Bestimmung von π mit dem Nadelproblem von Buffon

Georges-Louis Leclerc de Buffon (1707-1788) hat im Zusammenhang mit Berechnungen zu Glücksspielen u. a. folgendes Problem untersucht:
Buffonsches Nadelproblem
Auf einen Untergrund, auf den in gleichem Abstand parallele Geraden gezeichnet sind, werden Nadeln fallen gelassen.
Die Nadeln sind so lang wie die Breite der Streifen.
Überlagert eine Nadel eine der Geraden oder berührt sie, so gilt das als Erfolg.
De Buffon zeigte, dass die Wahrscheinlichkeit für einen Erfolg 2/π≈ 0,6366 beträgt.
In der Skizze hatte man mit den 4 linken Nadeln Erfolg, die rechte Nadel bedeutet Misserfolg.

Im Programm wird links das Fallen der Nadeln simuliert. Rote Nadeln treffen eine Gerade und bedeuten Erfolg, die blauen Nadeln stehen für Misserfolg.
Rechts oben können die Anzahl der fallenden Nadeln und die Wartezeit zwischen zwei fallenden Nadeln in ms eingegeben werden.
Darunter werden die Anzahl der schon gefallenen Nadeln und die Treffer registriert.
Der Näherungswert für π wird nach der Formel π ≈ 2 · alle gefallenen Nadel / alle schneidenden Nadeln berechnet.
Buffon Screenshot
Beweis des Buffonschen Ergebnisses:
Voraussetzung ist lediglich, dass die Geraden parallel verlaufen und alle Geraden denselben Abstand von den beiden benachbarten Geraden haben.
Außerdem soll die Nadellänge gleich dem Abstand der Geraden sein.
Zunächst einige Vereinfachungen:
Die Nadeln werden per Zufall gesetzt, indem zunächst ein Punkt in der Ebene ausgewürfelt wird und dann ein Winkel zufällig bestimmt wird, unter dem die Nadel zu liegen kommt.
Für die Frage nach Erfolg oder Misserfolg spielt der y-Wert des Punktes keine Rolle. Wir beschränken uns also auf die x-Achse.
Der Abstand und die Nadellänge müssen gleich sein. Auf den Wert kommt es dabei nicht an. Wir wählen deshalb für den Abstand und die Nadellänge den Wert 1.
Es reicht, einen Streifen zu untersuchen, da nicht die genaue Lage auf der x-Achse, sondern nur die Lage des Mittelpunktes der Nadel innerhalb eines Streifens wichtig ist. Die linke Gerade wählen wir so, dass sie auf der y-Achse liegt.
Beweis Buffonsches Nadelproblem
Für 0<x<1/2 gibt es Nadeln, die die linke Gerade schneiden. Für einen Mittelpunkt der Nadel im Anstand x von der y-Achse sind die entsprechenden Endpunkte der Nadel in der Skizze rot gefärbt. Dazu gehört der Winkelbereich α. Das eingezeichnete rechtwinklige Dreieck hat die Hypotenuse 1/2, die der halben Nadellänge entspricht.
Die Länge des roten Kreisbogens hat für x=0 den Wert π (Halbkreis) und für x=1/2 den Wert 0.
Die Wahrscheinlichkeit p(x), dass für ein x die Gerade geschnitten wird, ist also der Quotient aus der Bogenlänge b(x) und der Halbkreis-Länge π.
Für die Berechnung der Wahrscheinlichkeit für beliebiges x (Summe s1) muss dann über alle Wahrscheinlichkeiten summiert werden (Integration wegen kontinuierlicher x-Werte) und das Ergebnis muss noch verdoppelt werden für den symmetrischen Teil von 1/2<x<1 (Summe s2).
Beweis Buffonscher Nadelversuch

Soll das auf dem Buffonschen Nadelproblem beruhende Glücksspiel fair sein (50% Gewinn, 50% Misserfolg), muss die Wahrscheinlichkeit für einen Gewinn gesenkt werden. Das geschieht durch eine kürzere Nadellänge auf den Wert N. Die Summe s1+s2 muss dann den Wert 0,5 haben:
BuffonFairBeweis
Das zugehörige Programm simuliert das faire Spiel:
BuffonFair

Wer experimentieren möchte, findet hier das Programm mit Eingabemöglichkeit für unterschiedliche Nadellängen.
Screenshot für Nadellänge = 0,4 ∙ Abstand der Geraden
BuffonBeliebigeNadellänge