Unterrichts-Einsichten  -  Schuljahr 2007/2008  -  Physik 11c

Trägheit und Impuls

2008-04-07

• Nach Aristoteles benötigt ein Körper einen bestimmten Impetus, um sich bewegen zu können. Ist dieser Impetus aufgebraucht, kommt der Körper zur Ruhe. 
• Newton dagegen ging im Trägheitsgesetz davon aus, dass ein Körper solange im Zustand der Ruhe oder der geradlinig gleichförmigen Bewegung bleibt, solange keine äußeren Kräfte auf ihn einwirken. Aus Erfahrung weiß man zwar, dass jeder Körper irgendwann zur Ruhe kommt. Der Widerspruch erklärt sich daraus, dass wir nahezu immer mit Reibung (an Luft, Gegenständen, usw.) bei Versuchen zu rechnen haben. 
• In einem kleinen Exkurs haben wir uns mit dem Ptolemäischen Weltbild und der Epizykeltheorie befasst. Siehe dazu auch diesen Link.
• Wir haben mehrere Versuche zur Trägheit gesehen, die auch auf dieser Seite gezeigt werden.
• Wie wirkt sich nun die Trägheit der Masse auf Bewegungen aus?
  Im Versuch haben wir gesehen, dass sich zwei Wagen gleicher Masse, die sich gegenseitig durch eine Feder abstoßen, mit gleicher Geschwindigkeit voneinander entfernen.
  Bei unterschiedlicher Masse dagegen verhalten sich ihre Geschwindigkeiten antiproportional zu den Massen.
  Es gilt dann also oder . Das Produkt aus der Masse m und der Geschwindigkeit v nennt man Impuls p.
• Hier noch zwei Links (Realismus, Idealismus) für die, die sich mit angesprochenen Frage beschäftigen wollen, ob die Welt wirklich existiert oder ob sie nur ein Produkt von Gedanken ist.

2008-04-08

• An Hand einiger Versuche an der Luftkissenfahrbahn haben wir gesehen: Die Impulse der Wagen vor dem Zusammenstoß ist gleich den Impulsen nach dem Stoß:
• Wenn nach dem Stoß die Wagen zusammen verbunden weiter fahren, vereinfacht sich die Gleichung zu

2008-04-14

• Es ist für die Impulsübertragung auf eine Wand wichtig, ob ein auftreffender Ball an der Wand kleben bleibt (z. B. durch Klettband gehalten) oder ob er elastisch reflektiert wird.
  Kleben: Der Impuls p des Balles wird auf die Wand übertragen.
  Elastische Reflexion: Zusätzlich wird durch den Rückstoß beim Zurückprallen ein Impuls derselben Größe auf die Wand übertragen, so dass die Wand insgesamt den Impuls 2p erhält.
• Soll der Impuls eines Körpers geändert werden, so ist dazu eine Kraft nötig. Wir haben als Zusammenhang zwischen Kraft und Impulsänderung folgende Proportionalitätgefunden:
  
  Hausaufgabe: Welcher Proportionalitätsfaktor c muss für die Gleichung gewählt werden?

2008-04-15

• Bekannt ist aus der Sek.I die Gleichung F=m·g, wobei g in der Einheit N/kg angegeben wird.
  Andererseits ist der Faktor g auch bekannt als "Erdbeschleunigung" mit der Einheit m/s².
  Wie ist das zu vereinen?
  Wir haben dazu einen kleinen Exkurs in die Relativitätstheorie unternommen und gesehen, dass z. B. nicht entschieden werden kann, ob man in einem von der Außenwelt abgetrennten Raum auf der Erde steht (es gilt der Ortsfaktor in der Einheit N/kg) oder ob man sich im leeren Weltraum in einer Rakete befindet, die mit der Beschleunigung a in der Einheit m/s² immer schneller wird.
  g ist also gleichzeitig ein Ortsfaktor als auch eine Beschleunigung.
• Wer einmal Physik in Comic-Form erklärt haben möchte, sollte unbedingt auf diese Seite gehen und sich dort z. B. das pdf-File "Alles ist relativ" herunterladen.
  Auch die anderen Comics des Physikers Jean-Pierre Petit sind sehens- und lesenswert!
• Zur Frage der letzten Stunde: Da man die Kraft über die Impulsänderung definiert, ist kein spezieller Proportionalitätsfaktor c notwendig (bzw. c=1).
  Es gilt also: .

2008-04-21

• Für konstante Massen kann man die Definition der Kraft aus der letzten Stunde etwas umschreiben:
  
  (exakt nur in der Schreibweise )
• Die nur bei konstanter Masse geltende Formel F=m·a nennt man "Grundgleichung der Mechanik"

2008-04-22

• Aufgaben zur Formel F=m·a
• Die Aufgabe zum Autounfall können Sie im Buch auf Seite 39 nachlesen.
• Hausaufgabe Seite 53 Aufgaben 6 und 7

2008-04-28

• Besprechung der Hausaufgabe
• Wer mehr über Frontalunfälle und andere unschöne aber auch schöne Experimente aus dem Bereich Physik/Technik sehen möchte, sollte unbedingt mal beim Kopfball-Podcast vorbeischauen.
  Beispielsweise bei der Sendung vom 2008-08-07 zum Thema "Crashtest mit 100 km/h"

2008-04-29

• Mehr über Kräfte:
• Gravitationskraft: F_G=m·g
  Alle Körper fallen gleich schnell, wenn Reibungseffekte vernachlässigt werden können. Beispiel: Fallröhre
  Siehe auch Galileis Gedankenexperiment zum freine Fall
• Zentripetalkraft: F_Z=m·v²/r
  Wir haben bei der Behandlung der Drehbewegung schon die Zentripetal-Beschleunigung a_z=v²/r kennen gelernt.
  Setzt man diese in der Newtonschen Bewegungsgleichung F=m·a ein, so erhält man die Zentripetakraft.
  Siehe auch die Simulation eines Kettenkarussels.
  Versuch und Auswertung zur Zentripetalkraft.
• Addition verschiedener Kräfte und Zerlegung einer Kraft in Teilkräfte
  Großartige Linksammlung zum Selbstlernen

2008-05-05

• Mehr über Kräfte:
• Kraft und Gegenkraft
  Zu jeder Kraft existiert in einem abgeschlossenen System eine gleich große Gegenkraft
  Beispiel: Wenn meine Gewichtskraft auf den Fußboden wirkt, dann wird dieser, auch wenn es ein noch so fester Boden sein sollte, ein wenig eingedrückt und übt durch seine Elastizität eine Kraft nach oben auf mich aus. Weitere Beispiele: 1 2 3 4
• Reibungskraft
  Wir haben gesehen: Die Reibungskraft ist abhängig von der Gewichtskraft, aber unabhängig von der Auflagefläche (Amontonssche Gesetze).

2008-05-06

• Die Bewegung eines Körpers bei Aristoteles, Galilei und Newton
• Zum Begriff Axiom (wir sprachen von den "Newtonschen Axiomen") hier weitere Unterlagen zum Parallelenaxiom (interesssant auch die weiter führenden Links!) in der Mathematik.
• Wir haben den Begriff "Arbeit" wiederholt. Achtung: In der Physik versteht man unter Arbeit etwas anderes als in der Umgangssprache!
  Arbeit beim Anheben einer Masse: W=m·g·h
• Ein Körper, der in Bewegung ist, besitzt Energie (=gespeicherte Arbeit). Wir haben einen Versuch durchgeführt, der zeigen soll, wie die Höhe eines gehobenen Körpers von der Geschwindigkeit, die er beim Herabfallen gewinnt, abhängt.
  Hausaufgabe: Versuchsauswertung 
• h =   5,0 cm          t = 0,0066 s / 0,0064 s / 0,0069 s
• h =   7,5 cm          t = 0,0057 s / 0,0055 s / 0,0056 s
• h = 10,0 cm          t = 0,0047 s / 0,0049 s / 0,0048 s
• h = 12,5 cm          t = 0,0043 s / 0,0043 s / 0,0043 s

2008-05-19

• Auswertung der Messreihe aus der letzten Stunde:
• Ziel der Auswertung: Es soll eine funktionale Beziehung zwischen der Start-Höhe h und der erreichten Geschwindigkeit v gefunden werden.
  Da für den Messvorgang (Stab mit dem Durchmesser d=0,52 cm unterbricht eine Lichtschranke, mit der die Verschlusszeit t gemessen wird) die Geschwindigkeit als konstant angenommen werden kann, gilt v=d/t. Es gilt also v~1/t. So ist das v in der folgenden Tabelle zu verstehen.
• Übernahme der Messwerte in die Tabellenkalkulation:
• Tabelle markieren und kopieren, dann in Calc "Bearbeiten > Inhalte einfügen... > unformatierter Text" wählen.
• Es erscheint das Fenster
  
  Hier werden alle Zeichen, die nicht interessieren, als Trennzeichen unter "Andere" eingetragen.
• Es ergibt sich die Tabelle (nach Löschen einiger leerer Spalten)
  
• Mit "Format > Zellen... > Zahlen > Nachkommastellen" werden die verdeckten Zahlenwerte sichtbar gemacht.
  In E2 fügt man mit dem Befehl  =Mittelwert(B2:D2)  den Mittelwert der Zeiten in B2, C2 und D2 ein.
  Diese Formel wird dann nach unten kopiert.
  Mit v=1/t und der Formel =1/E2 in der Zelle F2 erhält man in F2 eine Information über den v-Wert. Formel wieder nach unten kopieren.
  
• Stelle man Spalte A und Spalte F in einem x-y-Diagramm dar, so erhält man (mit linearer Regression) folgende Information:
  
  Die Mess-Punkte liegen zwar alle auf der Gerade, aber der Punkt (0/0) muss mit zu der Kurve gehören (bei Höhe 0 ist auch die Geschwindigkeit 0).
• Fügt man dagegen eine Zeile mit h=0 und v=0 ein und trägt h und v² gegeneinander auf, so ergibt sich eine Gerade mit dem Punkt (0/0), es gilt also h~v².
  
• Was man aus der Beziehung h~v² folgern kann, werden wir in der nächsten Stunde sehen.

2008-05-20

• Wird die gefundene Proportionalitätsgleichung h~v^₂ durch eine variable Masse m erweitert zu m·h~m·v², so kann auf einer Seite ein beliebiger konstanter Faktor hinzugefügt werden. Die Proportionalität bleibt dabei erhalten: m·g·h~m·v². 
  Wird diese Proportionalitätsgleichung zu einer Gleichung gemacht, muss noch ein Proportionalitätsfaktor z ergänzt werden: m·g·h=z·m·v².
• Links steht nun die potentielle Energie, rechts damit ebenso eine Energie, die wegen der Geschwindigkeit im Term kinetische Energie genannt wird.
  Wir haben gesehen, dass bei maximaler potentieller Energie die kinetische Energie gleich 0 ist und dass bei maximaler kinetischer Energie die potentielle Energie gleich 0 ist und dass sich die Energeien immer ineinander umwandeln.
  Folglich muss die gefundene Gleichung stimmen, wenn wir die maximale potentielle Energie und die maximale kinetische Energie einsetzen.
• Die Werte zur Rechnung und zur Bestimmung der Konstanten z entnehmen wir dem Versuch mit der Pendelkugel aus dem Unterricht.
  

  196mm => Nullpunkt
  Masse: 2,51 N
  Durchmesser: 34mm
  FG = m * g
  Höhe	T1	T2	T3	Durchschnitt t1-3
  196	∞	∞	∞	∞
  204	0,0667	0,0667	0,0661	0,0665
  220	0,0425	0,0426	0,0435	0,0429
  225	0,0390	0,0399	0,0394	0,0394
  238	0,0335	0,0333	0,0335	0,0334
  265	0,0244	0,0248	0,0271	0,0254
  295	0,0222	0,0221	0,0200	0,0214
  300	0,0207	0,0219	0,0208	0,0211
  339	0,0192	0,0179	0,0184	0,0185

2008-05-26

• Die Versuchsauswertung ergibt einen Wert z=0,39.
• Da sich beim Pendelversuch die Werte für die potentielle Energie und die kinetische Energie immer vollständig austauschen, müsste eigentlich ein Wert z=1/2 errechnet werden. Auf eine genauere Fehleranalyse haben wir aber verzichtet.
• Folgende Energieformen haben wir kennen gelernt:
• Potentielle Energie: E_Pot = m·g·h
• Kinetische Energie: E_Kin = 1/2·m·v²
• Spannenergie: E_Sp = 1/2·D·s²
• Zu beachten ist die Strukturgleichheit der Formeln bei der kinetischen und der Spannenergie. Wir werden später weitere Energien mit dieser Formelstruktur behandeln.
• Viele physikalische Rechnungen kann man sehr einfach ausführen, wenn man die beteiligten Energien vergleicht:
  Zur Berechnung der Geschwindigkeit im unteren Punkt bei der schiefen Ebene oder beim freien Fall mussten wir bislang Gleichungssysteme mit Bewegungsgleichungen lösen.
  Das geht jetzt einfacher:

2008-05-27

• Energieerhaltungssatz
  Energie geht nicht verloren und entsteht nicht aus dem Nichts.
  Energie einer Energieform kann in andere Energieformen umgewandelt werden.
  Zu jeder Zeit ist die Summe aller beteiligten Energieformen konstant.
• Beispiel dazu:
  Ein Körper fällt in freiem Fall und erreicht eine Endgeschwindigkeit von 10m/s.
  Wie groß war die Geschwindigkeit nach halber Fallstrecke?
  Lösung:
  Die Größen zu Beginn des Fallvorgangs werden mit Index 0, die bei halbem Fall mit Index 1 und die nach dem Fallvorgang mit Index 2 geschrieben.
  Es gilt: E_0,pot = E_2,kin. Also: m·g·h₀ = 1/2·m·v₂² oder h0 = v₂²/(2·g)  und wegen h₁ = 1/2·h₀ gilt h1 = v₂²/(4·g)
  Gesamtenergie auf halber Höhe ist gleich der Energie ganz unten: m·g·h₁ + 1/2·m·v₁² = 1/2·m·v₂² .
  Daraus folgt 2·g·h₁ + v₁² = v₂² oder v₁² = v₂² - 2·g·h₁ = v₂² - 2·g·v₂²/(4·g)  =  v₂² - v₂²/2 = v₂²/2.
  Es ergibt sich 

2008-06-02

• Elastischer Stoß
  Beim zentralen elastischen Stoß (andere Bedingungen behandeln wir nach der Arbeit) bewegen sich die Schwerpunkte zweier punktförmiger Körper auf einer Geraden.
  Die Körper stoßen zusammen und bewegen sich danach einzeln weiter.
  Wir haben im Unterricht einen Sonderfall durchgerechnet:
  Masse m₁ bewegt sich mit der Geschwindigkeit v₁ auf die ruhende Masse m₂ zu. Dabei soll die Masse m₂ doppelt so groß sein wie die Masse m₁, also m₂=2·m₁
  Wir gehen vom Energieerhaltungssatz und vom Impulserhaltungssatz aus:
  
  2. Gleichung nach  v₁' auflösen und v₁' in die 1. Gleichung einsetzen:
  
  Für den Fall  v₂' ungleich 0 gilt
  
  Die Masse m₁ bewegt sich also mit einem Drittel ihrer Geschwindigkeit zurück, während die Masse m₂ sich mit zwei Drittel der Geschwindigkeit der Masse m₁ nach vorn bewegt.
  Falls v₂' gleich 0 ist, gilt v₁ = v₁', d.h. die Massen treffen sich nicht, sondern fliegen aneinander vorbei.
• Hausaufgabe: Entsprechende Rechnung mit gegebenen Werten: m₁=2kg, m₂=6kg, v₁=2m/s, v₂=-1m/s

2008-06-03

• Wiederholung zur Klausur.
  In der Arbeit werden u.a. Themen zum Wurf und freien Fall, zur Kreisbewegung, zur Newtonschen Bewegungsgleichung und zum Impuls- und Energieerhaltungssatz vorkommen.
• Hier die Lösung der Hausaufgabe: Gegeben m₁=2kg, m₂=6kg, v₁=2m/s, v₂=-1m/s; gesucht  v₁' und  v₂'.
  
  
  
  
  
  Daraus folgt
  Die Lösung v₁'=2 und v₂'=-1 ist uninteressant, weil dabei die Massen aneinander vorbei geflogen sind (die Geschwindigkeiten haben sich nicht geändert).
  Nach dem Stoß gilt also v₁'=-2,5 und v₂'=0,5; Einheit jeweils m/s.

2008-06-09

• Klausur 2

2008-06-10

• Wir sind der Frage nachgegangen, aus welcher Höhe man bei einer Achterbahn losfahren muss, wenn man einen Looping sicher durchfahren will.
     
  Im linken Bild ist h zu klein, da die potentielle Energie zu Beginn nicht ausreicht, um den Wagen auf die Höhe d zu bringen.
  Im mittleren Bild reicht die Energie zwar aus, um die Höhe zu erreichen, dafür hätte der Wagen aber oben im Looping die Geschwindigkeit 0 und würde abstürzen, wenn er nicht irgendwie an der Bahn gehalten würde.
  Im rechten Bild könnte die Höhe ausreichen, da zusätzlich zur potentiellen Energie auf dem Höhepunkt der Bahn im Looping auch noch Bewegung vorhanden ist, so dass auf Grund der Zentrifugalkraft der Wagen an die Schienen gedrückt wird.
  Zur genauen Berechnung der Mindeststarthöhe siehe folgende Rechnung:
• Zu Beginn (1) hat der Wagen der Masse m die Geschwindigkeit v₁=0. Die potentielle Energie beträgt E₁=E_pot,1=m·g·h.
  Am untersten Punkt der Bahn (2) besitzt der Wagen die Geschwindigkeit v₂ und die Energie E₂=E_kin,2=1/2·m·v₂².
  Am obersten Punkt des Loopings (3) hat der Wagen die Geschwindigkeit v₃ und die Energie E₃=E_pot,3+E_kin,3=m·g·d+1/2·m·v₃² und es gilt F_G=F_Z oder m·g=m·v²/r mit v=v₃ und r=d/2.
  Aus der Kräftegleichung ergibt sich m·g=m·v₃²/(d/2) oder v₃²=g·d/2.
  Dieses Ergebnis wird in die Energiegleichung E₁=E₃ oder m·g·h=m·g·d+1/2·m·v₃² eingesetzt: m·g·h=m·g·d+1/4·m·g·d.
  Division durch m·g: h=d+1/4·d=5/4·d=1,25·d.
  Die Höhe muss also mindestens das 1,25-fache betragen wie der Durchmesser des Loopings.
• Wichtig ist in physikalischen Gleichungen oft das, was nicht da steht: In diesem Fall sind das die Größen m und g.
  Es ist also völlig gleichgültig, welche Masse der Wagen hat und auf welchem Himmelskörper die Achterbahn steht, die Abfahrtshöhe muss immer mindestens das 1,25-fache des Looping-Durchmessers betragen.

2008-06-16

• Zur Rechnung in der letzten Stunde: So ganz stimmt das Ergebnis noch nicht, denn beim Lauf der Kugel im Looping dreht sich diese um die eigene Achse.
  Dadurch führen die Massenteile zusätzlich zur Translationsbewegung auch noch eine Drehbewegung durch.
  Zur Bewegungsenergie E_Kin=1/2·m·v² der Translation kommt also noch eine Energie E_Roll hinzu.
  Jeder Massepunkt m_i hat dabei entsprechend seinem Radius r_i die Bewegungsenergie E_Roll,i=1/2·m_i·v_i²=1/2·m_i·r_i²·ω^₂.
  Alle diese Energien müssen nun addiert werden, was bei manchen Körpern einigen Rechenaufwand bedeutet.
  In allen Teilsummen tauchen die Faktoren 1/2 und ω^₂ auf. Diese klammert man aus und behält m₁·r₁²+m₂·r₂²+m₃·r₃²+m₄·r₄²+... übrig, kürzer geschrieben als .
  Diese Summe nennt man Trägheitsmoment.
• Im Versuch haben wir zwei Walzen gleicher Größe und gleicher Masse rollen lassen, eine Walze aus Metall, bei der die ganze Masse am Rand vorhanden war und eine Walze aus Holz, bei der die Masse über den ganzen Innenraum verteilt war. Die Holzwalze rollte eine schiefe Ebene schneller herunter als die Metallwalze.
• In der nächsten Stunde besprechen wir, welche Trägheitsmomente die beiden Walzen haben und welchen Einfluss die Trägheitsmomente auf die Energien der Walzen haben.

2008-06-23

• Besprechung und Rückgabe der Klausur 2

2008-06-24

• Nach Ptolemäus befand sich die Erde im Mittelpunkt der Welt. Alle anderen Gestirne umkreisen die Erde.
  Dass die Planeten vor dem Hintergrund des Fixsternhimmels scheinbar nicht auf Kreisbahnen laufen, sondern kompliziertere "Bewegungen" vollführen (Schleifenbahnen),versuchte Ptolemäus dadurch in den Griff zu bekommen, indem er annahm, dass die Planeten auf der eigentlichen Kreisbahn noch auf kleineren Kreisbahnen umlaufen (ähnlich wie beim Karussell "Krake").
  Mit dieser Epizykeltheorie konnten zwar die Bahnen der Planeten vorhergesagt werden, die mathematischen Berechnungen waren aber sehr umständlich.
• Bei Kepler steht die Sonne im Mittelpunkt des Sonnensystems. Kepler fand (neben vielen anderen wichtigen und unwichtigen Dingen, siehe Link) folgende 3 "Gesetze" (besser "Gesetzmäßigkeiten") heraus:
  1. Die Planeten bewegen sich um die Sonne auf Ellipsenbahnen (Ellipsen gehören übrigens zu den Kegelschnitten), wobei die Sonne in einem Brennpunkt der Ellipse steht.
  2. Die Verbindungslinie Sonne-Planet überstreicht in gleichen Zeiten gleiche Flächen. Daraus folgt, dass sich bei Sonnenferne die Planeten langsamer bewegen als bei Sonnennähe. Unser Sommerhalbjahr (der Sommer der nördlichen Hemisphäre) ist wegen der dann herrschenden Sonnenferne um etwa 10 Tage länger als unser Winterhalbjahr.
  3. Aus genauen Beobachtungen fand Kepler heraus, dass die Quadrate der Umlaufzeiten der Planeten proportional zu den Kuben (=hoch 3) der großen Halbachsen (so etwas wie Radien) der Ellipsen sind, als Formel: T²~a³.
• Kepler beschrieb das Verhalten der Planeten, Newton suchte nach Ursachen für die Bahnkurven und fand Gesetzmäßigkeiten über die Anziehungskräfte zwischen Massen heraus. Deshalb ist nach Newton das Gravitationsgesetz benannt, das die Kraftwirkung zwischen zwei Massen beschreibt. Beachten Sie, dass die 1/r²-Abhängigkeit bei allen Kraftgesetzen auftaucht, bei denen eine Kraft radial mit dem Abstand abnimmt, z.B. beim Coulombschen Gesetz, das die Kraft zwischen zwei Ladungen beschreibt.