Unterrichtseinsichten - Schuljahr 2021/2022 - Mathematik 7c

Dreiecksgeometrie

2022-06-03

Wenn man die Lage eines Punktes angeben will, nennt man die x- und die y-Koordinate: P(x/y).

A(3/4) bedeutet, dass der x-Wert des Punktes 3 betragen muss, dass also der Punkt A auf der roten Gerade liegt, denn alle Punkte auf der roten Gerade haben den x-Wert 3.
Der y-Wert 4 bedeutet, dass der Punkt A auf der grünen Gerade liegt, denn alle Punkte auf der grünen Gerade haben den y-Wert 4.
Da der Punkt beide Bedingungen (x=3 und y=4) erfüllen muss, liegt also der Punkt A auf dem Schnittpunkt der beiden Geraden.
Die Lage eines Punktes ist immer durch den Schnittpunkt zweier Linien bestimmt. Dabei müssen die Linien keine Geraden sein.

Die Linien nennt man Ortslinien.
Der Punkt P ist in der Abbildung festgelegt durch den Schnittpunkt der roten und der grünen Ortslinie.
Wenn wir demnächst Konstruktionen anfertigen, sind die Ortslinien oft Kreise oder Geraden.
Kennengelernt haben wir schon das Verfahren, mit dem man zu einer gegebenen Geraden g und zu einem gegebenen Punkt P eine senkrechte Gerade durch den Punkt P zu der Geraden g zeichnen kann:

Gegeben sind die schwarze Gerade g und der Punkt P.
Man zeichnet um P einen Kreis (rot), der die Gerade zweimal in den Punkten A und B schneidet.
Mit demselben Radius zeichnet man um A und B zwei Kreise (grün), die sich in den Punkten P und Q schneiden.
Die Gerade (blau) durch P und Q ist die gesuchte senkrechte Gerade.
Wir haben nämlich P an der Geraden g gespiegelt. Die Verbindungslinie von Gegenstand und gespiegeltem Gegenstand steht immer senkrecht zur Spiegelfläche.

2022-06-17

Besprechung und Rückgabe der Klassenarbeit über reelle Zahlen Aufgaben - Lösungen
Grundlegende Übungen zum Gebrauch des Zirkels

Den Zirkel möglichest nur oben locker anfassen, nicht an den beiden Enden, da sich sonst der Radius leicht verstellt.

Bei diesem Zirkel ist zwar durch das Einstellrad der Abstand sehr sicher. Bei einem Zirkel ohne dieses Rad verändert sich der Abstand aber sehr leicht.
Beschreibung der Konstruktion mit einem Zirkel am Beispiel der Aufgabe aus der letzten Stunde

1. Kreis k1 (rot) um P mit dem Radius r, der so lang sein muss, dass der Kreis die Gerade g in den Punkten A und B schneidet.
2. Kreis k2 (grün) um A mit dem Radius r.
3. Kreis k3 (grün) um B mit dem Radius r.
4. K2 und k3 schneiden sich in P und Q.
5. Die Gerade (blau) durch P und Q ist die gesuchte Gerade, die zur Geraden g senkrecht steht.

2022-06-21

Arbeitsblatt zur Einführung besonderer Linien im Dreieck:

Wo soll das neue Krankenhaus stehen?

bearbeitete Karte nach Google-Maps

Die Krankenhäuser in Diepholz, Sulingen und Bassum sollen in den nächsten Jahren durch eine große Zentralklinik ersetzt werden.
Wo ist der geeignete Platz für den Neubau?

Zur Vereinfachung: Die Linien des eingezeichneten Dreiecks sollen die Verbindungsstraßen zwischen den Orten sein.
Für die Verbindungen zwischen Diepholz und Bassum und zwischen Sulingen und Bassum passt das ganz gut.
Näherungsweise stimmt das auch für die Straße zwischen Diepholz und Sulingen.

Aufgaben:

1. Finde verschiedene Bedingungen für den Standort des neuen Krankenhauses.

2. Konstruiere mit Lineal und Zirkel die Standorte, die mit den Bedingungen übereinstimmen.

3. Ganz zum Schluss: Suche im Internet nach dem "Zentralklinikum des Landkreises Diepholz" und vergleiche den angegebenen Bauort mit deinen Vorschlägen. Was spricht für den ausgewählten Standort? Was spricht dagegen?

Eure Vorschläge zur Lage des neuen Krankenhauses:

Diepholz ist die größte Stadt. Also muss das Krankenhaus nach Diepholz.
Das Krankenhaus sollte von allen drei Städten gut und schnell zu erreichen sein, also gehört es in die Mitte.
Das Krankenhaus sollte an einer gut befahrbaren Straße liegen (z.B. an der B51 von Diepholz nach Bassum).
Das Krankenhaus sollte gleich weit von Diepholz, Sulingen und Bassum entfernt sein.
Das Krankenhaus sollte gleich weit von den drei Straßen entfernt sein.

zu 1: Einwohnerzahlen Diepholz: etwa 17000, Sulingen: etwa 10000, Bassum: etwa 16000.
Da sich unsere Schule in Diepholz befindet, wird man Argument 1 als Lokalpatriotismus (=Egoismus bezogen auf die eigene Stadt) abhaken (also verwerfen, streichen) können und sollen.
zu 2: Das Argument überzeugt. Es ist aber noch nicht so ganz klar, was "Mitte" bedeutet.
zu 3: Auch diesem Argument kann man zustimmen. Wird sich das aber mit "Mitte" vereinbaren lassen?
zu 4 und 5: Hier wird versucht, den Begriff "Mitte" klarer zu fassen.
Die Vorschläge 4 und 5 eignen sich, um sie mathematisch zu untersuchen.

Wir mathematisieren unser Problem, indem wir erst einmal nicht von Städten und Straßen, sondern von Punkten und Strecken (oder geraden) sprechen.
Bei 4 ist dann gesucht: Wo liegt ein Punkt, der von drei gegebenen Punkten denselben Abstand hat?
Bei 5 ist dann gesucht: Wo liegt ein Punkt, der von drei gegebenen Strecken (oder Geraden) denselben Abstand hat?
Zunächst vereinfachen wir das Problem zu 4, indem wir nicht drei Punkte geben, sondern nur zwei Punkte.

Gesucht ist der Ort aller der Punkte, die von zwei gegebenen Punkten denselben Abstand haben.

So richtig wollte uns das nicht gelingen, eine Gesetzmäßigkeit zu sehen.
Aber als jemand die beiden Punkte A und B nicht auf einer schrägen Geraden, sondern auf einer zum Heftrand parallelen Geraden anordnete, war alles ganz klar:

Der Mittelpunkt M der Strecke AB gehört bestimmt dazu und auch alle Punkte, die auf einer zu AB senkrechten Geraden liegen.
Diese Gerade nennt man "Mittelsenkrechte zu AB".
Das bleibt natürlich auch so, wenn man die gesamte zeichnung schräg auf das Papier zeichnet.
Man sollte sich also merken: "Wenn man etwas Neues sucht, sollte man nicht gleich mit dem Kompliziertesten beginnen, sondern mit dem Einfachsten". Wenn man dann eine Gesetzmäßigkeit gefunden hat, kann man schrittweise nachschauen, ob die Gesetzmäßigkeit auch dann noch gilt, wenn es komplizierter wird.
Die grünen Kreise zeigen, wie man die Mittelsenkrechte konstruieren (also finden) kann:
Kreise um A und B mit dem gleichen Radius zeichnen. Den Radius so groß wählen, dass sich die Kreise schneiden.
Dann eine Gerade durch die Schnittpunkte zeichnen. Das ist die gesuchte Mittelsenkrechte.
Nun zeichnen wir alle drei Mittelsenkrechten der Seiten im Dreieck DSB (Diepholz-Sulingen-Bassum):

Die Zeichnung sieht leider etwas unübersichtlich aus, aber vielleicht hilft das:
Die zu einer Dreiecksseite gehörenden Kreise sind in derselben Farbe gezeichnet.
Alle Mittelsenkrechten sind schwarz gezeichnet und schneiden sich in einem einzigen gelben Punkt.
Sie müssen sich in einem Punkt schneiden, denn wenn der Schnittpunkt von A und S gleich weit entfernt ist und auch von S und B gleich weit entfernt ist, muss er auch von A und B gleich weit entfernt sein.
Die Entfernung des gelben Punktes von den Dreiecks-Eckpunkten ist gleich, also muss es einen Kreis um den gelben Punkt geben, der durch die drei Eckpunkte verläuft.
Diesen gelben Kreis nennt man "Umkreis des Dreiecks".
Der gelbe Punkt ist nun der erste Kandidat für den Standort des Krankenhauses. Er liegt etwa bei (5,6/6).

Zu Vorschlag 5 haben wir schon etwas probiert, aber sind noch nicht ganz zu Ende gekommen. Mehr dazu in der nächsten Stunde.

2022-06-24

Nun soll das Krankenhaus gleich weit von den drei Straßen entfernt sein.
Zunächst vereinfachen wir das Problem: Ein Punkt soll gleich weit von zwei Geraden entfernt sein. Auf welcher Ortslinie kann er dann liegen?
Durch Versuche kommt man zur Lösung: Der Punkt liegt auf der Winkelhalbierenden der beiden Geraden:
Konstruktion einer Winkelhalbierenden:
1. Kreis um den Schnittpunkt S der beiden Geraden gibt die Punkte A und B.
2. Kreise um A und B mit demselben Radius gibt den Punkt C.
3. Gerade durch S und C ist die Winkelhalbierende.
Anwendung auf die Krankenhausaufgabe:
Wir haben dann noch die Seitenhalbierenden im Dreieck konstruiert und gesehen, dass auch diese Linien sich alle in einem Punkt schneide, dem Schwerpunkt S des Dreiecks.
Wenn die gesamte Fläche im Dreieck von DH, SU und BA gleichmäßig bewohnt wäre, wäre vielleicht auch der Schwerpunkt ein geeigneter Ort für das Krankenhaus.
Hausaufgabe: Konstrunktion des Schwerpunktes.

2022-06-28

Konstruktion des Schwerpunktes:
Übertragen der gefundenen Punkte in die Karte:
U ist der Mittelpunkt des Umkreises (Punkt ist gleich weit von den drei Orten entfernt)
I ist der Mittelpunkt des Inkreises (Punkt ist gleich weit von den drei Straßen entfernt)
S ist der Schwerpunkt des Dreiecks DH-SU-BA
Der rote Punkt zeigt den geplanten Ort für das Krankenhaus.
Einige Anmerkungen zur Diskussion:

Ein Bau bei S scheidet aus, weil S genau im nördlichen Wietingsmoor liegt.
I ist ungünstig, weil viele neue Straßen gebaut werden müssten. Außerdem liegt auch I dicht am Moor.
U wäre im Prinzip günstig an der B51 gelegen und unterscheidet sich in der Lage auch nur um wenige Kilometer von der vorgesehenen Stelle.
Der Kreis Diepholz reicht über das Dreiecksgebiet weit hinaus. Im Norden grenzt der Kreis an Bremen. Dort ist die Bevölkerungsdichter größer.
Im Westen des Kreises Diepholz gibt es mehrere Kliniken in Vechta, Lohne und Damme, die auch vielfach Kramke aus dem Bereich Diepholz versorgen.
Weitere Bedingungen wie z.B. geeignete Grundstücksgröße, anfallende Kosten für den Grunderwerb usw. haben wir nicht untersuchen können.

2022-07-05

Der Flächeninhalt eines Dreiecks

Wir wissen, wie man den Flächeninhalt A eines Rechtecks mit der Grundseite g und der Höhe h bestimmt:
Der Flächeninhalt eines Parallelogramms ergibt sich, indem man durch Umlegen eines Dreiecks das Parallelogramm zu einem Rechteck macht:
Ähnlich lässt es sich auch mit einem Dreieck machen:
Man ergänzt das Dreieck durch ein zweites identisches Dreieck, das um 180° gedreht an das ursprüngliche Dreieck gelegt wird.
Es ergibt sich ein Parallelogramm, das wie oben gezeigt zu einem Rechteck geformt wird.
Die Fläche des Rechtecks ist dann die doppelte Dreiecksfläche. Durch 2 dividiert ergibt sich somit der Flächeninhalt des Dreiecks:

Also:

Mit Hilfe dieser Formel können wir auch folgendes zunächst schwierig erscheinendes Problem einfach lösen:
Berechne den Flächeninalt des Vierecks:

Lösung: Mache das Viereck durch senkrechte und waagrechte Liunien zu einem Rechteck, berechne den Flächeninhalt des Rechtecks und subtrahiere die Flächeninhalte der hinzugefügten Dreiecke:

Da die gelben Dreieck rechtwinklig sind, nimmt man für Grundseite und Höhe die Seiten, die am 90°-Winkel liegen:

Thaleskreis
Man zeichnet die Strecke AB mit ihrem Mittelpunkt M.
Auf dem Kreis um M, der durch die Punkte A und B verläuft, liegen die Punkte C, die die Eigenschaft haben, dass die Verbindungsstrecken von C zu A und von C zu B einen rechten Winkel (90°) bilden. In Amphitheatern (z.B. in Orange in Frankreich) waren die Sitzreihen auf solchen Kreisbögen angeordnet, damit man gut sehen konnte.

Warum ist der Winkel bei C immer ein 90°-Winkel?
Die Verbindungslinien von M zu A, B und C sind alle gleich lang (jeweils der Radius des Kreises.
Damit sind die Dreiecke AMC und BMC gleichschenklige Dreiecke, bei denen die Winkel an den gleich langen Seiten auch gleich groß sind.
Die Winkelsumme im Dreieck beträgt 180°. Daraus folgt: