen lassen:
     
• Eine reinquadratische Gleichung der Art x²=a kann man mit dem GTR so lösen (gezeigt am Beispiel x²=3):
• Die beiden Funktionsgleichungen Y1=x² und Y2=3 eingeben und zeichnen lassen.
  Soll x²=3 sein, so muss auch Y1=Y2 sein. Die x-Koordinate des Schnittpunktes der beiden Graphen gibt also die Lösung an.
  Ansteuern der beiden Schnittpunkt mit dem Cursor ergibt x₁=1,787234 und x₁=-1,787234
       
• Mit CALC ---> INTERSECTION wird der Schnittpunkt durch den Rechner berechnet:
   Ergebnis: x₁=1,7320508 und x₁=-1,7320508
• Auch mit dem MATH ---> SOLVER lässt sich die Gleichung lösen, nachdem man sie so umgestellt hat, dass auf einer Seite nur noch 0 steht: 0=x²-3
     
• Auch gemischtquadratische Gleichungen wie z.B. x²=-5x+1 kann man auf diese Weise lösen, hier am Beispiel der Funktion INTERSECT gezeigt:
                  

• Ihr hattet die Aufgabe herauszufinden, wie man die Gleichung y=x² einer Normalparabel ändern muss, damit die Parabel nach oben, unten, rechts oder links verschoben wird.
• Sehr einfach war das Verschieben nach oben oder unten: Zum x² wird einfach eine Zahl addiert oder es wird eine Zahl subtrahiert, also z.B. y=x²+4 oder y=x²-7, um die Parabel um 4 nach oben oder um 7 nach unten zu verschieben.
        
• Beim Versuch, die Kurve seitlich zu verschieben, habt Ihr folgende Gleichungen gefunden:
  Scheitel bei (-3/0):  y=x²+6x+9
  Scheitel bei (-2/0):  y=x²+4x+4
  Scheitel bei (7/0):   y=x²-14x+49
       
  Die Terme rechts vom Gleichheitszeichen kann man mit Hilfe der binomischen Formeln zusammenfassen zu (x+3)², (x+2)² und (x-7)².
  Die Zahlen in den Klammern geben an, um wieviel der Scheitelpunkt seitlich verschoben wird. Nach rechts hin steht ein Minuszeichen, nach links ein Pluszeichen in der Klammer.
• Wird ein beliebiger Punkt vorgegeben, zu dem die Parabel verschoben werden soll, so verschiebt man sie zunächst waagrecht und dann senkrecht.
  Beispiel: Der Scheitel soll im Punkt (4/3) liegen.
  Dann verschiebt man die Parabel y=x² erst um 4 nach rechts y=(x-4)² und dann um 3 nach oben y=(x-4)²+3.
      

• Setzt man bei der Normalparabel vor das x2 einen Faktor a, so wird die Parabel mit diesem Faktor gestreckt bzw. gestaucht.
  Ausprobieren kann man das mit dem GeoGebra-Arbeitsblatt.
  
  
• Die Gleichung der Parabel, die ihren Scheitelpunkt im Punkt (7/3) besitzt und mit dem Faktor 2,5 gestreckt ist, findet man so:
• Man geht von der Gleichung y=x² der Normalparabel aus.
• Nun verschiebt man die Parabel waagrecht um 7. Die Gleichung heißt jetzt y=(x-7)² .
• Dann wird die Parabel um 3 senkrecht verschoben. Es ergibt sich die Gleichung y=(x-7)²+3 .
• Zum Schluss wird der Streckfaktor 2,5 vor die Klammer gesetzt: y=2,5·(x-7)²+3 .
• Hausaufgabe: Die Parabelgleichung y=3·x²-5·x-7 soll so in die Scheitelpunkts-Form y=a·(x-b)²+c umgewandelt werden, dass man sofort erkennen kann, wo der Scheitelpunkt der Parabel liegt.

• Lösung der Hausaufgabe:
  
  Der Scheitelpunkt liegt also bei .
• Allgemeine Bestimmung der Scheitelpunktsgleichung aus der Gleichung y=a·x²+b·x+c
  
  Der Scheitelpunkt liegt also bei .
• Häufig muss man herausfinden, für welche x-Werte der y-Wert zu 0 wird.
  In einem x-y-Diagramm sind dann die Punkte gesucht, an denen der Graph die x-Achse schneidet.
  Zunächst ein Beispiel, um besser sehen zu können, um was es geht:
  Es sind die Nullstellen (=Schnittpunkte mit der x-Achse) des Graphen mit der Gleichung y=3x²+9x-6 gesucht.
  
  Gesucht sind also die Lösungen der quadratischen Gleichung 0=3x²+9x-6 . 
  Quadratisch heißt die Gleichung, weil als größte Hochzahl bei x der Wert 2 vorkommt.
  Da die eine Seite der Gleichung aus der Zahl 0 besteht, kann man durch den Faktor vor dem x² dividieren und erhält so folgende Gleichung: 0=x²+3x-2.
  Diese Gleichung wird zunächst so umgeformt, wie weiter oben gezeigt:
  
  Nun wird 1/4 auf jeder Seite addiert, dann die Wurzel gezogen und zum Schluss nach x aufgelöst
  
  Die x-Achse wird also bei x₁=2 und bei x₂=1 geschnitten.
• Allgemeine Rechnung zur Lösung dieser Aufgabe:
  Wie nehmen an, dass die Gleichung zunächst so umgeformt wurde, dass voer dem x² der Faktor 1 steht:  0=x²+px+q
  p und q sind beliebige reelle Zahlen.
  
  
  
  Beispiel:
  Zu lösen ist die Gleichung x²-7x-18=0, d.h. p=-7 ; q=-18 .
  Eingesetzt in die Formel ergibt sich
  
  Die Gleichung hat also die Lösungen x₁=9 und x₂=-2 .

• Hier das Samunamupure-Rätsel aus der Vertretungsstunde.
  Achtung: Das Rätsel ist etwas abgeändert! Findet Ihr den Unterschied?
• Aufgabe:
  
• Zur Lösung bitte hier klicken.
  
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