Unterrichtseinsichten - Schuljahr 2008/2009 - Mathematik 13ma4g

Lineare Algebra in vektorieller Darstellung

• Wiederholung grundlegender Erkenntnisse aus der Vektorrechnung
• Die Ortsvektoren a und b zu den Punkten A und B sind gegeben.
  
  Der Vektor AB lässt sich dann darstellen durch AB=-a+b (Man geht von A ausgehend auf bekanten Vektoren entlang zum Punkt B)
• Der Ortsvektor m vom Ursprung O (=origines) zum Punkt M, dem Mittelpunkt der Strecke AB, berechnet sich aus
  OM = OA+1/2·AB = a+1/2·(-a+b) = a-1/2·a+1/2·b = 1/2·a+1/2·b = 1/2·(a+b)
  Von Vektoren können also Vielfache gebildet werden, hier z.B. die Hälfte eines Vektors.

• Die Methode des geschlossenen Streckenzugs erlaubt sehr elegant (sprich: relativ einfach) zu berechnen, wie Strecken durch Punkte auf diesen Strecken geteilt werden.
  Eine durchgerechnete Aufgabe dazu finden Sie auf diesem Arbeitsblatt.
• Hausaufgabe: Die Seitenhalbierenden in einem Dreieck schneiden sich alle in einem Punkt. Berechnen Sie, in welchem Verhältnis dieser Punkt die Seitenhalbierenden teilt.

• Da der Wunsch bestand, noch eine Beispielaufgabe zur Methode des geschlossenen Streckenzugs zu bearbeiten, haben wir ein Problem aus dem 3-dim-Raum gewählt:
  
  
  Falls Sie sich die räumliche Lage der roten Strecken nicht vorstellen können, klicken Sie auf die untenstehenden Farbbilder und öffnen Sie damit eine GoogleSketchup-Datei. Dort können Sie das Parallelflach beliebig im Raum drehen und von allen Seiten betrachten.
  
     
  
• Die Aufgabenstellung und die Lösung finden Sie hier.

• Geraden im 3-dim-Raum (oder auch anders dimensionierten Räumen) kann man einfach mit Hilfe von Vektoren darstellen:
• Man bestimme einen Ortsvektor a vom Koordinatenursprung zu einem Punkt der Gerade.
• Man bestimme einen Richtungsvektor u, der die Richtung der Geraden besitzt.
• Dann ist r=a+λ·u eine Darstellung dieser Geraden durch Vektoren.
• Als Hausaufgabe waren 2 Punkte A(5/7/-4) und B(3/-2/1) gegeben, durch die eine Gerade durch vektorielle Form beschrieben werden sollte.
  Hier als Hilfe eine Anschauung als Schrägbild:
  
• Das Programm DreiDGeo, mit dem die Abbildung erstellt wurde, können Sie hier herunterladen.
  Die abgebildeten Punkte, Geraden, Ebenen usw. kann man sich von allen Seiten anschauen und somit ein besseres Verständnis für die Anordnung der Gebilde im Raum erhalten. 

• An Hand der Hausaufgabe haben wir das Thema Geradengleichungen unter verschiedenen Gesichtspunkten vertieft.
• Mit Kenntnis der Orts-Vektoren und für die Punkte A und B kann man eine Geradengleichung erstellen, indem man einen Ortsvektor zu einem Punkt der Geraden sucht und einen Richtungsvektor in Richtung der Geraden auswählt. Beispiele:
• Ortsvektor 0A, Richtungsvektor AB:
• Ortsvektor 0B, Richtungsvektor BA:
• Ortsvektor 0<Mitte von AB>, Richtungsvektor 2·AB:
• Um zu prüfen, ob ein Punkt auf der Geraden liegt, wird der Ortsvektor zu diesem Punkt in die Geradengleichung eingesetzt. Ergibt sich dann für jede Komponente der gleiche Parameter λ, so liegt der Punkt auf der Gerade, andernfalls nicht:
• Liegt C(-3/16/11) auf der Gerade? Da die λ-Werte unterschiedlich sind, liegt der Punkt C nicht auf der Geraden.
• Liegt D(1/-11/6) auf der Geraden? Da die λ-Werte gleich sind, liegt der Punkt D auf der Geraden.
• Wo durchstäßt die Gerade die x-y-Ebene?
  Da in der x-y-Ebene z=0 gilt, erhält man mit dem entsprechenden Ansatz:
  

• Zur Übung (Parameterdarstellung einer Geraden) haben wir die Aufgabe 2 auf Seite 351 besprochen: Ein Laserstrahl trifft auf einen Spiegel und wird dort reflektiert. Verläuft dann der gespiegelte Strahl durch einen gegebenen Punkt?
  Zur Lösung mussten folgende Punkte bearbeitet werden:
  -  Schnitt eines Vektors mit einer Koodinatenebene (Spurpunkt),
  -  Aufstellen einer Geradengleichung aus Stützvektor und Richtungsvektor,
  -  Punktprobe (liegt ein Punkt auf einer Gerade?)
• Im Buch ist eine Kurzform der Lösung gegeben.

• Nach der Besprechung der Hausaufgabe konnte das neue Problem "Flugzeuge auf Kollisionskurs" nur knapp angesprochen werden:
  Die Bahn zweier Flugzeuge wird durch 2 Geradengleichungen beschrieben. Frage: Kollidieren die Flugzeuge?
  Unsere Lösungsidee war, die beiden Geradengleichungen gleichzusetzen. Bitte weiterbearbeiten bis zur nächsten Stunde!
  Die Geradengleichungen: (Geschwindigkeit 350 km/h) ; 

• Aus Anlass der Besprechung der Flugzeugaufgabe haben wir wiederholt, wie die Länge eines Vektors berechnet wird und wie man einem Vektor eine bestimmte Länge geben kann, ohne seine Richtung zu ändern:
• Länge eines Vektors: , hier also
• Der Vektor soll die Länge 350 erhalten, also
  Der Vektor hat also die richtige Länge.
• Eine Anleitung zum Lösen eines Gleichungssystems mit dem TI-84 finden sie unter TI84-Funktionen.
• Mit Vektoren kann man auf dem TI84 rechnen, indem man die Komponenten - duch Kommata getrennt - in geschweifte Klammern schreibt.
  Beispiel: {3,-2,8}+{-5,1,2} ergibt {-2 -1 10} (in der Anzeige fehlen die Kommata).
• Die Lösung der Flugzeug-Aufgabe finden Sie im Buch auf den Seiten 352 bis 355.

• Besprechung der Hausaufgabe. 
• Aufgabe:
  
  Schneiden sich die Strecken AB und CD?
  
• Lösung:
  Gerade durch die Strecke AB:
  Gerade durch die Strecke CD:
  Beim möglicherweise vorhandenen Schnittpunkt müssen die Vektoren x gleich sein. Es folgt:
  Umgeformt und auf der linken Seite zusammengefasst ergibt sich
  Da die Vektoren linear unabhängig sind (= kein Vektor kann durch die anderen beiden dargestellt werden, die Vektoren zeigen in unterschiedliche Richtung), müssen die Klammern alle den Wert 0 haben.
  Aus der 3. Klammer folgt λ = 1/2. Aus der 2. Klammer folgt λ=μ, also μ = 1/2. 
  Falls die 1. Klammer nun den Wert 0 ergibt, schneiden sich die Geraden, andernfalls schneiden sie sich nicht.
  Die Klammer ergibt tatsächlich den Wert 0, also schneiden sich die Geraden.
  Berechnung des Schnittpunktes mit Hilfe der Geraden durch AB (geht auch mit der Geraden durch CD - bitte ausprobieren!):
  
• Hausaufgabe: Ähnliche Aufgabe an einer Pyramide

• Bei der Hausaufgabe (Pyramidenaufgabe) kam es darauf an, einen Vektor zu bestimmen, der nicht in Richtung der gegebenen Vektoren lag.
  Folgendes Vorgehen führt zum Ziel: Vom Beginn des gesuchten Vektors ausgehend läuft man auf gegebenen oder leicht zu findenden Vektoren entlang, bis man zum Ende des gesuchten Vektors kommt.
• Das Problem, wie man erkennen kann, ob zwei Vektoren senkrecht zueinander stehen, haben wir mit Hilfe des Satzes vom Pythagoras in Angriff genommen.
  Die Längen der beiden gegebenen Vektoren werden quadriert und dann addiert. 
  Subtrahiert man die beiden Vektoren, so muss das Quadrat des Ergebnisvektors genau so lang sein wie die vorher berechnete Summe, damit die beiden Vektoren senkrecht zueinander stehen.
• Beispiel:
  
  Die Vektoren haben die Längen
  Da 9² + 12² = 15², sind die beiden Vektoren senkrecht zueinander.
• Die allgemeine Rechnung können Sie im Buch auf Seite 360 nachlesen und unter diesem Link.

• Die theoretischen Inhalte der Unterrichtsstunden zur Einführung des Skalarprodukts finden Sie in einem Arbeitsblatt. 

• In dieser Stunde haben wir als Anwendung des Skalarprodukts die Berechnung von Winkelgrößen geübt. 
  Beispielaufgaben finden Sie dazu auf dem schon am 2008-09-16 erwähnten Arbeitsblatt.

• Den Abstand eines Punktes von einer Geraden kann man unterschiedlich bestimmen. Wir haben 2 Methoden kennen gelernt:
• Der Abstand des Punktes zu einem beliebigen Punkt der Geraden wird bestimmt. Ist die Geradengleichung in Parameterform mit Vektoren dargestellt (Stützvektor und Vielfaches eines Richtungsvektors), so wird dabei die Länge der Entfernung in Abhängigkeit vom Parameter angegeben. In einer Extremwertaufgabe (Suchen Sie den Parameter für die geringste Entfernung) kann der gesuchte Parameter errechnet werden und damit auch der Punkt der Geraden, der dem gegeben Punkt außerhalb der Geraden am nächsten liegt. Der Abstand dieser beiden Punkte ist dann der Abstand des Punktes von der Gerade.
• Mit Hilfe des Skalarproduktes gilt: Richtungsvektor der Geraden skalar-multipliziert mit dem Verbindungsvektor von Punkt mit einem Punkt der Geraden muss 0 ergeben. Es ergibt sich eine Gleichung mit dem Parameter als Variable. Somit klann dieser Parameter bestimmt werden.

• Die Berechnung des Abstandes zweier windschiefer Geraden kann als Erweiterung des Problems der letzten Stunde angesehen werden.
• Gegeben sind zwei Geradengleichungen in Parameterform: .
• Es wird ein Verbindungsvektor von einem beliebigen Punkt einer Geraden zu einem beliebigen Punkt der anderen Geraden gebildet:
  
• Wenn dieser Vektor senkrecht auf jeder der beiden Geraden steht, ist er der kürzeste Verbindungsvektor und seine Länge gibt den Abstand der beiden windschiefen Geraden an.
  Diese Bedingungen ergeben ein Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und den beiden Unbekannten λ und μ.
• λ und μ werden berechnet und mit ihrer Hilfe auch der Vektor . Dann wird die Länge von  bestimmt.

• Da die meisten Kursteilnehmer Schwierigkeiten bei der Lösung der Hausaufgabe hatten, hier die voll durchgerechnete Lösung zum Thema "Abstand windschiefer Geraden".

• Besprechung der Hausaufgabe. Hier die Lösung der beiden Aufgaben.

• Eine Variation zur Abstandsaufgabe bei windschiefen Geraden:
  Zwei Geradengleichungen sind gegeben, die die Orte zweier Flugzeuge beschreiben, die sich auf windschiefen Geraden bewegen.
  Der Parameter ist in beiden Gleichungen identisch und bedeutet die Zeit.
  Zu berechnen ist, zu welchem Zeitpunkt die Flugzeuge die geringste Entfernung voneinander haben.
• Die Aufgabe finden sie mitsamt Lösung hier.
• Beginn der Wiederholung zur Klausur. Bitte zum nächsten Mal Fragen bereit halten.

• Wiederholung zur Klausur.
  Hier die in der Stunde gerechneten Aufgaben zum Teilverhältnis und zur Lagebeziehung von Geraden.

• Wiederholung zur Klausur
• Einführung in das Thema "Ebenen".
  Eine Ebene ist durch 3 Punkte festgelegt. Darum stelt man häufig Gartentische mit nur 3 Beinen her, da diese Tische durch die durch 3 Punkte efsatgelegte Tischebene nicht kippeln können.
  Ein Punkt in einer Ebene ist festgelegt durch einen Stützvektor und einer Linearkombination aus 2 Richtungsvektoren:

• Klausur 1

• Besprechung der Klausur 1 (Lösung)

• Zur Wiederholung und Einführung in das Rechnen mit Ebenen dienten folgende Aufgabentypen:
• Ebenengleichung der Art finden, wenn 3 Punkte A, B und C der Ebene gegeben sind.
  Lösung: Stützvektor ist der Ortsvektor zu A, ein Richtungsvektor ist der Vektor von A nach B und der andere Richtungsvektor ist der Vektor von A nach C.
• Schnitt der eben gefundenen Ebene mit der x-y-Koordinatenebene.
  Lösung: Für den Vektor r wird angesetzt der Ortsvektor zum Punkt (x/y/0). z muss 0 sein, da man sich in der x-y-Koordinatenebene aufhält.
  Wir erhalten ein Gleichungssystem mit 3 Gleichungen und den Variablen x, y, λ und μ. Im Ergebnis muss also eine Variable stehen bleiben, was sinnvoll ist, weil wir als Schnittgebilde ja eine Gerade erhalten.
• Schnitt der Ebene mit der z-Achse.
  Lösung: Für den Vektor r wird angesetzt der Ortsvektor zum Punkt (0/0/z). x und y müssen 0 sein, da man sich nur auf der z-Achse aufhält.
  Wir erhalten ein Gleichungssystem mit 3 Gleichungen und den Variablen z, λ und μ. Im Ergebnis bleibt also keine Variable stehen, was sinnvoll ist, weil wir als Schnittgebilde ja einen Punkt erhalten.
• Die Hausaufgabe besteht darin, mit Hilfe der Koordinaten der Punkte A, B und C für die Ebene 1 und X, Y und Z für die Ebene 2 die Gleichung der Schnittgeraden zu bestimmen.

• Empfohlenes Vorgehen beim Lösen der Hausaufgabe. Gegeben sind die 3 Punkte A, B und C der Ebene 1 und die 3 Punkte X, Y und Z der Ebene 2.
• Aufstellen der beiden Ebenengleichungen. Vorsicht: Die Parameter vor den Richtungsvektoren müssen sich bei beiden Ebenen unterscheiden! Insgesamt sind bei den beiden Ebenengleichungen dann 4 verschiedene Parameter vorhanden.
• Gleichsetzen der Ebenengleichungen. Gleichungssystem mit 3 Gleichungen und 4 Variablen aus den 3 Komponenten erstellen.
  Aus den Bedingungen (3 Gleichungen, 4 Variablen) kann man schon erkennen, dass eine der Variablen nicht bestimmt werden kann. Das ist aber auch verständlich, denn das Schnittgebilde ist eine Gerade, und in einer Geradengleichung kommt eine Variable vor.
• Das Gleichungssystem mit dem Ziel umformen, dass nur die beiden Parameter einer einzigen Ebenengleichung übrig bleiben.
• Die gefundene Gleichung nach einer der beiden Varibalen umstellen.
• Diese Variable/Parameter in der betreffenden Ebenengleichung durch den gefundenen Term ersetzen.
• Diese Gleichung dann zu einer Geradengleichung umstellen.
• Weitere Übungen zu Ebenengleichungen sind im Buch auf den Seiten 377 und 378 zu finden. Hausaufgabe Seite 377 Aufgabe 9.

• Besprechung der Hausaufgabe: Zum Aufstellen der Ebenengleichung für den Fall, dass die Ebene durch zwei parallele Geraden gegeben ist, nimmt man als Stützvektor den Stützvektor einer der Geraden und für die Richtungsvektoren den Richtungsvektor einer Geraden (der identisch bzw. parallel zu dem der anderen Geraden ist) und z. B. den Vektor, der die beiden Stützpunkte der Geraden verbindet (denn dieser Vektor liegt auch garantiert in der gesuchten Ebene).
• Begonnen haben wir mit dem Problem: Abstand eines Punktes von einer Ebene. Die Ansätze waren schon vielversprechend, aber die Lösung müssen wir noch in der nächsten Stunde finden.

• Lösungsschritte zum Problem: Abstand eines Punktes von einer Ebene (im Buch auf den Seiten 379 bis 381).
• Gegeben: Ortsvektor des Punktes A, Ebenengleichung in Parameterform (mit den Parametern λ und μ).
• Verbindungsvektor von einem beliebigen Punkt X der Ebene zum Punkt P.
• Die Länge dieses Vektors ist gleich dem Abstand des Punktes von der Ebene, wenn der Vektor senkrecht auf der Ebene steht.
• Da die Richtungsvektoren der Ebene (trivialer Weise) beide in der Ebene verlaufen, muss der Vektor von X nach P senkrecht zu den Richtungsvektoren stehen.
• Das Skalarprodukt vom Verbindungsvektor (X nach A) mit den Richtungsvektoren muss 0 ergeben.
• Das mit Hilfe dieser Bedingung aufgestellte Gleichungssystem ergibt die Werte für λ und μ, sodass sich nach Einsetzen der Ortsvektor zu X ergibt und auch die Strecke XP senkrecht auf der Ebene steht.
• Nun muss nur noch die Länge des Vektors der Strecke XP berechnet werden. Der Wert gibt den Abstand des Punktes von der Ebene an.
• Dass es auch einfacher geht, werden wir sehen, wenn wir morgen die Normalenform einer Ebenengleichung hergeleitet haben.

• Die Frage welchen Abstand ein Punkt von einer Ebene hat, führte auf die Einführung der Normalenform der Ebenengleichung mit einer Erweiterung zur Hesseschen Normalenform.
• Zur Suche des Normalenvektors einer Ebene bei Kenntnis zweier Richtungsvektoren wurde das Vektorprodukt als Hilfsmittel vorgestellt.

• Wiederholung und Übungsaufgaben zum Stoff der letzten Stunde. Bitte die Links dort (2008-11-04) beachten.

• Aus der Normalenform der Ebenengleichung gelangt man durch Ausführen des Skalarprodukts zur Koordinatenform der Ebenengleichung.
  Beispiel: 
• Wird die Koordinatgleichung in der Form gegeben, kann abgelesen werden, wo die Koordinatenachsen von der Ebene geschnitten werden:
  x-Achse bei a, y-Achse bei b und z-Achse bei c.

• Zwei Ebenen können sich schneiden oder zueinander parallel sein. Ein Sonderfall der Parallelität liegt vor, wenn die Ebenen identisch sind.
• Bei parallelen Ebenen sind die Normalenvektoren parallel, d. h. Vielfache voneinander.
• Schneiden sich 2 Ebenen, so gibt es u. a. folgende Methoden, um die Gleichung der Schnittgerade zu bestimmen:
• Beide Ebenen sind in Parameterdarstellung gegeben. Die Vektor-Terme werden gleich gesetzt. Vorsicht: Bei den Ebenengleichungen unterschiedliche Parameter verwenden!
  Es ergibt sich ein Gleichungssystem mit 3 Gleichungen und 4 Variablen.Man wählt eine Variable aus und bestimmt die anderen Variablen in Abhängigkeit von der ausgesuchten Variable.
  Eingesetzt in die Ebenengleichung und geeignet vereinfacht ergibt sich dann die Geradengleichung der Schnittgerade.
• Beide Ebenen sind in Koordinatenform gegeben. Man geht wie im letzten Punkt beschrieben vor, rechnet aber nun mit 2 Gleichungen mit 3 Variablen.
• Eine der Ebenen ist in Parameter- die andere in Koordinatenform gegeben. Aus der Parameterform bestimmt man Terme für die einzelnen Koordinaten und setzt diese Terme in die Koordinatengleichung ein. Man erhält so 1 Gleichung mit 2 Variablen. Das weitere Vorgehen findet so wie oben beschrieben statt.

• Weitere Übungen zur Lagebeziehung von Ebenen.

• Der Schnittwinkel zwischen zwei Ebenen ist der kleinste Winkel, den man in einem Punkt der Schnittgerade zwischen den beiden Ebenen messen kann.
  Die Ebene, in der man den Winkel misst, liegt dabei senkrecht zu jeder der Ebenen.
  Da diese Definition nicht zu einer aufwändigen Rechnung führt, sollte man sich Folgendes überlegen:
• Zwei Ebenen sind gegeben. Man schaut so in Richtung der Ebenen, dass man beide nur als Strich sieht. Die Schnittgerade erscheint dabei als Punkt S.
  In der Abbildung ist die eine Ebene in Rot, die andere in Blau gezeichnet.
  Zusätzlich sind noch die Normalenvektoren der Ebenen in der jeweils zugehörigen Farbe eingetragen.
  
  Der Winkel zwischen den Ebenen beträgt α.
  Da der Winkel zwischen roter Ebene und rotem Normalenvektor 90° misst, ist die Winkelgröße des Winkels zwischen blauer Ebene und rotem Normalenvektor gleich 90°-α.
  Da nun auch die blaue Ebene und der blaue Normalenvektor den Winkel 90° einschließen, gilt für den Winkel β:  β=90°-(90°-α)=α.
  Der Winkel zwischen den Ebenen ist also gleich dem Winkel zwischen den Normalenvektoren.
• Die Aufgabe, den Winkel zwischen zwei Ebenen zu berechnen, reduziert sich also auf die Aufgabe, den Winkel zwischen den Normalenvektoren zu bestimmen.
  Also:
  1. Falls die Ebenenengleichungen in Parameterform gegeben sind, aus den Richtungsvektoren mit dem Vektorprodukt die Normalenvektoren bilden.
  2. Aus den Normalenvektoren mit der Formel den Winkel α bestimmen, der der Schnittwinkel der Ebenen ist.
• Den Schnittpunkt einer Ebene (rot) mit einer Geraden (grün), findet man durch Ermittlung des Winkels zwischen Richtungsvektor der Geraden und dem Normalenvektor der Ebene.
  
  Dabei gilt:  α und β ergänzen sich zu 90°. α ist der Winkel zwischen Ebene und Gerade, β der Winkel zwischen Gerade und Normalenvektor.
  
  Den Schnittwinkel findet man hier also über den Sinus des Schnittwinkels.

• Übungen zur Berechnung der Winkel zwischen 2 Ebenen und zwischen Gerade und Ebene.

• Wiederholung zur Klausur

• Fragestunde zur Klausur
  Viel Erfolg für morgen!

• Klausur 2 ( Lösung )

• Die Gleichung für einen Kreis, dessen Mittelpunkt im Punkt (0/0) liegt, erhält man mit Hilfe des Pythagoras: x² + y² = r²  (siehe Bild links)
         
  Ist der Kreis verschoben (Mittelpunkt im Punkt (xm/ym)), so gilt die Gleichung  (x-xm)² + (y-ym)² = r² .
  Sind diese Gleichungen erfüllt, so befindet sich der Punkt (x/y) auf dem Kreis, sonst nicht.
• Auch mit Vektoren kann man Kreise beschreiben: Die Länge des Vektors AB ist gleich dem Radius r oder anders geschrieben: 
  
• Diese Vektorgleichung beschreibt in der Ebene einen Kreis, im 3-dim-Raum aber eine Kugel.
  Kennt man den Ortsvektor des Mittelpunktes und den Radius r, so kann man durch Einsetzen eines beliebigen Ortsvektors in den Vektor x herausfinden, ob der zum Ortsvektor gehörende Punkt auf dem Kreis (der Kugel) liegt oder nicht.

• Rückgabe der Klausur 2 (Lösung)