0708 Unterricht Mathematik 10c

Unterrichts-Einsichten - Schuljahr 2007/2008 - Mathematik 10c

Trigonometrie

2008-02-22

Soll man die Höhe eines Bauwerkes berechnen, reicht es aus, den Abstand zum Bauwerk und den Höhenwinkel, unter dem man den oberen Abschluss des Bauwerkes sieht, zu kennen.
Bleibt der Abstand gleich, ist der Höhenwinkel eindeutig mit der Höhe des Bauwerks gekoppelt.
Ihr habt mit GeoGebra und OOoCalc versucht, die Beziehung zwischen Höhenwinkel und Höhe genauer zu untersuchen.
Die Ergebnisse werden wir in der nächsten Stunde besprechen.

2008-02-26

Wie Jan und Dorothee mit ihren GeoGebra- und OOo-Calc-Arbeitsblättern gezeigt haben, ist der Zusammenhang zwischen Höhenwinkel und Höhe eines Gebäudes nicht proportional:
waagrecht Höhenwinkel, senkrecht Höhe, Abstand des Beobachtungspunktes 1 m vom Gebäude entfernt.
Welche Abhängigkeit besteht nun aber zwischen Winkel und Höhe?
Dazu haben wir uns klar gemacht, dass bei allen rechtwinkligen Dreiecken mit gleichen Winkeln das Längen-Verhältnis von den beiden Seiten, die am rechten Winkel liegen,gleich ist:

Es gilt: a₁/AF = a₂/AE = a₃/AD = a₄/AB
Wenn sich α ändert, gilt ein anderes Seitenverhältnis.
Da für den aktuellen Wert von α alle Verhältnisse gleich sind, gibt man ihnen einen gemeinsamen Namen: tan α, gesprochen: "Tangens alpha".
Da bei rechtwinkligen Dreiecken mit gleichen Winkeln auch die Verhältnisse der anderen Seiten zueinander gleich sind gibt es auch hier entsprechende Namen für die Verhältnisse:
sin α (gesprochen "Sinus alpha") und cos α (gesprochen "Kosinus alpha").
Wir haben gesehen, dass mit diesen Beziehungen Winkel und Seiten in rechtwinkligen Dreiecken berechnet werden können.

2008-03-03

Leider haben mehrere die Definitionen für sin, cos und tan mit den Buchstaben a, b und c verbunden.
Das sollte man nicht tun, weil es zu Fehlern führen kann!
Merkt Euch bitte die Definitionen ausschließlich über die Begriffe Ankatehete (AK), Gegenkathete (GK) und Hypotenuse (HY).
Am günstigsten ist es, sich die Darstellung am Einheitskreis (=Kreis um Punkt (0/0) mit Radius 1) zu merken:
GeoGebra-Arbeitsblatt zum Herunterladen

2008-03-05

Wir haben gelernt, wie man Winkel zwischen Flächen und zwischen Geraden und Flächen bestimmt.
Hier noch eine Ergänzung: Der Winkel zwischen 2 Flächen ist immer der kleinstmögliche Winkel, der zwischen die Flächen passt.
Man findet ihn, indem man zur Schnittgerade der beiden Ebenen 2 Senkrechte sucht, von denen je eine in einer der beiden Ebenen liegt.
Der Winkel zwischen diesen Geraden ist dann der Winkel zwischen den Ebenen.
Beispiel:
Google-Sketchup-Datei zum Bild
Die gerade Pyramide hat eine quadratische Grundseite mit Seitenlänge 5 und eine Höhe von 3.
Der Winkel zwischen Grundfläche und Seitenfläche soll berechnet werden.
Eine senkrechte Schnittfläche durch die Pyramidenspitze liefert als Schnittgeraden mit der Grund und einer Seitenfläche die oben genannten Geraden, die senkrecht zur Schnittgerade (unten links) der beiden Ebenen liegen.
Der Winkel α dort ergibt sich aus tan α = 3 / 2,5 zu α = 50,2°.
Zur Erinnerung: Hausaufgabe: Berechnung des Volumens der Knickpyramide des Snofru.

2008-03-07

Aufgabe aus dem Buch:
Von einem Schiff aus (6,5 m über der Wasserfläche) soll die Freiheitsstatue fotografiert werden, die auf einem 46,5 m hohen Sockel steht und selbst auch 46,5 m hoch ist.
Wie weit entfernt von der Statue muss man sein, damit der Blickwinkel zwischen unterer und oberer Begrenzung der Statue maximal wird?
Die Lösung dieser Extremwertaufgabe haben wir näherungsweise bestimmt mit GeoGebra:

GeoGebra-Datei zum Herunterladen

Als größter Winkel ergibt sich knapp 22° bei einer Entfernung von 60m.

2008-03-28

Rückgabe der Klassenarbeit.
In einem Dreieck (nicht rechtwinklig!) sind bekannt die Winkel α und β, sowie die Seite a.
Wir wissen, dass nach dem Kongruenzsatz sww eine eindeutige Lösung für die anderen Stücke des Dreiecks existiert. Früher haben wir solche Lösungen konstruiert.
Jetzt sollt Ihr die Werte der übrigen Teile des Dreiecks berechnen.
Hausaufgabe: Findet eine allgemeine Lösung für die Berechnung der Seite b, wobei in dem Lösungsterm nur die Größen α, β und a auftauchen dürfen.

2008-04-01

Sascha zeigte uns, wie man mit Hilfe der Hausaufgabe den Sinussatz finden kann (Applet beim Link beachten!).
Gemeinsam haben wir dann den Kosinussatz entwickelt (weiterer Link zum Kosinussatz).
Unsere Ergebnisse von heute:

2008-04-02

Die Aufgabe, die Winkelgröße β in einem Dreieck zu bestimmen, von dem α=25°, b=15 und c=10 bekannt ist, fühte uns zu einem eigenartigen Phänomen:
Nach der bestimmung der Seitenlänge a führte die Berechnung über den Sinussatz zu einem Ergebnis von etwa 60°, über den Kosinussatz aber zu etwa 120° für β.
GeoGebra lieferte auch etwa 120°.
Schließlich kam einer von Euch darauf, dass sich in der Veranschaulichung der Sinuswerte am Einheitskreis (siehe 2008-03-03 auf dieser Seite) derselbe Sinuswert für zwei verschiedene Winkel ergibt.
In der nächsten Stunde werden wir die Einheitskreis-Darstellung benutzen um uns über die Möglichkeit, Sinuswerte auch für Winkel über 90° zu definieren, Klarheit zu verschaffen.
Hausaufgabe: Seite 151 Aufgabe 3, 4 und 5

2008-04-07

Sinus, Kosimus und Tangens kann man auch für Winkelgrößen größer als 90° definieren.
Mit einem Geogebra-Arbeitsblatt haben wir uns die Graphen der Sinus-, Kosinus- und Tangensfunktion angeschaut, die entstehen, wenn man die entsprechenden Werte als Funktionswert gegen die Winkelwerte (im Bogenmaß) abträgt.

2008-04-08

Besprechung der Hausaufgabe
Üben: Berechnung von Größen in Dreiecken und Vierecken unter Verwendung des Sinus- und Kosinussatzes.

2008-04-09

Beweis der Formel
und Kennenlernen der Additionstheoreme und
Weitere Übungen unter Verwendung der trigonometrischen Funktionen.

2008-04-11

Besprechung der Hausaufgabe. Dabei haben wir wiederholt:

Punkt- vor Strichrechnung
Aufschreiben, was gegeben und was gesucht ist. Dann alle möglichen Formeln in Gedanken durchgehen und herausfinden, welche Formel(n) hier zur Unwendung kommen können (Definition von sin, cos, tan; Sinussatz; Kosinussatz; Satz vom Umfangswinkel; Winkelsumme im n-Eck; Satzgruppe des Pythagoras;Winkelarten mit ihren Eigenschaften; Addition von Vektoren ["Kräfteparallelogramm"])
Teilfiguren (z. B. rechtwinklige Dreiecke) aus der Figur herausziehen und getrennt betrachten. Besonderheiten von Teilfiguren erkennen.

Hausaufgabe: Winkel der Klingen bei Axt, Beil, Spalter usw. messen und aus den Messwerten die Vervielfachung der Kraft bestimmen.

2008-04-14

Trigonometrische Formeln in der Formelsammlung, Übungsaufgabe

2008-04-16

Folgende Aufgabe haben wir in der Stunde begonnen. Ihr habt die Formel zum Überstand in Abhängigkeit vom Winkel gefunden.
Nun fehlt noch die Überlegung, bei welchem Winkel der Überstand maximal wird.
Das folgende Arbeitsblatt kann beim Finden der Lösung helfen (auf das Bild klicken).
Mit einem Lob an die erste Reihe hier die Lösung:

2008-04-18

In der Landvermessung (wie sie früher vor der Erfindung des GPS praktiziert wurde) werden aus bekannten Koordinaten einiger Orte die Koordinaten neuer Orte durch Längenbestimmung zwischen bekannten Orten und Winkel-Peilen zu den neuen Orten bestimmt.
Hier das Beispiel aus dem Unterricht, dessen restliche Bearbeitung als Hausaufgabe blieb:
Die Koordinaten der Punkte A(3/1) und B(9/4) sind gegeben.
Ein neuer Punkt P erscheint von A aus gesehen unter einem Winkel von 30° zur Strecke AB und von B aus gesehen unter einem Winkel von 70° zu AB.
Die Koordinaten von P sind zu berechnen.
Planfigur:

Bei der Mehrheit habe ich folgende Bearbeitungsschritte gesehen:

Zunächst befindet sich nur das Koordinatensystem mit den Punkten A, B und P auf dem Papier.
Strecke c=√45 wird mit Pythagoras berechnet (BD=3 und AD=6 wegen der bekannten Koordinaten von A und B)
Der Winkel δ=26,6° wird mit tan δ = 3/6 = 1/2 berechnet.
Der Innenwinkel γ bei P misst wegen der Winkelsumme im Dreieck 80°.
b=6,40 berechnet sich mit dem Sinussatz: b/sin 70° = √45 / sin 80°
Die Länge 5,34 der Strecke PE ergibt sich aus sin (δ+30°) = PE/b.
Daraus folgt die y-Koordinate von P zu 6,34.
Die Länge 3,53 der Strecke AE ergibt sich aus cos (δ+30°) = AE/b.
Daraus folgt die x-Koordinate von P zu 6,53.
Lösung: P(6,53/6,34)

2008-04-21

Bei Rons Vortrag (Lösung der oben am 2008-04-18 beschriebenen Aufgabe) konnte man gut mehrere sehr geeignete Vorgehensweisen erkennen, die das Lösen von Aufgaben wesentlich erleichtern:

Immer nach Hilfslinien Ausschau halten, die parallel zu den Koordinatenachsen verlaufen.
Rechtwinklige Hilfsdreiecke suchen.
Hilfslinien zeichnen (Ron hat ein Rechteck so um das Dreieck gelegt, dass die Eckpunkt des Dreiecks auf den Seiten des Rechtecks liegen).
Alle wichtigen Gesetzmäßigkeiten vor Augen haben (Def. von sin, cos, tan, Sinus- und Kosinussatz, Satz des Pythagoras u. a.)
Die gesuchte Größe durch Formeln so beschreiben, dass man die jeweils unbekannten Größen durch bekannte ersetzen kann
oder
die bekannten Größen miteinander verknüpfen und dadurch weitere Dinge finden, bis man sich zur gesuchten Größe "hindurchgearbeitet" hat.

Probiert diese Verfahrensweisen bei der Hausaufgabe (Abstand zweier Kirchtürme bestimmen) aus.

2008-04-22

Besprechung der Hausaufgabe (siehe 2008-04-21):

Die Entfernung der beiden Kirchtürme K1 und K2 ist mit Hilfe der gegebenen Stücke zu berechnen.
Beim Berechnen kann grundsätzlich auf 2 Arten vorgehen:

Bottom-up
Man geht von Bekanntem aus (hier Seite a und die Winkel) und versucht damit, andere Größen zu berechnen. Diesen Prozess führt man mit allen gegebenen und neu ermittelten Größen so lange aus, bis man das Ziel erreicht hat (hier: die Entfernung zwischen K1 und K2 berechnet hat).
Top-down
Man berechnet das Ziel mit bekannten und möglicherweise auch unbekannten Größen. Die noch nicht bekannten Größen berechnet man ebenso wieder aus anderen Größen, bis alle unbekannten Größen aus den gegebenen Größen bestimmt werden können.

Hier wird der zweite Weg (Top-down) beschritten:

Tabellenblatt zur Berechnung (ods-Datei kann durch Klick auf das Bild heruntergeladen werden)

2008-04-23

Aufgabe: Streckt man seine Hände zur Seite aus, so ist die Entfernung zwischen den Fingerspitzen genauso groß wie die Körpergröße (Kopf bis Fuß).
Diesen behaupteten Sachverhalt haben wir zunächst überprüft. Ergebnis: Bis auf 1 - 2 cm stimmt die Behauptung.
Winkelt man nun die gestreckten Arme nach oben ab, so ist die Entfernung zwischen den Fingerspitzen bei einem bestimmten Winkel gleich der halben Körpergröße.
Bei welcher Winkelgröße trifft das zu?

Höhe e = Weite f = KJ + JK' gefragt ist Winkel KJH
Ron hat eine rechnerische Lösung gefunden: K liegt in der Mitte über HJ; der Winkel ergibt sich damit über cos(KJH)=1/2 zu 60°
Nina hat gar nicht gerechnet, sondern sich überlegt: Beide Armlängen (KJ und JK') sind gleich, ebenso die Entfernung KK'.
Folglich handelt es sich um ein gleichseitiges Dreieck und der Winkel beträgt 60°.
Wir sehen: Es gibt verschiedene Lösungs-Zugänge bei Aufgaben. Denkt ruhig einmal in verschiedene Richtungen und findet ein für Euch passendes Rechen-Modell.

2008-04-25

Die Hausaufgabe war sehr schwierig. Hier die Lösung:
Sehr realistisch sind die im Buch angegebenen Werte nicht. Die mit GeoGebra angefertigte maßstabsgerechte Zeichnung:

Das GeoGebra-Arbeitsblatt könnt Ihr Euch durch Klick auf diese Zeichnung herunterladen.
Trotzdem soll hier die Rechnung vorgestellt werden, aber unterstützt mit einer etwas übersichtlicheren Zeichnung:

Die Rechnung (OOoWriter) kann durch Klick auf das untenstehende Bild heruntergeladen werden.

2008-04-28

Wiederholung zur Klassenarbeit
Hier der Link zu einer Klassenarbeit der Klasse 10fa aus dem Jahr 2002.
Einige Stellen sind aus urheberrechtlichen Gründen abgedeckt.

2008-04-29

Klassenarbeit 4

weiter mit Wachstum und Rekursion