Unterrichtseinsichten - Schuljahr 2008/2009 - Physik 11c

Dynamik

• Nach Aristoteles benötigt ein Körper einen bestimmten Impetus, um sich bewegen zu können. Ist dieser Impetus aufgebraucht, kommt der Körper zur Ruhe. 
• Newton dagegen ging im Trägheitsgesetz davon aus, dass ein Körper solange im Zustand der Ruhe oder der geradlinig gleichförmigen Bewegung bleibt, solange keine äußeren Kräfte auf ihn einwirken.
  Aus Erfahrung weiß man zwar, dass jeder Körper irgendwann zur Ruhe kommt.
  Der Widerspruch erklärt sich daraus, dass wir nahezu immer mit Reibung (an Luft, Gegenständen, usw.) bei Versuchen zu rechnen haben. 
• Wir haben mehrere Versuche zur Trägheit gesehen, die auf dieser Seite gezeigt werden.

• Bei der Wiederholung zum Trägheitssatz haben wir gesehen: Die Trägheit einer Masse hängt von der Größe der Masse ab. Je größer eine Masse, desto schlechter kann sie in Bewegung gesetzt oder abgebremst werden.
• Zur genaueren Untersuchung der Zusammenhänge dienen folgende Versuche mit der Luftkissenfahrbahn:
• Zwei Fahrbahnwagen gleicher Masse werden durch eine Feder auseinandergedrückt.
  Auf beide Wagen wirkt deshalb die gleiche Kraft.
  
  In gleicher Zeit bewegen sich jeder Wagen um die gleiche Strecke nach außen.
• Wird die Masse des einen Wagens auf das Doppelte vergrößert, bewegt sich der Wagen mit der doppelten Masse nur halb so weit wie der Wagen mit der kleineren Masse.
  
  Da der schwerere Wagen nur halb so weit kommt wie der leichtere Wagen, ist die Geschwindigkeit des schwereren Wagens halb so groß wie die Geschwindigkeit des leichteren Wagens.
• Allgemein gilt: Haben die Wagen die Massen m₁ und m₂ und die Geschwindigkeiten v₁ und v₂, so gilt m₁·m₂=v₁·v₂.
  In unserem Versuch gilt m₁=m, m₂=2·m, v₁=v und v₂=1/2·v. Dann folgt: m₁·v₁=m·v und m₂·v₂=2·m·1/2·v=m·v
• Wenn die antreibende Kraft in zwei Versuchen gleich ist, so ist auch das Produkt m·v gleich. Man setzt p=m·v und nennt p den Impuls.
  Die Impulse des rechten und des linken Fahrbahnwagens sind also gleich.
• Hier der Versuchsaufbau und eine Simulation.
• Simulationen zum Stapel-Ball-Versuch und zum Pendelversuch mit den Magneten.

• Die beiden Wagen (Abbildung 2009-02-13 oben) sind in der Fahrbahnmitte in Ruhe. Ihr Gesamtimpuls ist also gleich 0: p_gesamt=p₁+p₂=0
  Gleiten die Wagen zu beiden Seiten weg mit der Geschwindigkeit v=-v₁=v₂ , so sind die Impule entgegengesetzt gleich: -m1·v1=m2·v2 und damit gilt 0=m₁·v₁+m₂·v₂=p_gesamt .
• Entsprechend gilt beim 2. Versuch (unterer Teil der Abbildung, Achtung: v₁ ist negativ!): m₁=2·m₂ und -v₁=1/2·v₂     -m₁·v₁=-p₁=p₂=m₂·v₂     pgesamt=m₁·v₁+m₂·v₂=-2·m₂·1/2·v₂+m₂·v₂=0
• Diese Versuche zeigen beispielhaft den
  Impulserhaltungssatz: In einem abgeschlossenen System ist die Summe aller Impulse konstant.
  Speziell bei Stoßversuchen: Die Summe der Impulse vor dem Stoß ist gleich der Summe der Impulse nach dem Stoß.
• Beispiel: Die Messung bei einem Stoßversuch ergab:
  gegeben: m₁=100g ; m₂=200g ; v₁=51cm/s ; v₂=0 ; v₁'=-17cm/s 
  gesucht: v₂'
  
  

• In der letzten Stunde stand der 2. Wagen vor dem Stoß. Nun wurde eine Messung durchgeführt, bei der sich beide Wagen vor dem Stoß bewegten.
  Die Geschwindigkeit der Wagen wird dadurch ermittelt, dass die Zeit gemessen wird, in der ein auf dem Gleiter befestigter Streifen eine Lichtschranke verdunkelt.
  Wagen 1 gleitet nach rechts. Er hat die Masse 91g und sein Streifen hat die Breite 1,1cm. Gemessen wird die Zeit 49,11ms.
  Wagen 2 gleitet nach links. Er hat die Masse 190g und sein Streifen hat die Breite 1,0cm. Gemessen wird die Zeit 29,43ms.
  Gemeinsam gleiten die Wagen 1 und 2 nach links. Sie haben die Masse 281g und beim Streifen mit der Breite 1,1cm werden 71,17ms gemessen.
• Auswertung:
• Wagen1: Geschwindigkeit: v₁=1,1cm/49,11ms=0,022cm/ms
• Wagen2: Geschwindigkeit: v₂=1,0cm/29,43ms=0,034cm/ms
• Impuls vor dem Stoß: m₁·v₁+m₂·v₂=91g·0,022cm/ms-190g·0,034cm/ms=-4,42g·cm/ms
• Wagen1 und Wagen2 nach dem Stoß: v'=1,1cm/71,17ms=0,015cm/ms
• Impuls nach dem Stoß: (m₁+m₂)·v'=281g·(-0,015cm/ms)=-4,34g·cm/ms 
• Die Minuszeichen geben an, dass sich der Wagen nach links bewegt. Die Ergebnisse für den Impuls vor und nach dem Stoß stimmen nahezu überein.
• Hausaufgabe:
  2 Wagen treffen aufeinander und stoßen sich elastisch voneinander ab. Nach dem Stoß haben also beide Wagen unterschiedliche Geschwindigkeiten.
• Wagen 1:
  Streifenbreite 1,1
  Masse 94g
  Verdunkelungszeit vor dem Stoß: 23,70ms
  Verdunkelungszeit nach dem Stoß: 18,68ms
  Bewegung erst nach rechts, nach dem Stoß nach links
• Wagen 2:
  Streifenbreite 1,0
  Masse 190g
  Verdunkelungszeit vor dem Stoß: 31,58ms
  Verdunkelungszeit nach dem Stoß: 56,59ms
  Bewegung erst nach links, nach dem Stoß nach rechts

• Die Messergebnisse der letzten Stunde ergeben Werte für die Impulse vor (-1,654g·cm/ms) und nach (-2,178g·cm/ms) dem Stoß, die sich sehr unterscheiden.
  Ursache ist möglicherweise die kurze Messstrecke (1cm) bei einer Messungenauigkeit von +-1mm.
  Der Versuch wurde deshalb mit einer neuen Messstrecke von 5cm+-1mm wiederholt.
• In folgenden 2 Versuchen soll untersucht werden, wie sich ein ändernder Impuls auf einen Körper auswirkt:
  
  Eine Kugel wird auf einen Holzklotz geschossen. Trifft sie dabei in einem Auffangbehälter auf und wird dort festgehalten, so wird der Holzklotz etwas zur Seite ausgelenkt.
  Trifft die Kugel auf dem Holz auf und wird zurückgeschleudert, so wird der Holzklotz um einen größeren Winkel ausgelenkt.
  Ihre Vermutung, mit Kugel sei der Holzklotz schwerer als ohne Kugel und deshalb würde er im 1. Versuch nicht so weit ausgelenkt, könnte im Prinzip zutreffen. Da die Kugel aber wesentlich leichter ist als der Holzklotz, muss noch ein anderer Grund vorhanden sein. In der nächsten Stunde werden wir darüber sprechen.

• Besprechung der Hausaufgabe
  Wir haben gelernt, wie man mit dem Listeneditor des Taschenrechners längere Messreihen günstig auswerten kann:
  L1: Zeiten t1 für den Wagen 1
  L2: Zeiten t2 für den Wagen 2
  L3: Formel "5/L1" berechnet die Geschwindigkeit des Wagens 1 (Breite der Blende dividiert durch Verdunkelungszeit der Lichtschranke)
  L4: Formel "5/L2" berechnet die Geschwindigkeit des Wagens 2 (Breite der Blende dividiert durch Verdunkelungszeit der Lichtschranke)
  L5: Formel Masse1*L3+Masse2*L4 berechnet die Impulse vor bzw. nach dem Stoß.
• Weitere Besprechung zum Versuch der letzten Stunde:
      
  
  Im Bild links hat die Kugel nach dem Abschuss den Impuls p=m·v. Nach dem Auftreffen ist sie im Prinzip in Ruhe (wird aber vom schwingenden Holzklotz mitgenommen). Ihr Impuls ist nun 0.
  Im Bild rechts hat die Kugel nach dem Abschuss auch den Impuls p=m·v. Nach dem Auftreffen würde sie im Idealfall zurückreflektiert werden und hätte dann den Impuls p=-m·v.
  Die Änderung des Impulses würde also 2·m·v betragen, wäre also doppelt so groß, wie im 1. Fall. Deshalb schwingt hier der Holzklotz auch weiter aus.
  Eine wichtige Definition in diesem Zusammenhang werden wir in der nächsten Stunde besperechen.

• Bei größerer Impulsänderung wird der Holzklotz weiter bewegt, es muss also eine größere Kraft auf ihn gewirkt haben.
  Würde die Impulsänderung über einen größeren Zeitraum hin erfolgen, so würde die wirksame Kraft kleiner sein.
  Auf Grund dieser Abhängigkeiten: größerer übertragener Impuls --> größere Kraft ; Übertragung des Impulses über lange Zeit --> kleinere Kraft definiert man Kraft als .
• Wenn die Masse bei der Impulsänderung konstant bleibt, kann man die Gleichung weiter umformen:
  
  Man erhält so die Newtonsche Bewegungsgleichung  (auch Grundgleichung der Mechanik oder in der Form  2. Newtonsches Gesetz genannt).

• Aufgabe aus dem Buch zur Formel .
• Zur Hausaufgabe (Seite 53 Aufgabe 6 a,b) müssen Sie auch wieder einmal die Bewegungsgleichungen s=1/2·a·t² und v=a·t anwenden.

• Wiederholung der Überlegungen zu und
  Aufgaben zu dieser Formel und den Bewegungsgleichungen für die
• geradlinig gleichförmige Bewegung: s=v·t ; v=const. ; a=0
• gleichförmig beschleunigte Bewegung: s=1/2·a·t² ; v=a·t ; a=const.

• Abschließende Besprechung zu den Übungs-Aufgaben.
• Beispiel für das Vorgehen bei einer komplexen Messung an Hand der Messung eine speziellen Kraft (Kraft bei Drehbewegung)
  
  Versuchsaufbau: 
  
  Die Vorbesprechung hat ergeben, dass die Kraft F abhängig sein wird von der Masse m des Wagens, von der Winkelgeschwindigkeit ω der Drehbewegung und von dem Radius r, mit dem der Wagen um das Zentrum kreist.
  Ist eine Größe von mehreren anderen Größen abhängig, so müssen bei einer Messung sinnvollerweise alle Größen konstant gehalten werden bis auf zwei Größen, deren Abhängigkeit man untersuchen will.
  Beim vorliegenden Versuch muss man also 3 Fälle unterscheiden:
• F und r variabel, m und ω konstant
• F und m variabel, r und ω konstant
• F und ω variabel, r und m konstant.
• In einem "Grundversuch", wie Sie es nannten, haben wir zunächst einmal für beliebige Einstellungen die Werte bestimmt.
  Gewählt wurde r=18cm, gemessen wurde m=53g und Umlaufdauer T=1,83s. Rechnen Sie aus T den ω-Wert aus.
  Zunächst haben Sie die Umlaufdauer auf Grund eines Umlaufs der Apparatur bestimmt. Wie wir gesehen haben, differierten die Werte (Werte oberhalb des waagrechten Strichs).
  Dann haben wir gesehen, dass das Ergebnis genauer wird (jedenfalls lässt es sich besser reproduzieren), wenn man die Zeit für 10 Umdrehungen misst und dann auf eine Umdrehung zurück rechnet (:10).
  
  Ergebnis: 
  
  Da das Messgerät für die Kraft nicht genau auf 0 eingestellt werden konnte, wurde zunächst die Anzeige ohne Belastung notiert (-0,003N) und dann die Anzeige bei Drehung des Wagens (0,110N).
  

• Ergänzung zur letzten Stunde: 
• Die Kraft errechnet sich zu 0,110N - (-0,003N) = 0,110N + 0,003N = 0,113N
• Die Winkelgeschwindigkeit ergibt sich aus ω=2π/T zu ω = 2π/1,83s = 3,43Hz
• 1. Messung: Abhängigkeit zwischen r und F. m und ω werden konstant gehalten:
• Wie in der letzten Stunde: m=53g und ω=3,43Hz
• Messtabelle:
  Der Wert (0/0) ist natürlich kein Messwert, sondern entspringt der Überlegung, dass eine Masse im Zentrum der Drehbewegung keine Kraft nach außen erfährt.
• Aufgabe: Werte in den Taschenrechner eingeben (L1 und L2) und Zusammenhang finden.

• 2. Messung: F und m variabel, r und T konstant mit r=0,18m und T=1,866s
  Messtabelle:
• 3. Messung: F und T variabel, r und m konstant mit r=0,18m und m=53g
  Messtabelle:

• Auswertung der Messreihe zur 1. Messung mit Hilfe des Taschenrechners.
  Formeln im Listeneditor, die bei Änderung eines Wertes in einer benutzen Spalte die Werte in einer anderen Spalte automatisch aktualisieren sollen, werden in doppelte Hochstriche eingeschlossen.
• Hier einige Screenshots zur Auswertung der Tabelle zur 1. Messung:
    
  
  STAT -->    
  
  allgemeine Ansicht -->   
  ENTER -->  
  
  und die Regression in der graphischen Darstellung:    
• Es gilt also näherungsweise: F=0,62·r
• Hausaufgabe: Auswertung der beiden anderen Messreihen.
  Als Kraft muss jeweils die Differenz F - F(offset) genommen werden.
  Befinden sich die Werte von F in L2 und F(offset) in L3, so kann die Differenz in L4 durch "L2-L3" geschrieben werden.

• Zur Auswertung der Messreihen und zur Benutzung von festen Formeln in Listen siehe die Ausführungen auf der Seite für die 10e (2009-03-26 und 2009-04-16).
• Wiederholung zur Klassenarbeit (siehe dazu auch die älteren Physik-Klassenarbeiten).

• Klassenarbeit 2

• Gegenstände, die im Erdschwerefeld unter sich freien Raum haben oder die sich bewegen haben die Eigenschaft gegenüber auf dem Boden liegenden oder in Ruhe befindlichen Gegenständen, von selbst etwas bewirken zu können. Der im freien Raum befindliche Gegenstand kann beim Herunterfallen etwas zerstören, genau wie derjenige, der mit großer Geschwindigkeit gegen ein Hindernis stößt.
  Diese Eigenschaft, Arbeit verrichten zu können, nennt man Energie.
• Unmittelbar einsichtig ist, dass ein Körper um so mehr Energie hat, je höher er über dem Boden ist. Ebenso klar ist, dass ein schnellerer Körper mehr Energie hat als ein langsamer Körper.
  Wie genau hängt aber die Energiemenge von der Höhe h und von der Geschwindigkeit v eines Körpers ab?
  Um das Herauszufinden, wandelt man am besten die eine in die andere Energieform um. 
• So wird die Lageenergie eines Körpers, der sich in der Höhe h befindet, beim Herunterfallen in Bewegungsenergie umgewandelt, so dass er beim Auftreffen auf den Boden eine Geschwindigkeit erreicht hat, deren Bewegungsenergie der vorher vorhandenen Lageenergie entspricht.
• Umgekehrt wird ein nach oben geworfener Gegenstand, der zu Beginn entsprechend seiner Geschwindigkeit Bewegungsenergie besitzt, am höchsten Punkt seiner Bahn diese gesamte Bewegungsenergie in Lageenergie umgewandelt haben.
• Zur Untersuchung der Energieumwandlung von Lageenergie E_L in Bewegungsenergie E_B wird auf einer Luftkissenfahrbahn ein Wagen durch eine angehängte Masse beschleunigt. Die erreichte Geschwindigkeit wird mit Hilfe einer Lichtschranke (kleiner roter Punkt) bestimmt.
  
  In Abhängigkeit von der Fallhöhe des schwarzen Massekörpers wird die Verdunkelungs-Zeit gemessen und dann mit der Formel v~1/t ein Maß für die Geschwindigkeit gefunden.
   
  In L1 stehen die Fallhöhen des Massestücks, in L2 die gemessenen Zeiten. 
  In L3 wird dann mit 1000/L2 ein Maß für die Geschwindigkeit gefunden. Da es nicht auf absolute Werte, sondern nur auf Proportionalitäten ankommt, wird zur besseren Lesbarkeit der Ergebnisse der Faktor 1000 gewählt.
  Bei der Suche nach der mathematischen Funktion, die die Messwerte am besten beschreibt, muss man darauf achten, dass der Punkt (0/0) vom Graph möglichst gut getroffen wird, weil für die Fallhöhe 0 cm die Geschwindigkeit 0 m/s gilt.
  In der nächsten Stunde werden wir darüber noch reden müssen.

• Wir haben gesehen: Wegen des Punktes (0/0) kann eine Gerade keine Lösung für das Problem der letzten Stunde sein.
           
• Eine quadratische Regression ergab eine relativ gute Übereinstimmung, die Parabel bedeutete aber, dass bei größeren Fallhöhen die Geschwindigkeit wieder geringer würde.
  Das ist aber Unsinn, denn je größer die Fallhöhe, desto größer auch die Geschwindigkeit.
           
     
• Die Lösung des Problems erhielten wir, indem wir L3 waagrecht und L1 senkrecht abgetragen haben. Mit einer quadratischen Regression erhielten wir ein physikalisch sinnvolles Ergebnis und gute Übereinstimmung mit den Messwerten.
  Ergebnis: h~v² . Um die doppelte Geschwindigkeit zu erhalten, muss man also den Körper aus der 4-fachen Höhe fallen lassen.
         
• h und v sind Repräsentanten für die Lageenergie und für die Bewegungsenergie.
  Wir sehen: Die Lageenergie ist proportional zur Höhe des Körpers.
  Die Bewegungsenergie nimmt quadratisch mit der Geschwindigkeit zu. Doppelte Geschwindigkeit bedeutet also 4-fache Energie. Im Straßenverkehr beachten!

• In der letzten Stunde haben wir gesehen, dass die Höhe h, aus der ein Körper fällt, proportional zum Quadrat der Geschwindigkeit ist, die der Körper maximal erreicht: h~v² .
• Nun soll der Zusammenhang zwischen der Spannenergie einer Feder und der Bewegungsenergie untersucht werden.
  Bei gleicher Masse hängen diese Energien von der Verlängerung Δs der Feder und der Geschwindigkeit v des Körpers ab.
  Ein Wagen der Luftkissenbahn wird durch eine gespannte Feder beschleunigt. Gemessen werden die Verlängerung Δs der Feder und die Zeit t, die der Wagen benötigt, damit eine auf ihm befindliche Papierschablone eine Lichtschranke durchquert.
  
• Messwerte, eingegeben in den GTR: in L1 Verlängerung der Schraubenfeder in cm, in L2 Zeit zum Durchqueren der Lichtschranke in ms.
  In L3 wird die Formel L3=5000/L2 eingegeben. Damit wird die Geschwindigkeit des Wagens in cm/s berechnet.
  Erläuterung: es gilt v=S/t mit S=5cm und t gemessen in ms. Möchte man die Einheit cm/s erhalten, so muss t durch 1000 dividiert werden oder, da t im Nenner steht, der Zähler des Bruches mit 1000 multipliziert werden.
         
  Da die Geschwindigkeit 0 ist, wenn die Feder gar nicht verlängert wurde, wird dieser "Messwert" in den Spalten L1 und L3 hinzugefügt.
  Vorsicht: In L2 darf unten nicht 0 stehen, da die Verdunkelungszeit bei der Geschwindigkeit 0 cm/s unendlich lang wäre.
  Da die Messpunkte in etwa auf einer Geraden liegen, wird eine lineare Regression durchgeführt.
        
• Ergebnis: Die Geschwindigkeit des Wagens ist proportional zur Verlängerung der Feder: v~Δs.
  Aus dieser Proportionalität folgt v²~(Δs)² .
  Damit gibt es folgende charakteristische Größen für die einzelnen Energiearten:
  Lageenergie E_L --- h ; Bewegungsenergie E_B --- v² ; Spannenergie einer Feder E_S --- (Δs)² .
• Wie die genauen Gleichungen für die Energien lauten, werden wir in den nächsten Stunden besprechen.

• Besprechung und Rückgabe der Klausur 2 (Aufgaben, Lösungen)
• Die Lageenergie E_L hängt außer von der Höhe auch noch von der Masse ab. Bei doppelter Masse sollte die Energie doppelt so groß sein.
  Auch der Ortsfaktor g sollte in der Energie vorkommen, denn auch eine große Masse kann zur Lageenergie nichts beitragen, wenn sie nicht durch eine Gravitationskraft beschleunigt wird.
  So hat man dann die Lageenergie (oder auch potenzielle Energie E_Pot) definiert als E_L=m·g·h.
• Energie kann man sich als gespeicherte Arbeit denken. Hebt man einen Körper der Gewichtskraft F_G=m·g um die Höhe h an, so hat man die Arbeit W=m·g·h verrichtet. Der Betrag dieser Arbeit ist gleich dem der Lageenergie.
  Trägt man in einem Diagramm die Gewichtskraft gegen die Höhe auf, so ergibt sich für den Flächeninhalt zwischen Funktionsgraph und x-Achse der Wert der Energie:
  
   
• Auch die Bewegungsenergie E_B (oder auch kinetische Energie E_Kin) wird zusätzlich zum gefundenen Faktor v₂ von der Masse m abhängen.
  Gewinnt ein Körper Bewegungsenergie durch eine konstante Kraft, die auf einer Strecke Δs wirkt, so gilt:
  F·Δs=Δp/Δt·Δs=Δp·Δs/Δt=Δp·v. Δp ist dabei der gesamte Impuls, der bei der Geschwindigkeit v erreicht wurde.
  Trägt man auch hier im v-p-Koordinatensystem den entsprechenden Graph auf, so ergibt sich eine Ursprungsgerade und zwischen Ursprungsgerade und v-Achse als Flächeninhalt der entsprechende Energiewert: E_B=1/2·m·v²
  
• Ähnlich verläuft die Herleitung der Spannenergie E_Sp:
  Nach dem Hookeschen Gesetz F~s bzw. F=D·s wächst die Kraft linear mit der Auslenkung der Feder.
  Graph und Flächenberechnung ergeben E_Sp=1/2·D·s².
  
• Mit Hilfe der Integralrechnung lassen sich diese Herleitungen später eleganter lösen.

• Wiederholung der Herleitungen aus der letzten Stunde.
• Wir haben gesehen, dass Rechnungen wesentlich einfacher werden können, wenn man mit Energien rechnet.
  Fragt man nach der Geschwindigkeit, die ein Körper, der aus der Höhe h fällt, am Boden erreicht, so ergibt sich mit Hilfe einer Energiebetrachtung:
  E_Pot,Beginn=E_Kin,Ende  --->   m·g·h=1/2·m·v²   --->   v=√(2·g·h)    (Anmerkung: Die Masse spielt bei diesem Vorgang keine Rolle, da sie in der Formel nicht vorkommt!)
  Dasselbe Ergebnis erhält man aus der gleichen Energiebetrachtung für folgende Fragestellungen:
  -  Ein Körper gleitet auf einer schiefen Ebene (Neigungswinkel α) aus der Höhe h nach unten. Welche Endgeschwindigkeit erreicht erreicht er?
  -  Ein Kugel-Pendel wird so weit ausgelenkt, dass sich die Kugel zunächst auf der Höhe h befindet. Welche Geschwindigkeit erreicht sie beim Durchgang durch die Ruhelage?

• Energie kann man nicht aus dem Nichts erzeugen und Energie verschwindet nicht einfach.
  Würde Energie aus dem Nichts erzeugt werden können, so wäre es möglich, ein Perpetuum mobile (1, 2) zu bauen, eine Maschine, die ohne Energiezufuhr ewig laufen würde und darüber hinaus auch noch überschüssige Energie erzeugen könnte.
  Energie verschwindet nicht einfach (z.B. wenn ein Ball nach mehrmaligen Hüpfen auf dem Boden liegen bleibt), sondern wird durch Reibungseffekte in innere Energie bzw. Wärme (=Bewegungsenergie der Atome und Moleküle) umgewandelt.
• Folge ist, dass Energien sich ineinander umwandeln können und dass die Gesamtenergie eines Systems immer konstant ist. Es gilt der Energieerhaltungssatz (1, 2).
• Wir haben folgende Aufgabe gerechnet:
  2 Körper bewegen sich aufeinander zu und stoßen elastisch zusammen. Nach dem Stoß bewegen sie sich mit unterschiedlicher Geschwindigkeit voneinander fort.
  Die Massen der Körper sind m₁=2kg, m₂=8kg und die Geschwindigkeiten vor dem Stoß v₁=4m/s und v₂=-2m/s. Gesucht sind die Geschwindigkeiten v₁' und v₂' nach dem Stoß.
  Lösung: Da 2 Größen unbekannt sind, benötigen wir ein Gleichungssystem mit 2 Gleichungen.
  Wir nehmen dazu den Impulserhaltungssatz und den Energieerhaltungssatz, setzen die Werte ein, lösen die eine Gleichung nach v₂' auf und setzen das Ergebnis in die andere Gleichung ein:
  
  Impulserhaltungssatz     m₁·v₁+m₂·v₂=m₁·v₁'+m₂·v₂'
  Energieerhaltungssatz   1/2·m₁·v₁²+1/2·m₂·v₂²=1/2·m₁·v₁'²+1/2·m₂·v₂'²   ---> (dividiert durch 1/2)  m₁·v₁²+m₂·v₂²=m₁·v₁'²+m₂·v₂'²
  Rechnungen ohne Einheiten, da sich die Einheit kg herausteilt und das Ergebnis in der Einheit m/s abgezeigt wird.
  Impulserhaltungssatz    2·4+8·(-2)=2·v₁'+8·v₂'    --->   8-16=2·v₁'+8·v₂'   --->   -8=2·v₁'+8·v₂'   --->   v₂'=(-8-2·v₁')/8=-1-1/4·v₁'  
  Energieerhaltungssatz   2·4²+8·(-2)²=2·v₁'²+8·v₂'²   --->   32+32=2·v₁'²+8·v₂'²   --->   64=2·v₁'²+8·v₂'²  --->
  64=2·v₁'²+8·(-1-1/4·v₁')²=2·v₁'²+8+4v₁' +1/2·v₁'²   --->   5/2·v₁'²+4·v₁'-56=0    --->   v₁'²+8/5·v₁'-112/5=0   --->
  1. Lösung:
  v₁'=-4/5+√(16/25+560/25)=-4/5+√(576/25)=-4/5+24/5=20/5=4
  daraus folgt  v₂'=-1-1/4·4=-1-1=-2
  Man sieht, dass v₁=v₁' und v₂=v₂' . Die Körper haben sich also gar nicht getroffen, sondern sind aneinander vorbeigefahren.
  2. Lösung:
  v₁'=-4/5-√(16/25+560/25)=-4/5-√(576/25)=-4/5-24/5=-28/5=-5,6
  daraus folgt  v₂'=-1-1/4·(-28/5)=-1+7/5=-5/5+7/5=2/5=0,4
  Der Körper 1 bewegt sich also nach dem Stoß nach links mit der Geschwindigkeit -5,6m/s und der Körper 2 bewegt sich nach rechts mit 0,4m/s.
• Weitere Übungsaufgaben zum zentralen elastischen Stoß.

• Besprechung der Zeugnisnoten und Wiederholung des Rechengangs der letzten Stunde.
  Links zum zentralen elastischen Stoß: Theorie zu Sonderfällen - Allgemeine Herleitung zur Bestimmung der Geschwindigkeiten nach dem Stoß.

• Versuch zur Bestätigung des Energieerhaltungssatzes am Beispiel einer Schraubenfederschwingung.
      
  Der untere Ansatz einer Schraubenfeder befindet sich auf der Höhe 1.
  Nachdem die Masse m angehängt wird ist der untere Ansatz der sich in Ruhe befindenden Schraubenfeder auf der Höhe 2.
  Nun wird die Schraubenfeder noch ein Stück per Hand nach unten ausgelenkt, so dass der untere Ansatz auf der Höhe 3 zu finden ist.
  Auf der Höhe 4 ist eine Lichtschranke angebracht, die die Verdunkelungszeit t durch eine Papierfahne der Länge L misst. Man nimmt näherungsweise an, dass sich während der Verdunkelung die Schraubenfeder mit konstanter Geschwindigkeit bewegt und kann dann diese Geschwindigkeit aus den Messergebnissen berechnen.
  Anschließend wird die Gesamtenergie aus der potenziellen Energie E_Pot, der Spannenergie E_Sp und der kinetischen Energie E_Kin an der Höhe 4 berechnet und mit Gesamtenergien an anderen Orten verglichen. Dann sollte zu sehen sein, dass die Gesamtenergie auf allen Höhen identisch ist.
• Messwerte: m=260g; L=2cm; Höhe1=25cm; Höhe2=48cm; Höhe 3=58cm; Höhe4=39cm;
  5 Messungen zu t: 0,0311s; 0,0291s; 0,0294s; 0,0284s; 0,0254s   ; Mittelwert: 0,02868s
• Auswertung in der nächsten Stunde.

• Auswertung der Messung aus der letzten Stunde:
• Die Gesamtenergie auf der Höhe 4 soll berechnet werden. Es liegen dort Energien in Form von E_Pot, E_Sp und E_Kin vor.
  Es gilt: E_gesamt=E_Pot+E_Sp+E_Kin =m·g·h+1/2·D·s²+1/2·m·v²
• Die Gewichtskraft F_G der Masse m entspricht der Kraft F, die die Schraubenfeder um die Länge s₀ verlängert (von 1 nach 2, also 23cm=0,23m).
  Man kann also schreiben: F_G=F ---> m·g=D·s₀ --->  D=m·g/s₀ .
• Den 0-Punkt der potenziellen Energie legen wir in die Ebene 3. Damit ist h der Abstand zwischen den Ebenen 3 und 4, also 19cm=0,19m.
• s ist die Verlängerung der Schraubenfeder von Ebene 1 zu Ebene 4, also 14cm=0,14m.
• v berechnet sich aus der Hohe L der Papierfahne und der gemessenen Zeit t: v=L/t.
• m=0,26kg ; L=0,02m ; g=9,81m/s²
• Es gilt also (Einheiten werden weggelassen): E_gesamt4=0,26·9,81·0,19+1/2·(0,26·9,81/0,23)·0,14²+1/2·0,26·(0,02/0,02868)² = 0,485+0,109+0,063 = 0,656
• Auf der Höhe 3 besitzt der Körper die kinetische Energie 0, weil dort der Umkehrpunkt der Schwingung ist.
  Auch die potenzielle Energie ist dort 0, weil der Nullpunkt auf das Niveau 3 gelegt wurde.
  Folglich ist nur die Spannenergie von 0 verschieden. Das s ist der Abstand zwischen den Ebenen 1 und 3, also 33cm=0,33m.
  Es folgt: E_gesamt3=1/2·D·s²=1/2·(m·g/s₀)·s²=1/2·(0,26·9,81/0,23)·0,33² = 0,604
• Information: Man sieht, dass die Gesamt-Energien auf den Höhen 3 und 4 in etwa gleich sind.
  Der Energieerhaltungssatz besagt, dass auf jeder Höhe die Gesamtenergie gleich groß ist.

• Simulation/Berechnung zur Energie bei der Schwingung einer Schraubenfeder.
  Es werden die potenzielle Energie, die kinetische Energie, die Spannenergie und die Gesamtenergie graphisch dargestellt.
  Frei gewählt werden können die angehängte Masse m, die dadurch bewirkte Auslenkung s₀ der Schraubenfeder, der Ortsfaktor g, die Anfangsauslenkung h0 und die Zeitdifferenz Δt zwischen 2 "Messzeiten".