Unterrichtseinsichten - Schuljahr 2008/2009 - Mathematik 13ma4g

Analysis II

• Wiederholung Integralrechnung.
• Bei den Versuchen, das Integral zu lösen, sieht man, dass bekannte Formeln nicht zu verwenden sind und dass auch das faktorenweise Ableiten nicht geht.
• Für Integrale aus Produkten benötigen wir eine neue Formel.
  Wir gehen aus von der Produktregel u·v = u'·v + u·v' und integrieren beide Seiten der Gleichung. Es ergibt sich
  
  Links ergibt sich wegen des gegenseitigen Aufhebens von Integration und Differentiation u·v.
  Die sich ergebende Gleichung kann man in zweierlei Weise auflösen:
  

  
  

• Anwenden der Formel auf das Beispiel: Es gilt: u=x ; v'=e^x und damit u'=1 ; v=e^x .
  Damit ergibt sich
• Von den 2 möglichen Formeln muss man die auswählen, bei der sich auf der rechten Seite ein einfacher zu lösendes Integral als auf der linken Seite ergibt.
• Hausaufgabe: Integrieren Sie x·cos x ; x·sin x ; x·x³ 

• Übungsstunde zur Produktintegration.
• Welche der beiden Regeln angewendet werden kann, ist nicht immer eindeutig zu entscheiden.
  Wir werden einen Fall kennen lernen, bei dem beide Formeln gut anzuwenden sind und scheinbar verschiedene Ergebnisse liefern.
• Grundregel ist: Man nehme die Formel, bei der das sich ergebende Integral einfacher zu lösen ist als das gegebene Integral.

• Eine neue Berechnungsmethode im Rahmen der Produktintegration und ein merkwürdiges Ergebnis fanden wir am Beispiel des Integrals :
• Erste Methode nach der Formel
  u' = sin x ; v = cos x , daraus folgt u = - cos x ;  v' = - sin x , also:
  
  Die Integrale links und rechts sind beide identisch. Darum kann das Integral von der rechten Seite auf die linke Seite geholt werden:
  
• Zweite Methode nach der Formel 
  u = sin x ; v' = cos x , daraus folgt u' =  cos x ;  v =  sin x , also:
  
  Wieder sind die Integrale links und rechts identisch. Darum kann das Integral von der rechten Seite auf die linke Seite geholt werden:
  
  
• Ist es möglich, dass das selbe Integral verschiedene Lösungen besitzt, je nachdem, welches Rechenverfahren man einsetzt? Das würde nicht für die Rechenverfahren sprechen!
  Auf jeden Fall gilt nicht , wie man leicht sieht, wenn man für x den Wert 0 einsetzt. (Die Gleichung muss selbstverständlich für alle x gelten!)
• Die Lösung des Problems ergibt sich, wenn man die Formel sin²x + cos²x = 1 umstellt zu sin²x = 1 - cos²x und einsetzt:
  
  Dieses ist zwar nicht genau das Ergebnis bei der ersten Methode, aber die Ableitungen dieses Terms und des Terms bei der ersten Methode stimmen überein.
  Eine additive Konstante darf in der Lösung beim unbestimmten Integral immer dazu gesetzt werden.
  Selbstverständlich stimmen auch die Ableitungen von und überein.

• Weitere Berechnungsmethoden im Zusammenhang mit der Produktintegration:
• Anwenden trigonometrischer Beziehungen und Auffassen der Gleichungskette als Gleichung:
  
  Wegen des Phythagoras der Winkelfunktionen gilt
  Einsetzen:
  Integral addieren:
• Anwenden trigonometrischer Beziehungen und bekannter Integrale:
  
• Faktor 1 als erzeugendes Element bei der Produktintegration:
  
• Anwendung: Gegeben:   Gesucht: Nullstellen, waagrechte Tangenten, Wendepunkte, Flächeninhalt der Fläche zwischen Kurve und x-Achse im Bereich 0<x<∞.
• Ableitungen:     ;      
• Nullstellen:
• waagrechte Tangenten:
• Wendepunkte:
• Graph:
• Flächeninhalt:
  

• Neben dem in den kletzten Stunden besprochenen Verfahren der partiellen Integration (auch "Produktintegration" genannt) gibt es ein weiteres wichtiges Verfahren zum Integrieren:
  Integrieren durch Substitution
• Bei diesem Verfahren ersetzt man z. B. einen Teil des zu integrierenden Terms durch eine neue Variable derart, dass das neu entstehende Integral besser zu lösen ist.
  Beispiel:
• sin x ließe sich gut integrieren, nicht aber sin x². Deshalb wird substituiert (=ersetzt) x² = z
• Wegen der neuen Variable z muss auch das dx in dz umgewandelt werden.
  Man nutzt aus, dass sich das Leibnizsche Symbol dz/dx für die Ableitung von z nach x als Bruch interpretieren lässt:
  Wegen z = x² gilt .
• Substituieren, Vereinfachen und Berechnen:  
• Um das bestimmte Integral ausrechnen zu können, muss man noch die Grenzen beachten, die sich beim Wechsel zwischen den Variabeln x und z natürlich ändern müssen:
  Wenn x=0 gilt z=0 und wenn x= gilt z=π wegen z=x².
  

• Wiederholung und Übung zur Substitutionsmethode

• Die Substitutionsmethode lässt sich u. a. in folgenden Fällen gut anwenden:
• Der Integrationsterm enthält einen komplexen Teilterm, der durch eine Variable (z. B. z) ersetzt wird.
  Die Ersetzung von dx erfolgt über die Ableitung dz/dx=... und Auflösen nach dx.
  Siehe dazu das Beispiel vom 2009-01-07
• Der Integrationsterm besteht aus einem Bruch, bei dem der Zähler die Ableitung des Nenners ist.
  Man substituiert den Nenner durch z.
  Beispiel:
  Man substituiert und formt um: und rechnet dann:
  
  Allgemeine Rechnung: Im Nenner steht f(x), im Zähler f ' (x):
  Substitution und Umformung:
  weitere Rechnung: 
  In diesem Fall (Zähler ist die Ableitung des Nenners) ergibt sich immer als Integral der natürliche Logarithmus des Nenners.
• Man ersetzt nicht einen komplexen Teilterm durch dir einfache Variable z, sondern die einfache Variable x durch einen komplexen Term mit z.
  Das scheint zunächst widersinnig zu sein, weil dadurch das Integral zunächst komplizierter wird.
  In einigen Fällen lässt sich dann aber der Integrationsterm so vereinfachen, dass dieses Verfahren trotzdem zum Ziel führt.
  Ein Beispiel soll das verdeutlichen:
  
  Man ersetzt x durch sin z:
  Es folgt:
  Dieses Integral haben wir mit partieller Integration schon gelöst. Wir benutzen das Ergebnis und rechnen weiter:
  
  Anmerkung: Der Integrationsterm beschreibt einen Halbkreis des Einheitskreises und der Flächeninhalt ist entsprechend die Hälfte der Kreisfläche beim Radius 1.

• Rotationsvolumen
  Lässt man den Graphen einer Funktion um die x-Achse kreisen, so ergibt sich ein drehsymmetrischer Körper.
  Das Volumen dieses Körpers kann man mit Hilfe der Intergralrechnung bestimmen:
• Herleitung dieser Formel
• Beispiele für Volumenberechnungen

• In der letzten Stunde haben wir die Formel für das Volumen eines Rotationskörpers bei Drehung um die x-Achse berechnet:  
• Wenn die Drehung um die y-Achse erfolgen soll, kann man einfach die x- und die y-Achse austauschen bzw. x gegen y in der Formel austauschen: 
  Achtung: Die a- und b-Werte sind beim oberen Integral x-Werte und beim unteren Integral y-Werte und sind oben und unten verschieden.
• Im unteren Integral ist y die unabhängige Variable.
  Möchte man stattdessen lieber x als unabhängige Variable haben, kann man das durch Erweitern mit dx erreichen:
  
  Den Bruch dy/dx kann man als 1. Ableitung nach x auffassen.
• Beispiel: Der Graph der Funktion f(x) = y = x³ soll im Bereich von y₁=0 bis y₂=8 um die y-Achse kreisen und so einen Kelch erzeugen. Welches Volumen hat dieser Kelch?
  Es gilt:
  Damit kann man rechnen:
  Dieses "schwierige" Integral kann man umgehen durch Anwenden der Formel mit dx:
  

• Übungsaufgabe: Der Graph der Funktion y=cos x soll im Bereich  a) um die x-Achse , b) um die y-Achse rotieren und dabei einen Rotationskörper erzeugen.
  Berechnen Sie für jeden Fall das Rotationsvolumen.
• a) Rotation um die x-Achse
  
• b) Rotation um die y-Achse
  
  Da das Integral zu schwer zu lösen ist, wird statt nach y nun nach x integriert:
  
  Es gilt:
  Weiter gilt:
  Damit gilt:

• Führt man Messungen durch, so ist es häufig sinnvoll, die ermittelten Werte als Punkte in einem Diagramm abzutragen und dann eine mathematiasche Funktion zu suchen, deren Graph die Lage dieser Punkte beschreibt.
  Nimmt man nicht nur einige wenige Messwerte auf, sondern kontinuierlich sehr viele Messwerte, ergeben sich oft schon Kurven, für die eine Funktionsgleichung gesucht wird.
• In den nächsten Stunden werden wir sehen, wie man diese Aufgabe lösen kann.
  Speziell werden wir Graphen von "komplizierten" Funktionen durch Funktionsgleichungen ganzrationaler Funktionen der Art f(x)=a+b·x+c·x²+d·x³+e·x⁴+... annähern.
• 1. Beispiel:
  Gegeben sind die 3 Punkte A(2/1), B(4/6) und C(7/4)
  Setzt man die Koordinaten dieser Punkte in die Gleichung einer ganzrationalen Funktion ein, so ergeben sich 3 Gleichugen, aus denen 3 Variablenwerte ermittelt werden können, z. B. die Werte für a, b und c. Wir betrachten also die ganzrationale Funktion f(x)=a+b·x+c·x² . 
  Eingesetzt ergeben sich die 3 Gleichungen 
• für A:   1 = a + 2·b + 4·c
• für B:   6 = a + 4·b + 16·c
• für C:   4 = a + 7·b + 49·c
• Mit dem Taschenrechner ergibt sich die Lösung des Gleichungssystems:
  
  a=-9,06666 ; b=6,3 ; c=-0,63333
  Mit diesen Werten ergibt sich die Funktionsgleichung f(x) = -9,06666 + 6,3·x - 0,63333·x² und der Graph
  Man erkennt die gute Übereinstimmung des Graphen mit der Lage der 3 Punkte.
• 2. Beispiel: Der Graph von g(x) = sin(π·x) soll durch eine ganzrationale Funktion 2. Grades  f(x)=a+b·x+c·x² angenähert werden.
  Als Stützpunkte für die Funktion f werden 3 Punkte der Sinusfunktion gewählt:
  A(0/0) ; B(0,5/1) ; C(1/0)
  Auch hier ergeben sich aus f(x) 3 Gleichungen:
• für A:    0 = a + 0·b + 0·c 
• für B:    1 = a + 0,5·b + 0,25·c
• für C:    0 = a + b + c
• Mit dem Taschenrechner ergibt sich die Lösung des Gleichungssystems:
  
  a=0 ; b=4 ; c=-4
  Mit diesen Werten ergibt sich die Funktionsgleichung f(x) = 4·x - 4·x² und der Graph
  Auch hier ist die Übereinstimmung im ausgewählten Bereich 0<x<1 sehr gut.
• Hausaufgabe: Ist die Übereinstimmung besser, wenn man noch 2 zusätzliche Punkte D mit x=1/6 und y=1/2 und E mit x=5/6 und y=1/2 wählt?

• Die Werte für die Konstanten a, b, c, d, e usw. in der Funktionsgleichung f(x) = a + b·x + c·x² + d·x³ + e·x⁴ + ... lassen sich wie in der letzten Stunden gezeigt durch Aufstellen und Lösen von Gleichungssystemen bestimmen. Grundlage sind Punkte des Funktionsgraphen.
  Wir haben gesehen, dass auch Punkte aus nur einem kleinen Intervall in genügender Zahl zu einer sehr guten Übereinstimmung mit der anzunähernden Kurve führen.
  Man könnte sagen: Wenn man alle Punkte des Funktionsgraphen in einem bestimmten Bereich kennt, kennt man den ganzen Funktionsgraph.
• Es gilt auch: Wenn man alle Ableitungen einer Funktion an einer Stelle (heute haben wir die Stelle x=0 untersucht) kennt, kennt man den ganzen Funktionsgraph.
  Folgende Idee brachte uns zu dieser Erkenntnis:
• Den Wert von a in der Funktionsgleichung f(x) = a + b·x + c·x² + d·x³ + e·x⁴ + ... erhält man, wenn man für x den Wert 0 einsetzt.
  a=f(0)
• Um b auf ähnliche Art zu erhalten, müsste das a verschwinden und ebenso das x beim b. Das lässt sich durch die 1. Ableitung realisieren:
  f '(x) = b + 2·c·x + 3·d·x² + 4·e·x³ + ...
  b=f '(0)
• Die 2. Ableitung liefert uns den c-Wert:
  f ' '(x) = 2·c + 6·d·x + 12·e·x² + ...
  f ' '(0) = 2·c  --->  c = f ' '(0) / 2
• f ' ' '(x) = 6·d + 24·e·x + ...   --->  f ' ' '(0) = 6·d   --->   d = f ' ' '(0) / 6
• f ' ' ' '(x) = 24·e + .....     --->    f ' ' ' '(0) = 24·e   --->   e = f ' ' ' '(0) / 24
• Die Nenner setzen sich zusammen aus dem Produkt aller batürlichen Zahlen bis zu der Zahl, die den Grad der Ableitung angibt.
  Für die n-te ABleitung ergibt sich also der Bruch f ⁽ⁿ⁾ (0) / n! , wobei n! = 1·2·3· ... ·n
• Als Näherung für die Funktion f ergibt sich also
• Soll die Funktion f(x) = sin x nach dieser Methode durch eine ganzrationale Funktion angenähert werden, so gilt
• f(x) = f ⁽⁴⁾(x) = f ⁽⁸⁾(x) = ... = sin x   mit dem Wert 0 für x=0
• f '(x) = f ⁽⁵⁾(x) = f ⁽⁹⁾(x) = ... = cos x   mit dem Wert 0 für x=1
• f ' '(x) = f ⁽⁶⁾(x) = f ⁽¹⁰⁾(x) = ... = - sin x   mit dem Wert 0 für x=0
• f ' ' '(x) = f ⁽⁷⁾(x) = f ⁽¹¹⁾(x) = ... = - cos x   mit dem Wert 0 für x=-1
• Damit gilt: 
• Die Näherungen als Graph mit der Sinuskurve in schwarz.
  1 Summand: blau ; 2 Summanden: grün ; 3 Summanden: gelb ; 4 Summanden: rot
  

• Verschieben wir die Funktion mit der Gleichung f(x) = a + b·x + c·x² + d·x³ + e·x⁴ + ... um x₀ in positive x-Richtung, so muss im rechten Funktionsterm statt x überall x-x₀ geschrieben werden:
  f(x) = a + b·(x-x₀) + c·(x-x₀)² + d·(x-x₀)³ + e·(x-x₀)⁴ + ...
  Hier erhält man für f(x₀) den Wert des Platzhalters a.
  Die erste Ableitung f '(x) = b + 2·c·(x-x₀) + 3·d·(x-x₀)² + 4·e·(x-x₀)³ + ... liefert für x=x₀ den b-Wert b = f '(x₀),
  die zweite Ableitung f ' '(x) = 2·c + 6·d·(x-x₀) + 12·e·(x-x₀)² + ... den c-Wert c = f ' '(x₀) / 2 ,
  die dritte Ableitung f ' ' '(x) = 6·d + 24·e·(x-x₀) + ... den d-Wert d = f ' ' '(x₀) / 6 ,
  die vierte Ableitung f ' ' ' '(x) = 24·e + ... den e-Wert e = f ' ' ' '(x₀) / 24 .
• Man sagt, hier werde nach der Stelle x₀ entwickelt, d. h. die Näherung gilt besonders gut für die Stelle x₀ .
• Das Taylorpolynom T_n,x0 n-ten Grades ist bei Entwicklung nach der Stelle x₀ gegeben durch
  
• Beispiel: Entwicklung der Funktion f(x) = sin x an der Stelle x0 = π/2
  
  Die Näherungen als Graph mit der Sinuskurve in schwarz.
  1 Summand: blau ; 2 Summanden: grün ; 3 Summanden: gelb ; 4 Summanden: rot
  

• Übungsaufgabe zur Taylorentwicklung an der Stelle 0.
• Bei Ableitungen von Brüchen:
• Erst den Bruch so weit kürzen wie möglich. Dabei beachten: Jeden Summanden im Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl dividieren.
• Niemals den Nenner ausmultiplizieren, sondern die Klammern stehen lassen. Man kann dann besser die nächste Ableitung bilden.
• Nach dem Kürzen den Zähler grundsätzlich ausmultiplizieren und vereinfachen.
• Steht im Zähler keine Variable, kann man häufig besser mit der Kettenregel rechnen.
  Beispiel:
  Ableiten mit der Quotientenregel  :  
  Ableiten mit der Regel  

• Übungsaufgabe zur Kurvendiskussion und zur Tangentengleichung
• Hausaufgabe: Flächenberechnung beenden

• Besprechung der Hausaufgabe und gemeinsame Erarbeitung der Teilaufgabe c: Kurvenschar - Auswirkung des Parameters
• Weitere Übung zu Kurvenscharen: 
  Fragen und Hausaufgabe dazu:
• Welchen Punkt enthalten alle Graphen der Schar gemeinsam?
• Für welche k gibt es Extrempunkte?
• Gesucht ist die Ortskurve aller Extrema.

• Aufgabe als Vorbereitung aufs Abitur
  Themen: Modellierung mit gebrochen-rationalen Funktionen, Kurvendiskussion, Bedeutung besonderer Stellen eines Graphen, Taylorreihen

• Weiterführung der Übungsaufgabe
• Wir haben gesehen:
  Wenn die Taylorentwicklung t(x) an der Stelle a für eine Funktion f(x) bekannt ist, so kann man auf die Ableitung der Funktion an der Stelle a durch Koeffizientenvergleich schließen.
  Mit   und  
  gilt  

• Weiterführung der Übungsaufgabe
• Zur Bedienung des TI-84+:
• Integration der Funktion, deren Funktionsterm unter Y1 abgelegt ist: MATH > MATH > 9:fnInt(  ergibt fnInt( in der Ausgabe.
  Dann ergänzen zu fnInt(Y1,X,0,5), wobei 0 für die untere und 5 für die obere Integrationsgrenze steht.
  Soll die Differenz zweier Funktionen berechnet werden (Fläche zwischen 2 Kurven), so kann statt Y1 z. B. auch Y1-Y2 eingegeben werden.
• Soll eine Funktionsschar zur Gleichung f_k(x)=(x-k)(x-1)/x gezeichnet werden, so kann man für k eine Liste angeben, deren enthaltene Werte der Reihe nach für k eingesetzt werden.
  Beispiel:  ergibt
  Man kann auch die Liste im Listeneditor eingeben und dann 
  Die hier schon eingetragene Gleichung für die Ortskurve der Extrema ergibt im Graph

• weitere Übungen zur Klausur

• Klausur 3  [ Aufgaben , Lösungen ]

• Wiederholung:
  Vektorrechnung: Addition, Subtraktion von Vektoren, Skalarprodukt, Vektorprodukt, senkrechte Vektoren, Winkel zwischen zwei Vektoren

• Rückgabe der Klausur 3  [ Aufgaben , Lösungen ]
• Wiederholung:
  Vektorrechnung: Vektorprodukt, Flächenberechnung von Parallelogramm, Dreieck, Trapez u. a.,  Volumenberechnung von Prisma, Pyramide, Spat.

• Besprechung der mündlichen Noten und der Kursnoten.
• Wiederholung: Normalenvektor, Normalenform der Geraden- und Ebenengleichung

• Bis zum Schluss des Unterrichts für die Klassenstufe 13 intensive Wiederholung des Stoffs.
  Bitte unbedingt beachten: Fachbezogene Hinweise und thematische Schwerpunkte zum Fach Mathematik - herausgegeben vom Kultusministerium Niedersachsen.