Unterrichts-Einsichten  -  Schuljahr 2007/2008  -  Physik 11c

Beschleunigte Bewegungen

2007-10-08

• Sind zwei physikalische Größen a und b proportional zueinander, schreibt man a ~ b.
  Diese Proportionalitätsgleichung kann man auch als Gleichung schreiben. Dazu muss aber die eine Seite mit einem Faktor multipliziert werden: a = c · b.
  Der Faktor c beschreibt physikalisch immer eine wichtige Eigenschaft des untersuchten Vorganges. Beispiele:
  • Hookesches Gesetz: F ~ s ; F = D · s ; D ist die Federhärte der Schraubenfeder
  • Ohmsches Gesetz: U ~ I ; U = R · I ; R ist der Widerstand im Stromkreis.
  • Masse und Gewichtskraft: F ~ m ; F = g · m (meistens schreibt man F = m · g) ; g ist der Ortsfaktor
• Ändert sich der Weg s proportional zur Zeit t, d. h. s ~ t, so kann man das als Gleichung mit einem konstanten Faktor v schreiben: s = v · t . v ist dabei die Geschwindigkeit.
  Entsprechend der aus der Mathematik bekannten Gleichung y = m · x (Ursprungsgerade) ergibt sich auch für die Gleichung s = v · t im t-v-Diagramm eine Ursprungsgerade. Die Steigung m gibt dabei die Größe der Geschwindigkeit an. Je steiler die Gerade verläuft, desto schneller ist die Geschwindigkeit.
• Bei einer Geraden kann man die Steigung überall an der Gerade mit Hilfe eines Steigungsdreiecks bestimmen (aus der Mathematik als bekannt).
  Hier erhalten wir als Definitionsgleichung für die Geschwindigkeit: .
• Bei der schneller werdenden Bewegung (man spricht von beschleunigter Bewegung) wächst der pro festem Zeitraum zurückgelegte Weg mit der Zeit an.
  Als Graph ergibt sich also keine Ursprungsgerade.
  Hausaufgabe: Mit Viana den Graphen von v im t-v-Diagramm untersuchen und mit OOo-Calc die Durchschnittsgeschwindigkeiten berechnen.

2007-11-20

• Beim Versuch mit der Kugel, die eine Neigung hinabrollt (Video) haben wir folgende Diagramme erhalten:
  
  Beim t-x-Diagramm erhalten wir eine gekrümmte Linie. Hier sind die Messpunkte jeweils miteinander verbunden.
  
  
  Das t-v-Diagramm der Bewegung zeigt einen linearen Verlauf. Zur Verdeutlichung ist eine Ausgleichsgerade eingezeichnet.
  Die "Ausreißer"-Messpunkte im unteren Bereich kommen durch einen Fehler der Kamera zustande: Einzelne Bilder wurden verschluckt.
  Was bedeutet nun physikalisch das Auftreten dieser Gerade?
• Zur Erinnerung:
  Bei einer Bewegung mit konstanter Geschwindigkeit ergibt sich in einem t-s-Diagramm eine Gerade.
  Die Steigung dieser Gerade gibt die Geschwindigkeit an: Je steiler die Gerade, desto größer die Geschwindigkeit.
  Berechnung der Steigung v :  (Durchschnittsgeschwindigkeit) oder mit Hilfe der Differentialrechnung:  (Momentangeschwindigkeit).
• Im Versuch aus dem Unterricht ergibt sich nun im t-v-Diagramm eine Gerade. Die Steigung nennt man hier Beschleunigung a. Der Wert gibt an, wie ein Gegenstand schneller wird. Je größer a, in desto kürzerer Zeit wird der Körper schneller.
  Berechnung der Beschleunigung a: (Durchschnittsbeschleunigung) oder mit Hilfe der Differentialrechnung:
• Die Steigung der Gerade im oben abgebildeten Graph beträgt etwa
  Das t-a-Diagramms wird auch vom Auswerte-Programm Viana angefertigt. Es wird eine Ausgleichskurve durch die Punkte gelegt, die stark gegelättet wurde.
  
  Man erkennt, dass a konstant ist und einen Wert hat, der etwas kleiner als 0 ist. Der Wert -0,2 lässt sich aber durch diese Abbildung nichtbestätigen.
• Wir haben gesehen, dass mit Hilfe der Differentialrechnung geschrieben werden kann: 
  Hausaufgabe: Was für eine mathematische Funktion steckt dann wohl hinter dem Graphen im t-s-Diagramm?

2007-11-26

• Lösung der Hausaufgabe: Da und da v = a · t, wird eine Funktion gesucht, die abgeleitet a · t ergibt. Es ist dies .
• Wir haben so alle Bewegungs-Gleichungen für die konstant beschleunigte geradlinige Bewegung kennengelernt:
  
  Mit einer Aufgabe haben wir den Umgang mit diesen Gleichungen ausprobiert.
• Neue Hausaufgabe: Auswertung der Videoauswertung mit Hilfe der Bewegungsgleichungen. Ziel: Funktionsgleichung für s(t) finden.

2007-11-27

• Wir haben gesehen, wie die Beschelunigung a aus den t-v- und t-s-Diagrammen ermittelt werden kann (Steigung im t-v-Diagramm, im t-s-Diagramm gibt s/t² die Hälfte des Beschleunigungswerts a an).
• Am Ende der Stunde haben wir noch eine Messreihe mit eine größeren Beschleunigung aufgenommen: Eine Kugel wird aus unterschiedlicher Höhe fallen gelassen. Wir haben die Höhe beim Abwurf, die Höhe beim Auftreffen und die Zeit für den freien Fall gemessen (siehe Tabelle).
  Werten Sie bitte die Messreihe mit Cassy-Lab oder mit OOo-Calc aus.
  

2007-12-03

• Auswertung des Versuchs mit OOo-Calc (als Datei):
  
• Auswertung des Versuchs mit Cassy-Lab (als Datei):
  
• In der Calc-Tabelle erscheint im unteren Diagramm eine Gerade. Warum?
  • Eine Kurve der Art  soll gezeichnet werden.
    Trägt man waagrecht t und senkrecht s auf, ergibt sich wie gewohnt eine Parabel.
  • Fasst man dagegen t² nicht als das Produkt t·t, sondern als eine selbstständige Variable auf und trägt waagrecht t² und sebnkrecht s ab, so ergibt sich, weil s~t², eine Gerade.
    Der Proportionalitätsfaktor ist hier und kann durch Auswertung der Steigung der Gerade bestimmt werden. 
  • Probieren Sie es aus!

2007-11-04

• In diesem Schuljahr haben wir die Bewegungsgleichungen für zwei Bewegungsarten kennengelernt:
  • Geradlinig gleichförmige Bewegung (konstante Geschwindigkeit):
    
  • Gleichförmig beschleunigte Bewegung (konstante Beschleunigung):
    
    Sonderfall für die beschleunigte Bewegung: Freier Fall mit 
• Mit Hilfe dieser Gleichungen kann man viele Vorgänge im täglichen Leben zahlenmäßig erfassen.
  Wir haben u.a. als Beispielaufgabe das Bremsen vor einer Ampel besprochen.
• Wichtig ist beim Lösen dieser Art Aufgaben:
  • Erst eine Zeichnung anfertigen, um die Zusammenhänge besser erfassen zu können
  • Genau überlegen, welche Art Bewegung vorliegt: konstante Geschwindigkeit oder konstante Beschleunigung.
    Dann bei der Rechnung nur die Gleichungen nehmen, die zu der richtigen Bewegungsart gehören!
  • Erst die Gleichungen mit den Buchstaben umformen und noch nicht sofort die Werte einsetzen.
    Ganz zum Schluss Werte einsetzen und ohne Zwischenergebnisse und Rundungen das Ergebnis berechnen.
  • Immer auch die Einheiten beachten, überprüfen und angeben!

2007-12-10

• Vorbereitung zur morgen stattfindenden Klausur.
• Speziell wiederholt haben wir 
  • Bezugssysteme
  • Fehlerrechnung
  • Bestimmung der Gleichung einer Parabel aus ihrem Graphen.
• Bitte diese Punkte und den restlichen Stoff an Hand der Aufzeichnungen auf dieser Seite und im Buch wiederholen. Und dann viel Erfolg bei der Arbeit!

2007-12-11

• Klausur 1

2007-12-17

• Den Film zum waagrechten Wurf finden Sie unter der Adresse http://www.elsenbruch.info/ph11_kinematik.htm.
  Suchen Sie auf der Seite nach "Video Vergleich freier Fall mit horizontalem Wurf"
• Wir haben (hoffentlich) gesehen:
  Bewegungen in waagrechter und senkrechter Richtung überlagern sich ungestört.
  In einem geeigneten Bezugssystem kann man erkennen, dass beide Bälle zur gleichen Zeit auf der Erde auftreffen müssen:
  • Ich falle in Gedanken mit den Bällen mit. Dann spüre ich die Erdanziehungskraft nicht mehr und die Bälle befinden sich beide immer seitlichvon mir.
  • Ich bewege mich halb so schnell wie der zur Seite geschleuderte Ball. Dann sehe ich beide Bälle vollkommen symmetrisch zu mir herunterfallen.
• Die Bewegungsgleichungen für den zur Seite geschleuderten Ball haben wir am Ende der Stunde noch erstellt: x = v · t und y = 1/2 · g · t²

2007-12-18

• Mit den Bewegungsgleichungen, die wir in der letzten Stunde gefunden haben, können wir die Gleichung der Kurve berechnen, auf der sich ein waagrecht abgeworfener Körper bewegt:
  
  Es ergibt sich also eine Parabelgleichung. Ein Körper, der waagrecht abgeworfen wird, wird also auf einer Parabelbahn zu Boden fallen (falls man von reibungseffekten absieht).
• Wir haben mehrere Rechen-Übungen mit dieser Formel durchgeführt.

2008-01-07

• Rückgabe der Klausur 1
• Wiederholung bzw, Kurzeinführung: Hebel und Drehmoment

2008-01-08

• Besprechung der Zeugnisnoten
• Die bekannten Gesetzmäßigkeiten der Kräfte-Addition mit Hilfe von Pfeilen/Vektoren kann man auch auf Geschwindigkeiten übertragen.
  Ganz allgemein kann man alle Größen in der Physik, die sich als Vektor darstellen lassen, genau so wie bei der Kräfteaddition addieren.
• Eine Anwendung dieser Gesetzmäßigkeit erfolgt in der gestellten Aufgabe:
  Von einem 10m hohen Haus schieß man einen Pfeil waagrecht mit der Geschwindigkeit 108 km/h ab.
  a) Wie weit vom Haus entfernt trifft der Pfeil auf dem Erdboden auf?
  b) Mit welcher Geschwindigkeit trifft der Pfeil auf?
  c) Unter welchem Winkel trifft der Pfeil auf?
  Reibung und andere "störenden" Einflüsse werden vernachlässigt. g=10m/s²

2008-01-21

• Besprechung der Hausaufgabe. Die Lösung finden Sie unter Materialien.

2008-01-22

• Wir haben gesehen, dass die Wahl des Koordinatensystems zur Lösung der Aufgabe im Prinzip beliebig ist, dass geeignete Koordinatensysteme aber die Rechenarbeit sehr erleichtern können.
• Anwendung als Hausaufgabe: Ein Badegast springt von einem 5m-Brett ins Wasser. Da ihm die Höhe nicht hoch genug ist, springt er vom Brett mit v=1m/s senkrecht in die Luft und fällt dann ungehindert (wo das Sprungbrett geblieben ist, bleibt ein Geheimnis) bis ins Wasser.
  Berechnen Sie die Zeit, die der Springer nach seinem Absprung in der Luft verbringt.
  Überlegen Sie zunächst, wie Sie Ihr Koordinatensystem wählen.

2008-01-28

• Die Mehrheit der Klasse hatte Schwierigkeiten, die Hausaufgabe zu lösen.
  Merken Sie sich bitte folgende Bearbeitungspunkte. Dann sollte einer Lösung eigentlich nichts mehr im Wege stehen:
• Bewegungsgleichungen aufschreiben (oder im Gedächtnis haben oder in der Formelsammlung sehen)
• s = v · t  (geradlinig-gleichförmige Bewegung: v = const.)
• s = 1/2 · a · t² (beschleunigte Bewegung: a = const.)
• v = a · t   (beschleunigte Bewegung: a = const.)
• auflisten, was gegeben und was gesucht ist
• Zeichnung anfertigen
• Koordinatensystem festlegen
• Bewegungsgleichungen für die x- und für die y-Richtung ermitteln
• Durch Umformungen, Werte-Einsetzen und Vereinfachen die Lösung der Aufgabe berechnen
• Die Bewegungsgleichungen für die Hausaufgabe zu dieser Stunde waren
  x = 0
  y = h + v₀ · t - 1/2 · g · t²
  h = 5 m ; v₀ = 1 m/s ; y = 0 (Nullpunkt direkt unter dem Männchen auf der Wasseroberfläche)
• Hausaufgabe:
  Zwei Bälle werden vom selben Punkt abgeworfen, der eine mit der Geschwindigkeit 1 m/s genau senkrecht nach oben, der andere mit der Geschwindigkeit 1 m/s genau senkrecht nach unten.
  Wie hängt der Abstand der beiden Bälle von der Zeit ab?
• Wenn der Abstand größer wird, wie groß ist er dann nach 10 s und wo befinden sich dann die Bälle?
• Wenn der Abstand gleich bleibt, wie groß ist dann der Abstand?
• Wenn der Abstand kleiner wird, wo und wann treffen die beiden Bälle zusammen?

2008-01-29

• Lösung der Hausaufgabe (nur Lösungsskizze, Rechnungen ohne Einheiten)
  Die Bewegung findet nur in y-Richtung statt.
  1. Ball: y₁ = v₀ · t - 1/2 · g · t² = t - 5 · t²
  2. Ball: y₂ = v₁ · t - 1/2 · g · t² = -t - 5 · t²
  Δy = y₁ - y₂ = (v₀ · t - 1/2 · g · t²) - (v₁ · t - 1/2 · g · t²) = v₀ · t - v₁ · t = (v₀ - v₁)· t = (1 - (-1)) · t = 2 · t
  Der Abstand wird also proportional zur Zeit größer. Nach 10 s beträgt der Abstand 2 · 10 m = 20 m.
  y₁ (10) = 10 - 5 · 100 = -490
  y₂ (10) = -10 - 5 · 100 = -510
  Die Bälle befinden sich also 490 m und 510 m unter dem Abwurfpunkt.
• Hausaufgabe:
  Ein Fußball wird mit der Geschwindigkeit 20 m/s unter einem Steigungswinkel von 30° vom Erdboden aus abgeschossen.
  Welche maximale Höhe erreicht der Ball und in welcher Entfernung trifft er auf dem Boden auf, wenn man von Luftwiderstand und Reibung absieht?
  

2008-02-04

• Besprechung der Hausaufgabe
  Hier die Lösung
• Hausaufgabe zur nächsten Stunde:
  Ein Ball liegt genau 20 m vor einer Garage. Die Garage ist 10 m lang und 3 m hoch (Flachdach). Der Ball wird nun mit der Geschwindigkeit 30 m/s unter dem Winkel α abgeschossen.
  Berechnen Sie, wie groß der Winkel sein darf, damit der Ball hinter der Garage auf dem Erdboden landet. (Keine Reibung, kein Wind,...)

2008-02-05

• Besprechung eines Teils der Hausaufgabe. Bitte zur nächsten Stunde beenden!
• Einige Tipps, die man sich ruhig auch für andere Fälle merken sollte:
• Kommen trigonometrische Funktionen wie sin, cos und tan in einer zu lösenden Gleichung vor, sollte man zunächst versuchen, so umzuformen, dass nur noch eine dieser Funktionen vorkommt. Für diese Funktion kann dann eine Substitution gewählt werden wie z. B. z = cos α.
• Hilfreich für die Umformungen sind die Beziehungen  sin² α + cos² α = 1  und  sin α / cos α = tan α
• Im Unterricht lernen wir nur, wie lineare Gleichungen (x hat die größte Hochzahl 1) und quadratische Gleichungen (x hat die größte Hochzahl 2)gelöst werden.
  Lösungsformeln gibt es auch für Gleichungen 3. Grades und 4. Grades.
  Aber auch Gleichungen höheren Grades können in bestimmten Fällen leicht gelöst werden.
  Dazu gehören die biquadratischen Gleichungen wie z. B.  x⁶ - x³ - 1 = 0 . Mit der Substitution z = x³ ergibt sich hier die leicht lösbare Gleichung z² - z - 1 = 0  .

2008-02-11

• Schlussbesprechung zur Aufgabe aus der letzten Stunde.
  Lösung der Aufgabe

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