Unterrichts-Einsichten  -  Schuljahr 2007/2008  -  Mathematik Ma4-g

Gebrochen-rationale Funktionen

Wir beginnen mit dem Kapitel "4.6 Weitere Ableitungsregeln" (im Buch ab Seite 155)

2007-08-31

• Wiederholung wichtiger Rechenregeln aus der Sek.I
  Falls Sie Schwierigkeiten bei grundlegenden Rechenverfahren haben, schauen Sie die Rechenregeln bitte in der Formelsammlung nach (siehe Seitenangabe) und üben Sie mit entsprechenden Rechnungen
  • Bruchrechnung (S. 22)
  • Rechnen mit Beträgen (S. 22)
  • Termumformungen (z.B. Ausklammern, Binomische Formeln) (S. 22)
  • Potenzrechnung (S. 23)
  • Logarithmengesetze (S. 23)
  • Quadratische Gleichungen (p-q-Formel) (S. 27)
  • Trigonometrie (sin, cos, tan) (S. 35-36)
  • Funktionsklassen (lineare Funktionen, quadratische Funktionen, Potenzfunktionen, Wurzelfunktionen, Winkelfunktionen) (S. 38-39)
  • einfache Differentiationsregeln aus Klassenstufe 11 (S. 43)
• Verwendung des GTR (grafik-fähiger Taschenrechner) zur Überprüfung von Vermutungen (hier im Zusammenhang mit dem Ableiten eines Produktes)
  Eine Auswahl von Anleitungen für den Gebrauch des Taschenrechners in Klassenstufe 11 finden Sie hier.
  In dieser Datei finden Sie unter "Wendepunkt eines Graphen finden" die Beschreibung, wie man nummerisch die Ableitung einer Funktion mit nDerive bildet.
  Weitere benötigte Funktionen in Klassenstufe 12 werden während des Schuljahres bei Bedarf hinzugefügt.

2007-09-03

• Die Hausaufgabe bestand darin, die Funktion f(x) = x^2 * x^3 abzuleiten.
  Eine Schülerin hat für den allgemeinen Fall f(x) = x^a * x^b durch Probieren die Formel f '(x) = (a + b) * x^(a+b-1) gefunden. Sehr schön!
  Aber die zweite Aufgabe, f(x) = x^2 * sin x abzuleiten, lässt sich damit leider nicht lösen.
• Merke: Wenn man eine Ableitungsaufgabe nicht mit schon gefundenen Ableitungsregeln lösen kann, muss man zur ursprünglichen Definition der Ableitung greifen.
  Ein Beispiel für das Bilden einer Ableitung mit Hilfe des Differenzenquotienten finden Sie hier.
  Im Beispiel wird auch eine Polynomdivision durchgeführt. Bitte ansehen und nachrechnen!
• Zur Notwendigkeit, Beweise durchzuführen:
  Setzt man in den Term n^2 - n + 41 der Reihe nach für n die Zahlen 0, 1, 2, 3, ... usw. ein, so ergibt sich immer eine Primzahl. Wirklich immer???
  0-0+41 = 41 ist Primzahl
  1-1+41 = 41 ist Primzahl
  4-2+41 = 43 ist Primzahl
  9-3+41 = 47 ist Primzahl
  ...
  Auch wer lange durchhält, z.B. bis n=20 oder n=30, wird feststellen, dass sich immer Primzahlen ergeben.
  Erst bei n=41 ergibt sich keine Primzahl: 41^2-41+41 = 41^2 = 41*41, also keine Primzahl.
  Ein Indizien-"Beweis" mit Durchprobieren von Beispielen hat also keine allgemeingültige Aussagekraft, selbst wenn sehr viele Rechnungen ein Ergebnis liefern, das die aufgestellte Vermutung zu bestätigen scheint!

2007-09-04

• Herleitung der Produktregel.
  Beachten Sie bitte das "Prinzip der hilfreichenNull":
  1. Eine 0 wird ergänzt und 
  2. durch einen Term mit dem Wert 0 ersetzt.
  3. Der Term wird dann geteilt und mit unterschiedlichen Teilen des Gesamtterms verknüpft.

2007-09-07

• Herleitung der Quotientenregel und der Kettenregel
  Beachten Sie bitte das "Prinzip der hilfreichen 1":
  Während bei der Produkt- und Quotientenregel eine 0 addiert wird und diese dann durch einen Term mit dem Wert 0 ersetzt wird,
  wird bei der Kettenregel ein Bruch mit 1 erweitert und diese 1 wird dann durch gleiche Terme ersetzt.
• Generell gilt das "Prinzip der hilfreichen Zahlen":
  Ändert die Verknüpfung (=Rechnung) mit einer bestimmten Zahl nicht den Wert des Terms, so kann diese Zahl hinzugefügt werden und durch einen Term ersetzt werden, der den Wert dieser Zahl besitzt.
  Beispiele:
  
  • Addition mit 0
  • Subtraktion mit 0
  • Multiplikation mit 1
  • Division durch 1
  • Potenzieren mit 1
  • n*360° zum Argument eines sin, cos, tan addieren
• Wir kennen nun folgende erweiterte Ableitungsregeln:
  • Produktregel: 
     
  • Quotientenregel:
    
  • Kettenregel:
     

2007-09-10

• Besprechung der Hausaufgabe zum Thema Produktregel
  Dabei stellte sich heraus, dass Sie folgende Rechenregeln noch genauer befolgen (und ggf. auch übern) müssen:
  • Klammern multiplizieren: Jeder Summand in der ersten Klammer wird mit jedem Summanden in der zweiten Klammer multipliziert.
  • Addiert und subtrahiert werden dürfen nur Potenzen von Buchstaben, bei denen die Buchstaben und Hochzahlen übereinstimmen.
• Die Lösung der Hausaufgaben finden Sie hier.

2007-09-11

• Da viele Kursteilnehmer an einer Exkursion der Kunstkurse beteiligt waren, haben wir keinen neuen Stoff durchgenommen, sondern nur Aufgaben zur Kettenregel besprochen.
• Wir haben gesehen, dass auch mehrfach verkettete Funktionen abgeleitet werden können.
  Die Rechenregel "äußere Ableitung mal innere Ableitung" wird dabei jeweils auch auf den Term angewendet, der als innerer Term abgeleitet werden soll.
• Hausaufgaben: Seite 158/159 Aufgaben 2e, 3e, 4e, 5e

2007-09-14

• Im Zusammenhang mit der Besprechung der Hausaufgaben haben wir wiederholt, wie ein Bruch gekürzt wird:
  Der gesamte Zähler und der gesamte Nenner werden durch dieselbe Zahl dividiert.
  "gesamte" bedeutet: Bei Summen und/oder Differenzen im Zähler und Nenner muss jeder Summand durch dieselbe Zahl dividiert werden.
• 
  Auf Grund der Funktionsgleichung kann man unmittelbar Eigenschaften der gegebenen Funktion erkennen:
  • Wird für einen x-Wert der Zähler der Funktion zu 0, so hat die Funktion dort eine Nullstelle, d. h. der Graph der Funktion hat mit der x-Achse einen Punkt gemeinsam.
    Im Beispiel wird der Zähler zu 0, wenn eine der Klammern zu 0 wird, d. h. bei x=-2 und x=+3.
  • Wird für einen x-Wert der Nenner der Funktion zu 0, so hat die Funktion dort einen Pol oder eine Polstelle, d. h. sie hat keinen Funktionswert, weil man nicht durch 0 dividieren kann.
    Der Graph besitzt an einer solchen Stelle keinen Punkt. Links und rechts neben dieser Stelle nehmen die Beträge der Funktionswerte sehr große Werte an.
    Im Beispiel wird der Nenner zu 0, wenn eine der Klammern zu 0 wird, d. h. bei x=+1, x=-1 und x=-4.
• Auf dem GTR sah der Graph so aus, als hätte er bei x=0 ein Minimum.
  Hausaufgabe: Überprüfen Sie rechnerisch, ob das Minimum exakt bei x=0 liegt.
• Die Lösung der Hausaufgabe mit wichtigen Zusatzbemerkungen zum Lösen von Gleichungen finden Sie hier.

2007-09-17

• Neu kennengelernt bzw. wiederholt haben wir
  • : x geht gegen Unendlich, x wächst über alle Grenzen
  • Asymptote: eine Gerade, an die sich eine Kurve immer weiter annähert, ohne sie aber zu erreichen
• Die Funktion SOLVER auf dem TI-84 haben wir benutzt, um die Extrema der Funktion aus der letzten Stunde zu berechnen.
  Hinweise zu wichtigen Funktionen des TI-84 finden Sie hier.
• Hausaufgabe: Untersuchen Sie den Graph der Funktion   auf Nullstellen, Pole und Extrema.

2007-09-18

• 
  Die Vermutung, der Graph habe 3 Nullstellen und 2 Pole steht im Widerspruch zum Graphen, den der GTR zeigt.
  Kann man Klammern kürzen, sodass die Nullstellen des Zählers und nenners wegfallen, liegen keine Nullstellen oder Pole der Funktion vor, sondern Lücken, d. h. an jeweils genau einer Stelle ist der Graph unterbrochen. Im grob gezeichneten GTR-Bild sieht man diese Lücken aber nicht.
  Nach dem Kürzen vereinfacht sich der Funktionsterm zu 
  
  Aber Vorsicht: Die Stellen bei x=-7 und bei x=+1 sind nicht definiert, da ausschlaggebend der ursprüngliche Funktionsterm ist.
• Sind die Klammern im Nenner mit einer Hochzahl versehen, spricht man von mehrfachen Polstellen.
  Dazu die Hausaufgabe: Lassen Sie den GTR mehrere Funktionen der Art mit verschiedenen natrürlichen Zahlen n zeichnen und erforschen Sie, wie sich diese Zahlen auf den Verlauf der Graphen auswirken.

2007-09-21

• In den letzten Stunden wurde besprochen, woran man erkennt, ob ein Funktionsgraph Nullstellen und Polstellen hat:
  Wenn die Funktionsgleichung aus nur einem Bruch mit multiplizierten und dividierten Klammern besteht, liegen die Nullstellen bei den x-Werten, bei denen die Klammern im Zähler zu 0 werden und es liegen Polstellen bei den x-Werten, bei denen die Klammern im Nenner zu 0 werden.
• In dieser Stunde ging es darum, was es bedeutet, wenn eine der Klammern mit einer ganzen Zahl größer als 1 potenziert wird (bzw. wenn mehrere gleiche Klammern multipliziert werden).
  Entsprechende Nullstellen und Polstellen nennt man mehrfache Nullstellen bzw. mehrfache Polstellen. Ist die Zahl im Nenner z. B. eine 5, so liegt eine 5-fache Polstelle vor.
• Folgende Gesetzmäßigkeiten haben wir erkannt:
  • Nullstellen
    • bei geraden Nullstellen (der Exponent ist durch 2 zu teilen) berührt dier Funktionsgraph die x-Achse
    • bei ungeraden Nullstellen (der Exponent ist nicht durch 3 zu teilen) schneidet der Funktionsgraph die x-Achse
  • Polstellen
    • bei geraden Polstellen verläuft der Funktionsgraph an der Polstelle ins Unendliche. Auf beiden Seiten der Polstelle haben die Vorzeichen der Funktionswerte das gleiche Vorzeichen.
    • bei ungeraden Polstellen verläuft der Funktionsgraph an der Polstelle ebenfalls ins Unendliche. Auf beiden Seiten der Polstelle haben die Vorzeichen der Funktionswerte aber verschiedene Vorzeichen.
• Wenn Sie Schwierigkeiten haben, die Bedeutung von mehrfachen Polstellen und mehrfachen Nullstellen zu verstehen, solten Sie folgende interaktive GeoGebra-Arbeitsblätter ausprobieren:
  • mehrfache Nullstellen: Wie werden aus verschiedenen Nullstellen mehrfache Nullstellen?
  • mehrfache Polstellen: Wie werden aus verschiedenen Polstellen mehrfache Polstellen?
  • Nullstellen und Polstellen: Wie kann ich Nullstellen und Polstellen in einer Funktionsgleichung erzeugen? Wann gibt es bei einem Graphen Lücken? Wie sieht der Graph bei einer 27-fachen Polstelle aus? ...

2007-09-28

• Wiederholung zum Thema "Mehrfache Nullstellen und Pole". Mit dem Programm GeoGebra kann man sich  sehr gut ein "Bild" davon machen.
  Das Programm GeoGebra ist legal und kostenlos unter der Adresse http://www.geogebra.at aus dem Internet herunterzuladen.
• Definition des Begriffs "grad":
  Unter dem Grad des Zählers (geschrieben: grad(Z) ) und dem Grad des Nenners ( grad(N) ) eines Bruches versteht man die größte Hochzahl der Variable im Zähler bzw. im Nenner.
  Beispiele:
  grad(Z) = 5 ; grad(N) = 2
  grad(Z) = 10 ; grad(N) = 7 (wenn Zähler und nenner ausmultipliziert würden, hätten die x-Potenzen mit der größten Hochzahl die Hochzahlen 10 und 7
  grad(Z) = 0 ; grad(N) = 1/4
• Verhalten der Graphen von ganzrationalen Funktionen für betragsmäßig sehr große Werte (nicht auswendig lernen, sondern verstehen!):
  • grad(Z) < grad(N) : die x-Achse ist die Asymptote; die Funktionswerte gehen für gegen 0; der Nenner wächst stärker als der Zähler
  • grad(Z) = grad(N) : Dividiert man den Koeffizienten (= Vorzahl) der größten x-Potenz des Zählers durch den Koeffizienten der größten x-Potenz des Nenners, so ergibt sich eine Zahl c. Die waagrechte Gerade y = c ist die Asymptote der Kurve.; die Funktionswerte gehen für gegen c; der nenner wächst genau so stark wie der Zähler.
  • grad(Z) > grad(N) : die Funktionswerte gehen für gegen unendlich; der Zähler wächst stärker als der Nenner.
  • Sonderfall: grad(Z) = grad(N) + 1 : die Funktionswerte gehen so gegen unendlich, dass sich eine schräge Asymptote ergibt.
    Beispiel:
    Für sehr große x-Werte wird der rechte Bruch vernachlässigbar klein, es bleibt dann näherungsweise nur y = 3x-8 für die Funktion übrig. Das ist die Gleichung der Asymptoten, einer Gerade mit der Steigung 3 und dem y-Achsenabschnitt -8.
• Häufig kann man sich den Verlauf des Graphen einer Funktion gut vorstellen, wenn man sich den Graphen aus Teilfunktionen zusammengesetzt denkt.
  Beispiel: . Der rote Graph von f(x) setzt sich zusammen aus der grünen Gerade y = x-3 und der blauen Hyperbel y = 1/x.
  Man erhält die Funktionswerte der roten Kurve, indem man die Funktions-Werte der grünen und der blauen Kurve für den entsprechenden x-Wert addiert.
  

• Lösung der Hausaufgabe (über Nullstellen, Pole und Asymptoten)

2007-10-01

• Der GTR kann eine große Hilfe beim Untersuchen von Funktionen sein, man muss sich aber davor hüten, die angezeigten Ergebnisse kritiklos zu übernehmen.
  Wie haben zwei Beispiele behandelt, bei denen der Graph in "normaler" Auflösung wichtige Eigenschaften der Funktion verschweigt:
  • : Der GTR zeigt , es liegt aber keine doppelte Polstelle bei x=0 vor, wie man vielleicht vermuten könnte, sondern ein Maximum, wie folgenden GTR-Bild (herausgezoomt) zeigt: .
  • : Der GTR zeigt , es liegt aber keine Parabel vor, wie man vielleicht vermuten könnte, vielmehr sind in der Nähe von x=0 2 Pole vorhanden, wie das folgende GTR-Bild (hineingezoomt) zeigt: .
• Hausaufgabe: Seite 173 Aufgabe 5a Kurvendiskussion

2007-10-02

• Folgende Untersuchungspunkte können bei einer gebrochen-rationalen Funktion sinnvoll sein:
  • Definitionsbereich: Alle x-Werte, die man in die Funktion einsetzen kann.
    Häufig geht man so vor: Für welche x wird der Nenner zu 0? Diese x-Werte werden aus der Menge der reellen Zahlen herausgestrichen. Das, was übrig bleibt, ist der Dwefinitionsbereich.
    Vorsicht: Später werden wir noch andere Kriterien kennen lernen, die zu weiterem Ausschluss von x-Werten führen werden.
  • Globalverhalten: Wie verläuft die Kurve, wenn man sie von ganz weit weg betrachtet? Stichwort: Polynomdivision (auch wenns schwer fällt!)
  • Polstellen: Wo wird der Nenner zu 0? Siehe auch den Bezug zum Punkt Definitionsbereich.
  • Nullstellen: f(x) = 0
  • Extrema: f '(x) = 0. Falls zusätzlich f ''(x) > 0 : Minimum, f ''(x) < 0 : Maximum, f ''(x) = 0 : möglicherweise Sattelpunkt.
  • Wendepunkte: f ''(x) = 0. Falls zusätzlich f '''(x) > 0 : rechts nach links, f '''(x) < 0 : links nach rechts
  • Symmetrien: 
    • f(x) = f(-x) : Achsensymmetrie zur y-Achse
    • f(x) = -f(-x) : Punktsymmetrie zum Koordinatenursprung (0/0)
    • f(x) = f(-x+2u) : Achsensymmetrie zur senkrechten Gerade bei x=u
    • f(x) = -f(-x+2u)+2v : Punktsymmetrie zum Punkt (u/v)
    • Vorsicht: Die einfachen Rechenregeln "Achsensymmetrie zur y-Achse, wenn alle Hochzahlen gerade" und "Punktsymmetrie zu (0/0), wenn alle Hochzahlen ungerade", gelten nur bei ganzrationalen Funktionen, aber nicht mehr bei gebrochen-rationalen Funktionen! 
• Lösung der Hausaufgabe

2007-10-05

• Kurvenscharen besprochen. Ein Beispiel für die Untersuchung einer Kurvenschar finden Sie hier.
• Lösung der Hausaufgabe.

2007-10-12

• Zum Lösen ganzrationaler Gleichungen vom Grad n
  • Erläuterung zu den verwendeten Begriffen
    • Ganzrational ist ein Term dann, wenn er nur Potenzen von x enthält, die jeweils mit einer Konstanten multipliziert werden und dann addiert oder subtrahiert werden.
      Beispiel:
    • Ein Term ist das, was auf einer Seite einer Gleichung stehen kann.
    • Grad n gibt an, welche Hochzahl die größte in einem ganzrationalen Term ist. Der oben angegebene Term ist z. B. vom grad 4.
  • Gleichungen vom grad 1 kann man meistens durch einfaches Umformen der Gleichung lösen. Allgemeine Gleichung vom grad 1:
  • Gleichungen vom grad 2 löst man meistens mit der p-q-Formel, mit dem Satz von Vieta oder durch Raten. Allgemeine Gleichung vom grad 2: 
  • Für Gleichungen vom grad 3 gibt es eine Lösungsformel,die allerdings sehr unhandlich ist. Man braucht etwa eine DIN-A4-Seite, um die Lösung rechnerisch mit dieser Formel zu finden.
    Oft versucht man deshalb, eine Lösung x1 zu raten und dann den Gleichungsterm durch (x - x1) zu dividieren. Dann erhält man eine Gleichung 2. Grades (s. o.)
    Es gibt auch weitere numerische Methoden, wie z. B. das Newton-Verfahren.
    Allgemeine Form einer Gleichung 3. Grades:
  • Für Gleichungen vom grad 4 gibt es auch eine Lösungsformel,die allerdings noch unhandlicher als die für Gleichungen 3. Grades ist. Man benötigt etwa drei bis 4 DIN-A4-Seiten zur Lösung mit dieser Formel.
    Auch hier werden meist (falls man keinen Computer einsetzt) die oben beschriebenen alternativen Methoden benutzt.
    Allgemeine Form einer Gleichung 4. Grades:
  • Gleichungen von einem Grad, der größer als 4 ist, lassen sich nur in speziellen Fällen lösen. Eine allgemeine Lösungsformel gibt es nicht. Das ist endgültig bewiesen!
    Anmerkung: Ein "endgültig bewiesen" gibt es in der Mathematk, nicht aber in den Naturwissenschaften. Siehe dazu z. B. die Unterrichts-Einsichten des Physik-Kurses vom 30. August 2007.
    Siehe auch den Artikel über das Lösen von Gleichungen in Wikipedia.
• Um den Grad einer Polstelle ablesen zu können, muss erst der gesamte Nenner so weit wie möglich faktorosiert sein.
  Beispiel: Den Nenner muss man erst zu faktorisieren, um zu erkennen, dass bei x=2 und x=-1 Pole vom Grad 1 vorliegen.
• Hausaufgabe: Beenden der Kurvendiskussion einer Kurvenschar und Beenden der Anwendungsaufgabe (Verkauf von Bohrmaschinen).

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