Unterrichts-Einsichten  -  Schuljahr 2007/2008  -  Mathematik 10c

Wachstum und Rekursion


2008-04-30

• Auf Seite 167 im Buch steht (näherungsweise) folgende Abbildung:
       
  Mit Klick auf das Bild könnt Ihr Euch ein Delphi-Programm herunterladen, mit dem auch andere Schachtelungstiefen dieser Figur zu zeichnen sind.
  Ausgehend vom großen Quadrat (mit Seitenlänge 1) in der Mitte werden über Quadratgenerationen hinweg immer neue Quadrate der halben Seitenlänge an den 4 Eckpunkten des jeweiligen Quadrates angefügt.
• Folgende Fragen haben uns beschäftigt:
• Reicht der Platz im Heft und an der Tafel aus, um die gesamte Figur zu zeichnen, wenn man (jedenfalls im Prinzip) unendlich viele Generatioenn zeichnen würde?
• Wenn ja, wie breit und wie hoch würde die Zeichnung werden?
• Einige Flächenstücke kann man nicht erkennen, weil sie auf schon vorhandenen Teilflächen von Quadraten liegen (siehe rechtes Bild).
  Wie groß wäre der Flächeninhalt aller zu zeichnenden Flächen, also auch der Mehrfachbelegungen?
• Angenommen, bei einer Seitenlänge des großen Quadrates von 1 würde eine Einzelbelegung die Höhe 1/1000 haben.
  Wie hoch wäre dann die höchste Stelle der fertigen Zeichnung?
• Lösungen der Fragen: ja - jeweils 3 Einheiten - unendlich groß - unendlich hoch Zum Lesen die Schrift des Browsers vergößern mit (STRG + Mausrad drehen) oder (Ansicht > Schriftgrad > vergrößern)
• Beim Bild im Buch fehlen einige Quadrate. Was hat das für Auswirkungen auf die oben gestellten Fragen?
• Wer findet (trotz oder wegen der Ferientage) weitere Beispiele/Muster für ähnliche Fragestellungen mit möglicherweise überraschenden Antworten? Bitte per Mail einreichen!
  
• Dass die Sache mitr dem Unendlichen nicht so einfach ist, haben wir an folgenden unendlich langen Summen gesehen:
• 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + ...  Diese Summe wächst über alle Grenzen.
• 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ... = 2  Diese Summe hat einen endlichen Wert.
• Beide Summen sind so aufgebaut, dass es a) unendlich viele Summanden gibt und dass b) die Werte der Summanden immer kleiner werden.
  Aus a) sollte eigentlich folgen, dass alle solche Summen keinen endlichen Wert haben, während
  aus b) folgen könnte, dass alle solche Summen sehr wohl einen endlichen Wert haben.
• Beweis für die Angaben über die Werte der Summen:
• 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8 +  1/9  + 1/10 + 1/11 + 1/12 + 1/13 + 1/14 + 1/15 + 1/16 + 1/17 + ... verkleinert man durch Abänderung einiger Brüche:
  1 + 1/2 + 1/4 + 1/4 + 1/8 + 1/8 + 1/8 + 1/8 + 1/16 + 1/16 + 1/16 + 1/16 + 1/16 + 1/16 + 1/16 + 1/16 + 1/17 + ...
  Fasst man nun alle Brüche mit gleichem Nenner zusammen, so erhält man 1 + 1/2 + 1/2 + 1/2 + 1/2 + ...
  Man sieht: Die verkleinerte Summe geht garantiert gegen Unendlich, da unendlich oft 1/2 addiert wird.
  Die ursprüngliche (größere) Summe muss dann also erst recht gegen Unendlich gehen.
• Bei 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ... ergibt sich 2, weil nach der Addition eines jeden Summanden die Hälfte von dem, was an 2 noch fehlt, mit dem nächsten Summanden addiert wird.

2008-05-06

• Heute haben wir noch einmal die Zeichnung im Buch ausgewertet:
   Beachtet die feinen Unterschiede zur Zeichnung oben! Keine Mehrfachbelegung der Flächen!
  In mehreren Schritten haben wir eine Formel für die Fläche der unendlich erweiterten Figur gefunden.
  Hat das innere Quadrat die Seitenlänge 1, so hat das Quadrat den Flächeninhalt 1.
  Die 4 darum liegenden Quadrate haben die Seitenlänge 1/2, also den Flächeninhalt 1/4.
  Für die nächsten folgenden Quadratinhalte ergeben sich die Werte 1/16, 1/64, 1/256, ...
  Nun kommt es noch auf die Anzahl der Quadrate an (jedesmal verdreifacht sich die Anzahl) und man erhält für den gesamten Flächeninhalt A:
  
  Mit Hilfe der Tabellenkalkulation haben wir erhalten:
  
  Wir sehen, dass sich die Teilsummen immer mehr dem Wert 5 annähern.
  In der nächsten Klasse werden wir dieses Ergebnis mit Hilfe einer Formel direkt herleiten.
• 
  Aufgabe: Die oberen kleinen Quadrate haben alle den Flächeninhalt 1. Berechne die Flächeninhalte der unteren Quadrate.
  Wir haben gesehen: Mit Hilfe des Satzes vom Pythagoras ergeben sich die Seitenlängen der unteren Quadrate als Wurzeln der natürlichen Zahlen und damit die Flächeninhalte als die natürlichen Zahlen 1, 2, 3, 4, 5.
• Hausaufgabe: Wie viel Diagonalen hat ein 97-Eck?

2008-05-07

•                        
  Wie viele Diagonalen hat ein 97-Eck?
  Fangen wir klein an: 
• Ein 3-Eck ABC hat keine Parallelen (siehe Abb. oben links).
• Ein 4-Eck kann man aus einem 3-Eck erzeugen, indem man einen weiteren Punkt D hinzufügt und alle Verbindungslinien d, e und f von diesem Punkt zu den Punkten des 3-Ecks zieht.
  Das 3-Eck hat keine Diagonalen; die Seite b des 3-Ecks wird Diagonale im 4-Eck; die neuen Linien d, e und f sind bis auf 2 Linien (=Kanten des 4-Ecks) Diagonalen, also hier noch 1 Diagonale. Zusammen: 0 + 1 + 1 = 2 Diagonalen.
• Ein 5-Eck kann man aus einem 4-Eck erzeugen, indem man einen weiteren Punkt E hinzufügt und alle Verbindungslinien g, h, i und j von diesem Punkt zu den Punkten des 4-Ecks zieht.
  Das 4-Eck hat 2 Diagonalen; die Seite d des 4-Ecks wird Diagonale im 5-Eck; die neuen Linien g, h, i und j sind bis auf 2 Linien (=Kanten des 5-Ecks) Diagonalen, also hier noch 2 Diagonalen. Zusammen: 2 + 1 + 2 = 5 Diagonalen.
• Ein 6-Eck kann man aus einem 5-Eck erzeugen, indem man einen weiteren Punkt F hinzufügt und alle Verbindungslinien k, l, m, n und p von diesem Punkt zu den Punkten des 5-Ecks zieht.
  Das 5-Eck hat 5 Diagonalen; die Seite a des 5-Ecks wird Diagonale im 6-Eck; die neuen Linien k, l, m, n und p sind bis auf 2 Linien (=Kanten des 6-Ecks) Diagonalen, also hier noch 3 Diagonalen. Zusammen: 5 + 1 + 3 = 9 Diagonalen.
• Für das 7-Eck ergibt sich analog: 9 + 1 + 4 = 14
• Für das 8-Eck ergibt sich analog: 14 + 1 + 5 = 21
  aber wer hat Lust, auf diese Art und Weise bis 97 weiter zu machen?
• Setzen wir doch die Tabellenkalkulation ein:
  
  In Zeile 97 steht dann:
  
  Das 97-Eck hat also 4559 Diagonalen.
• Geht es vielleicht noch einfacher?
  Wenn man die Differenzen der Diagonalenzahl berechnet und von den Ergebnissen noch einmal die Differenzen bildet, ergibt sich eine Konstante:
  
  Es gilt nun (was hier nicht bewiesen wird):
  Bildet man von der Zahlenfolge in Spalte A die Differenzen und dann von der Spalte B die Differenzen usw., so kann man, wenn man n mal die Differenzen gebildet hat, bis eine Konstante entsteht, die Zahlenfolge durch einen Term mit der höchsten Potenz n beschreiben.
  Da hier 2-mal die Differenz berechnet werden musste, bis die Konstante erschien, kann man hier eine Gleichung 2. Grades benutzen:  y = a·x² + b·x + c
  x ist die Eckenzahl und y ist die Anzahl der Diagonalen.
  Setzt man 3 Wertepaare (x/y) in die Gleichung ein, erhält man ein Gleichungssystem mit 3 Gleichungen und man kann die Werte für a, b und c berechnen:
  
  Mit der Gleichung (x ist Eckenzahl und y ist Anzahl der Diagonalen) kann man also die Anzahl der Diagonalen sehr schnell für jedes beliebige n-Eck berechnen.
  Fürs 97-Eck gilt:

2008-05-09

• In der letzten Stunde haben wir eine Funktionsgleichung gefunden, die uns angibt, wie viele Diagonalen ein n-Eck hat.
  Ist d(n) die Anzahl der Diagonalen, so gilt
• Man kann die Diagonalen-Anzahl auch rekursiv berechnen (jeder Wert wird mit Hilfe seines Vorgängers (oder mehrerer Vorgänger) berechnet).
  Da die Differenzen der Differenzen der Diagonalen-Anzahlen einen konstanten Wert haben, kann man folgendermaßen vorgehen:
  
  Statt der Zahlenwerte schreibt man in die erste Spalte die Diagonalenzahl als Funktionswert d(...). Ist z. B. n=27, so ist d(n) die Diagonalenzahl des 27-Ecks, d(n-3) die Diagonalenzahl des 24-Ecks und d(n+2) die Diagonalenzahl des 29-Ecks.
  Die zweite Spalte enthält die Differenzen der ersten Spalte und die Spalte 3 enthält die Differenzen der zweiten Spalte. Wie zweiten Differenzen haben alle den Wert 1 (siehe 2008-05-07).
  Die rote 1 ergibt sich als folgende Differenz: (d(n) - d(n-1)) - (d(n-1) - d(n-2)) = d(n) - d(n-1) - d(n-1) + d(n-2) = d(n) - 2·d(n-1) + d(n-2) = 1
  Umstellen nach d(n) ergibt die rekursive Darstellung (wobei noch 2 Anfangswerte d(3) und d(4) fürs Dreieck und Viereck gesetzt werden müssen, damit die rekursive Berechnung starten kann)
   
  Mit dieser Formel können nun alle Diagonalen-Anzahlen berechnet werden.
  Beispiel: d(5) = 2·d(5-1) - d(5-2) + 1 = 2·d(4) - d(3) + 1 = 2·2 - 0 + 1 = 4 + 1 = 5
• Zusammenhang zwischen der rekursiven Berechnung mit den Funktionswerten und der Programmierung der Calc-Tabelle am Beispiel n=6:
  
  
• Als Beispiel für eine rekursive Definition haben wir die Fakultät einer natürlichen Zahl besprochen.
  Zur Erinnerung: Man schreibt als Abkürzung für das Produkt aller natürlichen Zahlen von 1 bis n den Ausdruck n!
  1 · 2 · 3 · 4 · ... · n = n!   (gesprochen: "n Fakultät")
  Wir haben gesehen:
  
  Man kommt jeweils zur nächsten Zeile, indem man durch die Zahl dividiert, die vor dem !-Zeichen steht. Von daher erklären sich auch die Werte für 1! und 0!, die ja von der oben angegebene Definition für die Fakultät keinen Sinn machen würden.
• Einige von Euch haben gefragt, ob man nicht den Prozess weiterführen kann und so auch (-1)!, (-2)!, (-3)! usw. berechnen könnte.
  Für (-1)! müssten wir dann aber 1/0 rechnen, was aber keinen endlichen Zahlenwert ergibt.
  Ich habe Euch dann gesagt, dass es eine Erweiterung auf andere Werte als ganze Zahlen gibt, dass also eine Funktion f(x)=x! existiert, die allerdings für negative ganze x keinen Wert besitzt.
  Diese Funktion nennt man Gammafunktion und schreibt dafür Γ(x). 
  Die genaue Definition der Gammafunktion könnt Ihr Euch unter dem angegebenen Link ansehen. Leider geht es dabei nicht ohne Integralrechnung.
  Eine einfache Gesetzmäßigkeit könnt Ihr aber auch schon verstehen: Es gilt Γ(x+1) = x · Γ(x). Da wir wissen, dass n! = n · (n-1)!, können wir daraus ersehen, dass Γ(n) = (n-1)!
• Gibt man in GeoGebra f(x)=x! ein, so erhält man folgende Abbildung:
  
  Hier habe ich die Werte von n! durch Punkte markiert. Die übrige Kurve gibt dann (siehe oben) den Graph der um 1 nach links verschobenen Gammafunktion an. Es fehlen allerdings die Kurvenstücke, bei denen negative Funktionswerte vorliegen.
  Derive6 dagegen gibt mehr vom Kurvenverlauf der Gammafunktion preis, wenn auch einige Teile des Graphen nicht zu sehen sind, weil die Kurve an den Stellen zu steil verläuft:
  
  Prüft doch mal die Beziehung Γ(x+1) = x · Γ(x) an dieser Kurve nach, z. B. Γ(1,5) = 0,5 · Γ(0,5) oder Γ(0,5) = -0,5 · Γ(-0,5)
  
• Nachtrag zum Beginn dieser Unterrichtsreihe:
  
  Das Programm zur Erzeugung der Alien-Stadt ist "fertig".
  Ihr könnt es Euch herunterladen, indem Ihr auf das Bild klickt.
  Wer findet eine bessere Grundfarbe?
• Sind diese Farben besser?
  Klick auf das Bild zum Herunterladen der Delphi-exe-Datei
  Wer am Programm weiterarbeiten möchte: Hier ist das gepackte Delphi-7-Programm mit allen benötigten Dateien.

2008-05-14

• Rückgabe der Klassenarbeit 4 (Thema: Trigonometrie)
• Ihr solltet durch Experimentieren herausfinden, welche Beziehungen zwischen den Differenz-Werten beim quadratischen Wachstum und den Koeffizienten in der Funktionsgleichung der zugehörigen quadratischenFunktion bestehen.
  Gegeben ist die quadratische Funktion  f(n) = a·n² + b·n + c. Die Variablen a, b und c sollen variiert werden. Die Auswirkung auf die Differenzen ist zu untersuchen.
  Beispiel einer zugehörigen Tabellenkalkulation:
  
  Ihr habt herausgefunden: 
• Der a-Wert ist immer halb so groß wir die 2. Differenz
• Der c-Wert wirkt sich nur auf die Funktionswerte und nicht auf die Differenzen aus
• Der b-Wert wirkt sich auf die 1. Differenz aus. In C3 steht immer die Summe von a und b
• Hausaufgabe: Die gefundenen Gesetzmäßigkeiten nachvollziehen und Begründungen für diese Gesetzmäßigkeiten finden.

2008-05-19

• Eine dünne Kerze ist 30 cm lang und hat eine Brenndauer von 1 Stunde.
  Eine dicke Kerze ist 10 cm lang und hat eine Brenndauer von 3 Stunden.
  Folgende Aufgaben sollten gelöst werden:
• Die Länge beider Kerzen soll in einem Zeit-Länge-Diagramm dargestellt werden.
• Bestimme den Zeitpunkt, zu dem die Kerzen gleich lang sind.
• Wann ist die dicke Kerze 3-mal so lang wie die dünne Kerze?
• Ihr habt viele verschiedene Lösungsmöglichkeiten gefunden.
  Hier eine Auswahl:
• Eintragen der Punkte (0/30) (Länge dünne Kerze zur Zeit 0 Minuten), (60/0) (Länge dünne Kerze zur Zeit 60 Minuten), (0/10) (Länge dicke Kerze zur Zeit 0 Minuten), (180/0) (Länge dicke Kerze zur Zeit 180 Minuten) in einem GeoGebra-Arbeitsblatt:
  
  
• Der Schnittpunkt der Graphen liefert die Zeit, in der beide Kerzen gleich groß sind: Als x-Koordinate von E liest man links 45 Minuten ab.
• Wenn die dicke Kerze 3-mal so lang ist wie die dünne Kerze, dann müsste sie gleich lang sein wie eine 3-mal so lange dünne Kerze, die auch nach 1 Stunde abgebrannt ist.
  Die Gerade zu dieser Kerze ist gelb gezeichnet und beim gelben Punkt G liest man als x-Koordinate die Zeit 55,38 Minuten ab.
• Man kann auch die Geradengleichungen der beiden Geraden aufstellen und dann die Geraden gleichsetzen:
  und ergeben gleichgesetzt:
  
  Auch hier ergibt sich selbstverständlich die Zeit 45 Minuten.
• Ist man zu faul zum Gleichungslösen, kann man auch Derive6 verwenden:
  
• Auch die Tabellenkalkulation kann helfen: Man muss nur ermitteln, um wie viel eine Kerze pro Minute kürzer wird. Dann kann man mit fortlaufendem Subtrahieren dieses Wertes den Zeitpunkt herausfinden, zu dem die Kerzen gleich lang sind. Spaltenbelegung nach Euren Ideen:
  1. Spalte: Minutenzahl
  2. Spalte: Länge der dünnen Kerze
  3. Spalte: Länge der dicken Kerze
  4. Spalte: Differenz der Kerzenlängen (dort, wo 0 auftritt, ist die Lösung bei der Minutenzahl zu finden)
  5. Spalte: Mit der Funktion WENN gibt man an der richtigen Stelle das Wort "Lösung" aus.
  Die dünne Kerze wird um 1/2 cm pro Minute kürzer, die dicke Kerze um 1/18 cm.
  
• Wir haben Glück gehabt, dass die Werte in B47 und C47 genau gleich waren. Sonst hätten wir in E47 keinen Hinweis auf Lösung gefunden.
  Das Testen auf Gleichheit ist immer etwas riskant. Besser (und sicherer) kann man auf  "größer" oder "kleiner" testen.

2008-05-20

• Bei der Besprechung der Hausaufgabe (Wachstum von Bakterien) haben wir wieder gesehen, wie unterschiedlich man an diese Aufgabentypen herangehen kann:
• Tabellenkalkulation: "Verdoppelung alle 15 Minuten" ausnutzen, um Zeile für Zeile (jeweils Sprung von 15 Minuten) die jeweils doppelte Menge auszurechnen.
• Funktionsgleichung: Aufstellen der Funktionsgleichung y=2^(-x/15) und Berechnung von x=15·log(y)/log(2)
• Nebenbei haben wir das Rechnen mit Potenzen geübt, u.a. das Rechnen mit negativen Hochzahlen.
  In der Formelsammlung findet Ihr die Formeln für Potenzen und Wurzeln auf Seite 11 und die Formeln für Logarithmen auf Seite 12. Bitte ansehen!

2008-05-21

• Auch heute kamen wieder Aufgaben vor, bei denen man die Rechenregeln der Potenzrechnung beherrschen muss.
  Bitte wiederholt die Rechenregeln, z.b. zu den negativen Hochzahlen und zum Multiplizieren von Potenzen!
• Wir haben angefangen, eine Übersicht zum Wachstum zu erstellen (linear, quadratisch, exponentiell)
• Hausaufgabe: Wenn wir den Graphen zu der Funktionsgleichung y=2^(x/15) zeichnen wollen, die wir im Unterricht behandelt haben, steigt dieser Graph sehr stark an, so dass wir ihn für größere x-Werte nicht mehr ins Heft zeichen können. Legen wir ein riesiges Blatt auf den Boden und zeichen weiter, bis um die Erde herum, wo werden wir dann die x-Achse wieder schneiden?

2008-05-23

• Bei der Hausaufgabe war folgender Maßstab zu Grunde gelegt: 1 Einheit entspricht 1cm.
  Der Erdumfang beträgt 40000km = 4·10^₄km = 4·10⁷m = 4·10⁹cm.
  Es ist also folgende Gleichung zu lösen: 
  Man trifft also nach einer Erdumrundung bei der Einheit 478,5, also im Abstand von 478,5cm oder 4,785m vom Nullpunkt entfernt auf die x-Achse.
• Wenn man für eine Einheit einen Kilometer setzt, verändert sich das Ergebnis zu .
  Man kommt so also erst 229,3km seitlich des Nullpunktes auf die x-Achse.
  Der Wert(!) ist kleiner als bei der oberen Rechnung, weil man den x-Wert zu einem kleineren Funktionswert berechnet hat. Die Länge ist natürlich größer, weil eine größere Länge pro Einheit gewählt wurde.
  
• Ihr habt bei der Gleichung y=a·b^c·x untersucht, welchen Einfluss die Parameter a, b und c haben. Dabei habt Ihr für b und c dasselbe Ergebnis gefunden.
  Die nachfolgende Rechnung zeigte, warum das so sein muss: b^c·x = (b^c)^x=d^x mit d=b^c. Man kann also die beiden Parameter b und c zu einer Größe zusammenziehen. 
  Gut war, dass Ihr den Einfluss von b und c auf die Größe von d herausgefunden habt: b und c sind wie zwei Einstellknöpfe: Mit c stellt manden Wert grob ein und regelt dann fein mit b.
• Mit den oben gezeigten Umformungen kann man übrigens sehr leicht die Basis von Potenzen ändern:
  2³⁷ = (10^{lg 2})³⁷ = 10^{lg 2 · 37} = 10^{37 · lg 2}  

2008-05-26

• Wir haben die Übersicht zu den verschiedenen Wachstumsarten beendet. Beachtet bitte auch die Seite 192 im Mathebuch. Dort steht im Kapitel 6.5 eine wichtige Zusammenfassung.
  Es fehlt dort die rekursive Formel für das quadratische Wachstum.
  Wir haben dazu herausgefunden (Schreibweise an die Tabelle auf Seite 192 angeglichen):
  A(n+1) = 2·A(n) - A(n-1) + k  (wobei k die Konstante in der 2. Differenzenfolge ist)
• Gegeben war die unendliche Summe S = 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ...
  Bildet man die Teilsumme der ersten n Zahlen dieser Summe, so benennt man diese mit S(n).
  Beispiel: S(3) = 1 + 1/2 + 1/4 ; S(4) = 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8
  Zu zeigen war, dass S(n) = 1/2·S(n-1) + 1
  Am Beispiel n=4 haben wir gesehen, warum diese Rekursionsformel stimmt: S(4) = 1/2·S(3) + 1
  Beginnen wir mit S(3) = 1 + 1/2 + 1/4 und multiplizieren mit 1/2, so ergibt sich
  1/2·(1 + 1/2 + 1/4) = 1/2 + 1/4 + 1/8
  Laut Ron "verschiebt" sich der Term in der Gesamtsumme um einen Platz nach rechts. Fügt man dann noch die links stehende 1 hinzu, so ergibt sich S(4).
• NiclasS fragte, wo in der Natur es denn quadratisches Wachstum gäbe.
  Ein schönes Beispiel haben wir gerade in der Physik kennen gelernt: An der Formel zur kinetischen Energie E=1/2·m·v² kann man erkennen: Die Energie wächst quadratisch mit der Geschwindigkeit. Bei doppelter Geschwindigkeit hat man die 4-fache Energie, bei 3-facher Geschwindigkeit schon die 9-fache Energie.

2008-05-27

• Zum Spinnwebdiagramm siehe das GeoGebra-Arbeitsblatt:
   
  Hausaufgabe: Löst die auf dem Arbeitsblatt gestellten Aufgaben.

2008-05-28

• Unendliche Summen der Art 1+1/2+1/4+1/8+... oder 1+1/3+1/9+1/27+1/81+... oder allgemein 1+q+q²+q³+... nennt man geometrische Reihen.
• Eine Rekursionsformel zum Erstellen dieser geometrischer Reihen ist S(n)=q·S(n-1)+1
• In einem Spinnwebdiagramm kann man leicht sehen, dass diese unendlichen Summen für -1<q<+1 einen endlichen Wert haben, da dann ein Schnittpunkt der beiden Geraden existiert und die Spinnwebkurve sich diesem Punkt immer mehr nähert.
• Rechnerisch kann man diesen Wert ermitteln, indem man sich klar macht, dass, sofern denn ein Grenzwert existiert, für große n kein Unterschied zwischen S(n) und S(n-1) mehr festzustellen ist.
  Man macht deshalb den Ansatz S(n)=S(n-1) und rechnet:
  
• Multipliziert man jeden Summanden der Summe mit der Konstanten a, so ergibt sich
  

2008-05-30

• Heute ging es um Lehrer Frühlingshügel, der sein Planschbecken mit Wasser füllen möchte, aber vor lauter Begeisterung über die Rekursion vergessen hat, mit dem Stöpsel den Auslauf zu verschließen. Nach jeweils einer Minute kommt er mit 10l Wasser im Eimer und kippt die Flüssigkeit in das Bassin. Während der kommenden Minute fließen 30% des Inhalts wieder aus.
  Wieviel Wasser wird sich bestenfalls im Becken befinden, wenn die Wasserzufuhr regelmäßig weiter geht?
  Ihr habt 2 gute Lösungsansätze vorgestellt:
• Niclas stellte überzeugend dar, dass ein Maximum dann erreicht sein muss, wenn der Ablauf während einer Minute gleich der dann zugeführten Wassermenge ist.
  Er rechnete überschlagsmäßig im Kopf: 30% sind 10l, dann sind 100% etwa das 3-fache, also 30l. Viel mehr als 30l werden es also wohl nicht werden, da bei einer größeren Wassermenge der Verlust während der Minute größer als 10l ist und somit die Gesamtwassermenge sinken wird.
  Wenn diese Lösung auch nicht exakt ist, so zeugt sie doch von gutem mathematischen Verständnis: Die Existenz einer (relativ) konstanten Wassermenge wird gezeigt (Annäherung an den Grenzwert von unten und oben) und der Wert wird näherungsweise auf einfache Art ermittelt.
• Harm fand eine genauere Lösung durch Rekursion mit Hilfe der Tabellenkalkulation: Ausgehend von 0 kommt mit jedem Schritt die Menge 10 dazu und 30% vom vorhandenen Wert werden entfernt.Als Formel stand zum Beispiel in Zelle B5, wenn in B4 der Vorgängerwert zu finden ist: =B4-0.3*B4+10
  Die Rekursionsglewichung heißt also: f(n)=f(n-1)-0,3·f(n-1)+10 oder auch einfacher f(n)=0,7·f(n)+10
  Schon nach wenigen Rekursionsschritten stand in den Zellen der Wert 33,33.
  
• Der Wert 33,33 sieht so aus, als ob es weitere Dreien in den folgenden Nachkommastellen geben könnte. Ist das so?
  Gehen wir davon aus, dass sich aufeinanderfolgende Werte bei der Rekursion nicht mehr unterscheiden, so setzen wir x=f(n)=f(n-1):
  x=0,7·x+10 Daraus folgt 0,3·x=10 und weiter x=10/0,3=100/3=33 1/3
• Wir haben es hier mit einem neuartigen Wachstumsvorgang zu tun. Das Wachstum wird nicht immer stärker, sondern schwächer.
  Man spricht von begrenztem Wachstum. Die Kurve gehört zu einer Exponentialfunktion (an der x-Achse gespiegelt und dann nach oben verschoben).
  Die Funktionsgleichung dazu heißt: f(x)=100/3-100/3·0,7^x =100/3·(1-0,7^x)
• Falls die Ausgangsmenge nicht 0 ist, ändert sich die Funktionsgleichung. Wie, das werden wir in der nächsten Stunde besprechen.

2008-06-03

• Wiederholung zur Arbeit.
  Begrenztes Wachstum mit Ausgangsmenge ungleich 0 in der nächsten Stunde.

2008-06-04

• Begrenztes Wachstum mit Ausgangsmenge 0:
  
  Die gestrichelte Gerade liegt bei y=M (hier 3,5). Das Wachstum geschieht so, dass mit jedem Schritt ein bestimmter Prozentsatz, der an M noch fehlt, zur Menge dazu kommt oder anders ausgedrückt, dass mit jedem Schritt von M noch ein bestimmter Prozentsatz von dem, was an M fehlt, subtrahiert werden muss: y=M-M·qx. Dabei ist q der zu Grunde gelegte Prozentsatz. 
• Begrenztes Wachstum mit Ausgangsmenge ungleich 0:
  
  Die gestrichelte Gerade liegt bei y=M (hier 3,5). Der Ausgangswert A liegt hier im Beispiel bei 1,5. Das Wachstum geschieht so, dass mit jedem Schritt ein bestimmter Prozentsatz, der an (M-A) noch fehlt, zur Menge dazu kommt oder anders ausgedrückt, dass mit jedem Schritt von M noch ein bestimmter Prozentsatz von dem, was an M fehlt, subtrahiert werden muss: y=M-(M-A)·qx. Dabei ist q der zu Grunde gelegte Prozentsatz und A die Ausgangsmenge.

2008-06-05

• Für ein exponentielles Wachstum der Art f(x)=a·q^x+c sind die Funktionswerte für x=1 bis x=3 bekannt: f(1)=2; f(2)=5; f(3)=12. Gesucht sind die Werte für a, q, c und f(5)
  
  2. Gleichung minus 1. Gleichung und 3. Gleichung minus 2. Gleichung:
  Division dieser Gleichungen gibt
  Diesen q-Wert setzen wir in einer der oberen Gleichungen ein:
  Nun noch a und q in eine der obersten Gleichungen einsetzen: 
  Damit haben wir die gesuchte Gleichung
  Damit folgt

2008-06-06

• Wiederholung zur Arbeit
• Bei exponentiellem Wachstum ist häufig die Gleichung in der Form y=a·q^x/b günstig, wenn es darum geht, dass in einer bestimmten Anzahl von Schritten (Tagen, Minuten, Anzahl usw.) nur noch 1/2 oder 1/3 oder das 5- oder 12-fache einer Sache vorhanden ist.
  a ist die Ausgangsmenge (bei x=0); q ist der Steigerungs- oder Abnahmefaktor; b gibt an, in wieviel Schritten der Faktor q zum ersten Mal voll zur Geltung kommt.
  Zwei Beispiele:
  Alle 12 Tage ver-5-facht sich eine Ausgangsmenge von 27 Stück. Dann ist a=27, q=5, b=12 und x ist die Anzahl der Tage: y=27·5^x/12. y gibt die Menge nach x Tagen an.
  Setzt man mehrere Schichten Papier vor ein radioaktives Präparat, so wird die radioaktive Strahlung vermindert. Nach jeweils 7 Schichten Papier sind von 100% der Strahlung nur noch 1/3 übrig. Dann ist a=100%, q=1/3, b=7 und x ist die Anzahl der Papierschichten: y=100%·(1/3)^x/7 . y gibt an, wieviel Prozent bei x Lagen Papier noch gemessen werden.

2008-06-09

• Wiederholung zur Arbeit

2008-06-10

• Wiederholung zur Arbeit

2008-06-11

• Klassenarbeit 5

2008-06-13

• Wachstum findet oft (zum Glück) nicht unbeschränkt statt. Ein zunächst exponentielles Wachstum muss irgendwann aufhören, wenn keine Resourcen mehr zur Verfügung stehen.
  Häufig erinnert der spätere Verlauf an ein begrenztes Wachstum. Man spricht dann auch von logistischem Wachstum.
• Als Beispiel haben wir die Ausbreitung einer Epidemie betrachtet.
  Auf einem Spielfeld wird 1 Feld als "infiziert" ausgewählt.
  Bei jedem Zeitschritt wird nun für jedes infizierte Feld ein anderes Feld ausgewürfelt, das neu infiziert wird. Ist das ausgewählte Feld schon infiziert, passiert nichts.
  Die Summe der infizierten Felder wird nach jedem Zeitschritt gemessen und in einem Diagramm abgetragen.
  Das kleine Delphi-Programm Epidemie führt diese Schritte durch. Hier 3 Ansichten eines Versuches:
       Der Graph im unteren Bereich ist typisch für ein logistisches Wachstum.

2008-06-16

• Besprechung und Rückgabe der Klassenarbeit 5

2008-06-17

• Beim logistischen Wachstum ist der Zuwachs proportional zur bereits vorhandenen Menge und proportional zum Rest, der an einem Näherungswert fehlt:
  Aus Δx~x und Δx~(1-x) folgt Δx~x·(1-x) und mit a als Proportionalitätsfaktor: Δx=a·x·(1-x).
  Setzt man für x einen speziellen Wert x_n ein, so ist Δx=x_n+1-x_n.
  Daraus folgt: xn+1-xn = a·x_n·(1-x_n) und x_n+1 = x_n + a·x_n·(1-x_n).
• Wir haben diese Formel benutzt, um in der Tabellenkalkulation schrittweise die Werte eines logistischen Wachstums berechnen und darstellen zu lassen.
  Dabei haben wir gesehen, dass sich für kleine Werte von a die erwartete S-Kurve ergab. Für größere a (zwischen 2 und 3) ergaben sich merkwürdige Fluktuationen. Manche Werte wurden periodisch immer wieder angenommen. In dem Zusammenhang haben wir den Begriff Attraktor kennengelernt.
• Formel in B3:  =B2+$D$2*B2*(1-B2)
  Diese Formel wird in Spalte B nach unten kopiert.
  
   
  
  
  
  
  
  

2008-06-18

• Zahlbereichserweiterung
  "Neue" Zahlen braucht man dann, wenn Rechnungen kein Ergebnis im Bereich der "bekannten" Zahlen haben.
  Beispiele:
• 5-7 hat kein Ergebnis im Bereich der natürlichen Zahlen N. Man erschafft sich daher den Bereich der ganzen Zahlen Z. Dort gilt: 5-7=-2
• 5:7 hat kein Ergebnis im Bereich der ganzen Zahlen Z. Man erschafft sich daher den Bereich der rationalen Zahlen Q. Dort gilt
• Die Gleichung x⁵=7 hat keine Lösung im Bereich der rationalen Zahlen Q. Man erschafft sich daher den Bereich der reellen Zahlen R. Dort gilt
• Die Gleichung hat keine Lösung im Bereich der reellen Zahlen R. Man erschafft sich daher den Bereich der komplexen Zahlen C, der sich zusammensetzt aus den Bereichen R (reelle Zahlen) und I (imaginäre Zahlen). Dort gilt 
• Nach den ersten Gehversuchen im Bereich der komplexen Zahlen (Gaußsche Zahlenebene und Addition komplexer Zahlen) werden wir in der nächsten Stunde weitere Rechenarten untersuchen.

2008-06-20

• Multiplikation zweier komplexer Zahlen (beachte: i²=-1)
  allgemein:
  Beispiel:
• Division zweier komplexer Zahlen (man verfährt wie beim "Rational-Machen" eines Nenners)
  allgemein:
  Beispiel:
  Beispiel für das Rational-Machen eines Nenners:
• Zur Darstellung der komplexen Zahlen in trigonometrischer Form siehe diese Facharbeit.
• Färbt man jeden Punkt der Gaußschen Zahlenebene so ein, dass die Farbe ein Maß für die Schnelligkeit des "Gegen-Unendlich-Gehens" der Rekursion
  z ← z² + (a + bi)  mit z₀ = 0  und  den Koordinaten (a/b) des Punktes ist, so ergeben sich wunderschöne Bilder von der Umgebung der Mandelbrotmenge (das ist der schwarze Bereich in der Figur).
  
  Dieses Bild wurde mit dem Freeware-Programm Fractalizer erstellt, das im Internet unter der Adresse http://www.fractalizer.de zu finden ist.

2008-06-23

• Wir haben besprochen: Multiplikation, Potenzen, Wurzelziehen bei komplexen Zahlen.
  Wer die Rechnungen nachvollziehen möchte und weitere Informationen wünscht: Schaut Euch den Lehrpfad von Mathe-Online an.

2008-06-24

• Zu den Themen: Reihenentwicklung von sin, cos und e^x und deren Anwendungen bei den komplexen Zahlen gibt es wieder Darstellungen bei Mathe-Online.