Unterrichtseinsichten - Schuljahr 2008/2009 - Mathematik 7d

Dreiecke und Vierecke

• An Hand von Escher-Bildern haben wir folgende Kongruenz-Abbildungen wiederholt:
  Achsenspiegelung, Punktspiegelung, Drehung und Verschiebung.
• Flächen, die gleiche Inhalte und gleiche Form haben, nennt man "deckungsgleich" oder "kongruent" (congruere: lat., bedeutet: zusammentreffen, zusammenkommen, übereinstimmen, entsprechen).
• Bei den Escher-Bildern fiel Euch auf, dass die einzelnen gleichartigen Figuren so eng zusammen sind, dass kein Platz zwischen ihnen frei bleibt und dass sie sich auch nicht überlagern.
  Eine solche Form der Flächenfüllung nennt man "Parkettierung".

• Ihr habt herausgefunden, dass man Figuren auf Kongruenz überprüfen kann, wenn man 
• die Längen der Seiten abmisst und vergleicht,
• herausfindet, ob man die Figuren mit einer oder mehrerer Kongruenzabbildungen aufeinander abbilden kann,
• die Figur so ergänzt, dass man an der Ergänzung erkennen kann, ob diese gleich lange Seiten haben
• im Koordinatensystem in waagrechter und senkrechter Richtung von Eckpunkt zu Eckpunkt gleich viel Kästchen abzählt.
• Bei manchen Figuren kann man sehr einfach erkennen, ob sie kongruent sind:
• Kreis >der Radius muss in den Figuren übereinstimmen<
• Quadrat >die Seitenlänge muss in den Figuren übereinstimmen<
• Rechteck >die kurze und die lange Seite müssen in allen Figuren gleich lang sein<

• Alle Schülerinnen und Schüler sollen das gleiche (kongruente) Dreieck zeichnen. Welche und wie viele Größen des Dreiecks muss man angeben?
  Wir haben gesehen, dass 2 Dinge (z.B. 2 Seitenlängen) noch nicht ausreichen.
  Ihr habt dann vorgeschlagen, die Seiten c, a und den Winkel γ vorzugeben. Tatsächlich sahen nachher alle Dreiecke gleich aus.
• In den nächsten Stunden werden wir untersuchen, welche Größen man noch vorgeben kann.
• Zu Hause sollt Ihr ein Dreieck konstruieren, von dem 3 Seiten gegeben sind. Kann man immer ein Dreieck zeichnen, wenn 3 Seitenlängen angegeben sind?

• Wenn 3 Seiten eines Dreiecks gegeben sind und man daraus das Dreieck konstruiert, ergibt sich immer das "gleiche" Dreieck, d.h. alle gezeichneten Dreiecke sind kongruent.
  Beispiel:
• Manchmal kann man das Dreieck aber nicht konstruieren. Einige von Euch haben zu Hause auch herausgefunden, warum das so ist:
         
  Es muss immer so sein, dass die Seitenlängen von 2 Seiten zusammen länger sind als die Länge der dritten Seite.
  Wenn das Dreieck die Seitenlängen a, b und c hat, muss also gelten: a+b>c , b+c>a und c+a>b.
  Was sonst passiert, seht Ihr bei den beiden Abbildungen.
• Anschaulich: Nimmt man die längste Dreiecksseite als den kürzesten Weg, auf dem man von einem Eckpunkt zum anderen kommt, so bilden die beiden kleineren Seiten zusammen einen Umweg. Und Umwege sind immer länger als der direkte Weg.
  
• Sind 3 Seiten eines Dreiecks gegeben, so ist es günstig, nach dem Zeichnen der ersten Seite um die Endpunkte dieser Seite Kreise zu zeichnen, die die Radien der noch fehlenden Seiten haben.
  Der Schnittpunkt der beiden Kreise ist dann der noch fehlende Dreieckspunkt.
  Es ergeben sich zwar 2 Schnittpunkte, aber die entstehenden Dreiecke sind kongruent.
  

• Im Zusammenhang mit der Besprechung der Hausaufgabe habe ich Euch das Programm GeoGebra gezeigt.
  Man kann damit Konstruktionen wie mit dem Zirkel, Geodreieck und Bleistift durchführen, aber das Wichtigste ist, dass Punkte und Figuren "dynamisch" geändert werden können.
  "Dynamisch" heißt, dass z.B. ein Punkt mit der Maus an eine beliebige Stelle gezogen werden kann und alle anderen Objekte, die mit diesem Punkt zu tun haben (z.B. Geraden, Dreiecke usw.) gleichzeitig mit angepasst werden.
  Wenn Ihr dieses sehr gute und kostenlose Programm haben möchtet, könnt Ihr es Euch legal auf folgender Seite herunterladen: http://www.geogebra.at .
• Die Lösung des zweiten Teils der Hausaufgabe (mit GeoGebra konstruiert) könnt Ihr hier herunterladen.

• Weitere Übungen zur Konstruktion beim Kongruenzsatz sws (d.h. es sind zwei Seiten mit dem dazwischen liegenden Winkel gegeben).
• Kurz behandelt haben wir den Fall ssw (2 Seiten sind gegeben und ein Winkel, der aber nicht zwischen den Seiten liegt). Dazu auch die Hausaufgabe.

• Bei der Vorgabe von 2 Seitenlängen und dem außenliegenden Winkel (ssw) kann es vorkommen, dass es 2 nicht-kongruente Dreiecke, 1 Dreieck oder gar kein Dreieck gibt.
  Kein Dreieck gibt es, wenn die Dreiecksbeduingung (siehe 2008-08-27) nicht erfüllt ist.
  Ist die am Winkel liegende Seite die längere (geschrieben als sSw), so gibt es 2 Dreiecke.
  Ein einziges Dreieck kommt dann vor, wenn die dem Winkel gegenüberliegende Seite die längere ist (Ssw).
• Bei der Hausaufgabe sind eine Seite und die beiden angrenzenden Winkel gegeben (wsw).

• Die restlichen Möglichkeiten, 3 Dinge eines Dreiecks zu geben, haben wir in Arbeitsgruppen untersucht.
  Folgende Möglichkeiten, 3 Dinge zu geben, gibt es: sss, ssw (kongruente Dreiecke bei Ssw), sws, sww, wsw, www.
• Wir haben gesehen, dass nur der Fall www nicht zu kongruenten Dreiecken führt, weil man z.B. ein Dreieck beliebig vergrößern und verkleinern kann, ohne dass die Winkelgrößen sich ändern müssen.
  Sehr gut auch Lennarts Hinweis, dass der Fall www nicht zu kongruenten Dreiecken führen kann, weil der 3. Winkel ja aus den beiden anderen Winkeln berechnet werden kann (da in einem Dreieck die Winkelsumme aller 3 Winkel 180° beträgt) und deshalb bei www eigentlich nur 2 Dinge (Winkel) gegeben sind.
• Hausaufgabe: Konstruktion zum Fall sww.

• Sind 3 Teile eines Dreiecks gegeben, so kann man daraus unter bestimmten Bedingungen ein einzig mögliches Dreieck zeichnen.
  Gegenbeispiele sind z.B.: 
• Wenn 3 Winkel gegeben sind, lassen sich beliebig große Dreiecke zeichnen (siehe 2008-09-03). 
• Sind 2 Seiten und ein Winkel gegeben, wobei die Seite, die dem Winkel gegenüberliegt, die kürzere ist, lassen sich in vielen Fällen 2 verschiedene Dreiecke zeichnen (siehe 2008-09-02).
• Zur Konstruktion einer Figur gehört 
• eine Planfigur, in der alle gegebenen Größen markiert sind. An Hand dieser Figur kann man sein Vorgehen geeignet planen,
• die Konstruktionszeichnung, in der alle gezeichneten Größen benannt sind und
• eine Konstruktionsbeschreibung, bei der in Kurzform das Vorgehen beschrieben wird.
• Beispiele für Konstruktionen zu den verschiedenen Kongruenzsätzen bei Dreiecken.

• An Hand der Hausaufgaben haben wir noch einmal die Konstruktionen zu 3 Kongruenzsätzen wiederholt.
• Soll in 3-dimensionalen Abbildungen eine Streckenlänge durch Konstruktion gefunden werden, so ist es sinnvoll, wenn man die entsprechenden Teilfiguren in der Ebene konstruiert.
  Beispiel:  
                   

• Arbeiten mit dem Programm GeoGebra an Computern im Computerraum.
  Kennenlernen einzelner Funktionen des Programms und Dreieckskonstruktionen in Verbindung mit den Kongruenzsätzen.

• Besprechung der Hausaufgabe. Zur Lösung der Aufgaben siehe auch 2008-09-08.
• Weitere Aufgabe: Flussbreite bestimmen mit Hilfe zweier Tiefenwinkel. Dazu: Einen Tiefenwinkel misst man von der Waagrechten aus nach unten.

• Mathematische Aussagen können richtig oder falsch sein ("Die Winkelsumme im Dreieck beträgt 200°" ist falsch, "Stimmen in einem Dreieck die Länge einer Seite und die Winkelgrößen der angrenzenden Winkel überein, so sind die Dreiecke kongruent" ist richtig).
• Stellt man eine neue mathematische Aussage auf und behauptet man, dass diese Aussage richtig ist, muss man das beweisen.
• Bei einem mathematischen Beweis geht man von Dingen aus, die zu Grunde gelegt werden und kommt durch logische, von jedem zu überprüfende Überlegungen zu der behaupteten Aussage.
• Vorsicht! Die Beweisrichtung darf man nicht umkehren!
  Beispiel dazu: 
• "Sind zwei Dreiecke kongruent, so stimmen sie in der Länge zweier Seiten und dem der einen Seiten gegenüberliegenden Winkel überein."
  Hier ist die Voraussetzung: "Die Dreiecke sind kongruent". Da kongruente Dreieck in den Seitenlängen und Winkelgrößen übereinstimmen, gilt natürlich auch die zu beweisende Aussage: "Die Dreiecke stimmen in der Länge zweier Seiten und dem der einen Seite gegenüberliegenden Winkel überein."
• Die Umkehrung ist aber nicht richtig:
  Umkehrung: "Stimmen Dreiecke in der Länge zweier Seiten und dem der einen Seite gegenüberliegenden Winkel überein, so sind sie kongruent."
  Wenn der Winkel der Seite gegenüberliegt, die kleiner ist, so gibt es zwei nicht kongruente Dreiecke.
  Nur beim Kongruenzsatz Ssw (die dem Winkel gegenüberliegende Seite ist die längere) ergeben sich kongruente Dreiecke.
• Die Regeln für mathematische Beweise gelten auch außerhalb der Mathematik.
  Denkt auch bei Begründungen in allen anderen Fächern und auch außerhalb der Schule daran:
• Man darf nur das für die Begründung benutzen, was vorausgesetzt wurde.
• Man darf beim Beweisen nicht neue Dinge zum Begründen hinzunehmen.
• Man muss logisch und ohne Fehler argumentieren.
• Man darf die Beweisrichtung nicht umkehren.

• Wir haben den Stammbaum der Vierecke wiederholt. Eine Übersicht findet Ihr im Buch auf den Seiten 30 und 31.
• Bei den Übungen zum Beweisen haben wir wieder gemerkt: Man darf nichts benutzen, was man nicht ausdrücklich vorausgesetzt hat. Die Begründungen müssen lückenlos sein. Man darf nicht einfach einen Schritt beim Beweisen überspringen.
• Man beweist einen mathematischen Satz, indem man von der Voraussetzung zur Behauptung gelangt.
• Man spricht von einem Kehrsatz, wenn man die Voraussetzung und die Behauptung vertauscht.
  Merke: Wenn man von einem gültigen Satz den Kehrsatz bildet, muss dieser nicht unbedingt wahr sein!
• Beispiele zu Satz und Kehrsatz:
• Satz: "Stimmen in zwei Dreiecken alle Seiten überein, so sind diese Dreiecke kongruent".
  Der Satz ist richtig.
  Kehrsatz: "Sind zwei Dreiecke kongruent, so stimmen in den Dreiecken alle Seiten überein".
  Dieser Kehrsatz ist richtig.
• Satz: "Ist ein Viereck ein Rechteck, so sind einander gegenüberliegende Seiten gleich lang".
  Der Satz ist richtig.
  Kehrsatz: "Sind in einem Viereck gegenüberliegende Seiten gleich lang, so ist das Viereck ein Rechteck".
  Dieser Kehrsatz ist falsch. Denn auch in einem Parallelogramm sind gegenüberliegende Seiten gleich lang und ein Parallelogramm ist kein Rechteck.

• Zur Sicherheit noch einmal:
  Ein mathematischer Satz ist eine Aussage, die aus einer Voraussetzung und einer Behauptung besteht. Will man wissen, ob diese Aussage richtig ist, muss man sie beweisen.
  Bei einem Kehrsatz sind Voraussetzung und Behauptung des Satzes ausgetauscht. Auch wenn ein Satz richtig ist, muss der Kehrsatz nicht richtig sein! Siehe Beispiel am 2008-09-15.
• In 3 Gruppen habt Ihr Angaben über ein Viereck erhalten und solltet überprüfen, ob man aus den Angaben nur kongruente Vierecke zeichnen kann.
  Für alle Gruppen galt: a=42m, b=29m, c=21m.
  Zusätzlich sind bekannt bei Gruppe 1: β=55°, γ=99°, bei Gruppe 2: d=16m, β=55°, bei Gruppe 3: d=16m, AC=35m.
  Die Zeichnung für Gruppe 3 ist Hausaufgabe für alle.

• Beim Konstruieren von Vierecken oder anderen Vielecken ist es sinnvoll, zunächst ein Teildreieck der Gesamtfigur zu konstruieren.
  Diese Grundfigur kann man dann benutzen, um die weiteren Stücke des Vierecks oder Vielecks zu finden.
  
• Gegeben sind im abgebildeten Dreieck die roten Stücke.
• In diesem Viereck könnte man z.B. zuerst das Teildreieck ACD zeichnen, da 2 Seiten und der eingeschlossene Winkel gegeben sind.
  Danach erzeugt man mit Kreisen um D (Radius f) und um A (Radius a) den Punkt B.
• Man könnte aber auch mit dem Dreieck ABD beginnen, da dessen Seiten a, f und d gegeben sind.
  Anschließend liefert dann der Winkel bei D und ein Kreis um D (Radius c) den Punkt C.

• Besprechung der Hausaufgabe: Konstruktion allgemeiner Vierecke

• Im Zusammenhang mit der Aufgabe, für die 3 Orte Aschen, Barnstorf und Cornau einen Platz für ein gemeinsames Freizeitzentrum zu suchen, haben wir in einem ersten Schritt die Winkelhalbierenden eines Dreiecks kennengelernt und gesehen, dass sich die Winkelhalbierenden alle in einem Punkt schneiden, der gleich weit von allen Dreiecksseiten entfernt ist.
  Eine Zusammenfassung aller besonderen Linien im Dreieck erfolgt später.

• Besondere Linien im Dreieck (viele Links sind interaktiv, d.h. man kann wie bei GeoGebra die Eckpunkte mit der Maus ziehen)
• Die 3 Winkelhalbierenden schneiden sich alle in einem Punkt. (siehe auch bei Wikipedia).
  Der Punkt ist gleich weit von den Dreiecksseiten entfernt.
  Er ist deshalb der Mittelpunkt des Dreiecks-Inkreises.
• Die 3 Mittelsenkrechten schneiden sich alle in einem Punkt.
  Der Punkt ist gleich weit von den Eckpunkten des Dreiecks entfernt.
  Er ist deshalb der Mittelpunkt des Dreiecks-Umkreises.
• Die 3 Seitenhalbierenden schneiden sich alle in einem Punkt.
  Der Punkt ist der Schwerpunkt des Dreiecks. An ihm kann das Dreieck auf einer Fingerspitze balanciert werden.
  Von einer beliebig geformten Fläche kann man den Schwerpunkt erhalten, wenn man die Fläche an einem Punkt zwischen 2 Fingern fasst und pendeln lässt. Ist die Fläche zur Ruhe gekommen, so zeichnet man vom Aufhängepunkt eine senkrechte Linie nach unten. Wenn man die Fläche an mehreren Punkten pendeln lässt, sieht man, dass sich die senkrechten Linien alle in einem Punkt schneiden. Dieser Punkt ist der Schwerpunkt der Fläche.

• Auch die 3 Höhen in einem Dreieck schneiden sich in einem Punkt.
• Der Schnittpunkt liegt im Dreieck, wenn alle Winkel kleiner als 90° sind.
• Der Schnittpunkt liegt in einem Dreieckspunkt, wenn ein Winkel des Dreiecks genau 90° misst. Man spricht dann von einem rechtwinkligen Dreieck.
• Der Schnittpunkt liegt außerhalb des Dreiecks, wenn ein Winkel des Dreiecks größer als 90° ist.
  In diesem Fall liegen 2 Höhen außerhalb des Dreiecks.
  Zum Zeichnen der Höhen verlängert man die Dreiecksseiten und kann dann die Senkrechten von den Eckpunkten auf die gegenüberliegenden Seiten konstruieren.
• Konstruiert man in einem rechtwinkligen Dreieck die Mittelsenkrechten, so schneiden sich diese auf der Mitte einer Seite.
  Dieser Schnittpunkt ist der Mittelpunkt des Umkreises. Das Dreieck liegt dann genau in einem Halbkreis.
  2 Dreieckspunkte bilden den Durchmesser des Kreises. Der 3. Punkt kann beliebig irgendwo auf der Kreislinie liegen - immer ist dort der Wert des Winkels im Dreieck 90°.
  Diese Gesetzmäßigkeit nennt man "Satz des Thales". Siehe auch folgendes Applet.

• Wir haben gelernt, was der Mäander ist und wie ein Fluss aussieht, der Mäander besitzt und damit mändriert. Beispiele für mändrierende Flüsse: Saar und Mississippi.
  Auch in der Kunst gibt es Mänder!
• Fragestellung war, wo Brücken über einen zwischen 2 Orten fließenden, mändrierenden Fluss gebaut werden können, so dass beide Orte gleich weit von der Brücke entfernt sind.
• Ihr habt bis zu 6 Möglichkeiten gefunden. Mohammed hat es sogar auf über 40 Orte geschafft, allerdings erst, als er nachträglich den Fluss geeignet gezeichnet hat.
• Geübt haben wir mit dieser Aufgabe das Zeichnen und die Anwendung von Mittelsenkrechten.

• Ist bei einer Konstruktionsaufgabe zu Dreiecken der Radius des Umkreises gegeben, ist es oft günstig, erst den Umkreis zu zeichnen und dann die restlichen Dinge in diesen Kreis hinein zu konstruieren.
  Werden Seiten in den Umkreis durch Kreise eingepasst, so muss man die Kreise weit genug zeichnen, um weitere Lösungen nicht zu verpassen.
• Hier ein Beispiel:
  Gegeben sind r = 3 cm ;  a = 4,5 cm ; c = 5 cm
  Man beginnt mit dem Punkt B, dann folgen die Seiten a und c. Ihre Längen werden als Kreise abgetragen. So ergeben sich zwei unterschiedliche Dreiecke.
  

• Nach der Besprechung der Hausaufgabe haben wir noch eine Aufgabe zur Konstruktion mit Hilfe des Inkreises begonnen.
  Denkt daran: 
• Die Seiten eines Dreiecks sind Tangenten zum Inkreis.
• Der Mittelpunkt des Inkreises liegt auf Parallelen zu den Dreiecksseiten, die von den Seiten den Abstand ρ (Radius des Inkreises) besitzen.
• Bald schreiben wir die erste Klassenarbeit. Überlegt Euch schon, was wir noch wiederholen müssen!

• Neben Seitenlängen und Winkelgrößen können auch weitere Strecken gegeben sein, mit deren Hilfe man Dreiecke zeichnen kann.
  Es kommen Winkelhalbierende (Inkreis), Seitenhalbierende und Höhen in Frage, aber auch die Radien von Inkreis und Umkreis können als Grundlage für eine Konstruktion verwendet werden.
• Im Buch gibt es Beispielaufgaben zum Konstruieren mit Hilfe dieser zusätzlichen Strecken auf den Seiten 60 und 61.
  Auf Seite 62 findet Ihr weitere Übungsaufgaben.

• Weitere Übungsaufgaben zur Arbeit.
  Beispielarbeiten findet Ihr hier: Arbeit 1, Lösung 1, Arbeit 2, Lösung 2, Arbeit 3, Lösung 3

• Weitere Übungen zur Klassenarbeit
• Ausgabe der graphikfähigen Taschenrechner

• Klassenarbeit 1

• Einführung in das Arbeiten mit dem TI-84
  Einige nützliche Funktionen, die man sich merken sollte:
• Schon ausgeführte Rechnungen sind gespeichert und können der Reihe nach (in umgekehrter Reihenfolge) mit "2ND" und "ENTER" aufgerufen werden.
• Ergebnisse lassen sich in einem Speicher ablegen, um sie später wieder verwenden zu können. Die Speicher tragen jeweils einen Namen ("A" bis "Z").
  Man speichert mit folgender Tastaturfolge: "STO", "ALPHA" (zum Umschalten der Tasten auf Bchstaben), "K" (oder anderer Buchstabe)
  Will man später die gespeicherten Werte wieder benutzen, schreibt man nur den Buchstaneb in die Rechnung.
  Ist z.B. im Speicher K der Wert 23 gespeichert, so liefert die Rechnung 5 + K - 3 das Ergebnis 25.
• Potenzen, also z.B. 2³ = 2·2·2 = 8 oder 5² = 5·5 = 25 werden mit dem ^-Symbol geschrieben, also 2^3 oder 5^2.
• Sehr große Zahlen werden mit der E-Schreibweise dargestellt, z.B. bedeutet 3.247E12 dasselbe wie 3247000000000. Die Zahl hinter dem E gibt also an, um wie viele Stellen das Komma (bzw. der Dezimalpunkt) nach rechts verschoben werden muss. Ein Minuszeichen (-) bedeutet ein Verschieben nach links.
  Man kann solche Zahlen auch auf der Tastatur eingeben. Das E erhält man mit Hilfe von "2ND" und "," (Auf der ,-Taste steht oben links EE).
• Nun aber erst einmal schöne Ferien und viel Spaß beim Erkunden des Taschenrechners.

• Besprechung und Rückgabe der Klassenarbeit 1