Unterrichtseinsichten - Schuljahr 2014/2015 - Mathematik 11ma5g
Integralrechnung
2014-10-21
- Einführung in die Integralrechung am Beispiel der
Flächeninhaltsberechnung der Fläche, die sich zwischen der Parabel mit
der Gleichung y=x² und der x-Achse im Intervall [0,1] befindet.
Siehe dazu das Skript
"Integralrechnung" auf den Seiten 1 bis 3.
2014-10-23
- Besprechung des Leistungsstandes
Parallel dazu: Flächeninhaltsberechnung für eine Fläche zwischen Parabel
und x-Achse im intervall [0,b] (Besprechung dazu nach den Ferien)
2014-11-11
2014-11-13
- Besprechung des Zusammenhangs zwischen der Funktion A, die den
Flächeninhalt beschreibt und der Funktion f, die die Fläche begrenzt.
Siehe dazu das Skript
Teil7 auf den Seiten 6 und 7.
Wichtige Erkenntnis:
Das Integrieren und das Differenzieren sind zwei Rechenarten, die
entgegengesetzt sind bzw. die sich gegenseitig aufheben wie z. B.
Addition und Subtraktion oder Multiplikation und Division.
2014-11-18
- Rückgabe der Klausur 1 [ Aufgaben
| Lösungen
]
- Eine Integralfunktion Ia(x) wird dadurch gebildet, dass bei
der Integration einer Funktion f(x) die untere Grenze konstant ist (Wert
a) und die obere Grenze gleich der Integrationsvariablen gesetzt wird.
Dadurch entsteht eine Funktion in Abhängigkeit von x:
Beispiel: Mit f(x)=x2-3x+4 ergibt sich die Integralfunktion
Die 2. Klammer bildet einen konstanten Summanden, der angibt, um wie
viel der durch die 1. Klammer bestimmte Graph nach oben oder unten
verschoben wird.
Enthält die 1. Klammer in jedem Summanden x im Zähler, so gibt die 2.
Klammer den y-Achsenabschnitt des Graphen an.
2014-11-20
- Bestandsermittlung auf Grund der Messung eines Abnahmeprozesses
Beispiel mit einfachen Zahlenwerten:
Ein radioaktives Element mit kurzer Halbwertzeit wird untersucht.
Nach jeweils 1 Minute wird 1 Sekunde lang die Anzahl der Zerfälle
gemessen.
Messreihe:
Gefragt ist, wie viel Zerfälle während der Messzeit (300s=5min)
stattgefunden haben.
Falsch wäre, die gegebenen Werte (Zerfälle pro Sekunde) zu addieren,
denn diese Werte beuiehen sich immer nur ein den Zeitraum einer Sekunde,
also insgesamt auf 6 Sekunden.
Im Prinzip müsste man für jede Sekunde die Anzahl der Zerfälle messen.
Einfacher ist es, aus den gegebenen Werten eine Funktionsgleichung zu
ermitteln, und dann die Funktionswerte zu den einzelnen Sekunden zu
berechnen.
Rechnerisch geht das über das Integral (Flächenberechnung im Graph) über
die gefundene Funktion im Bereich von 0 bis 300:
Ermittlung der Funktionsgleichung mit Hilfe des Taschenrechners
(exponentielle Regression)
Es ergibt sich die Exponentialfunktion mit der Gleichung y=1024∙0,9885x
(oder y=1024∙0,5x/60).
Mit dem Taschenrechner wird nun das Integral über diese Funktion in den
Grenzen von 0 bis 300 berecnet:
Insgesamt sind im Zeitraum von 300 Sekunden also etwa 85870 Zerfälle
eingetreten.
2014-11-25
- Berechnen eines Flächeninhaltes zwischen Funktionsgraph und der
x-Achse
Der Graph der Funktion f(x)=-x2+6x-8 begrenzt im Intervall
[0;5] Flächenstücke mit der x-Achse, deren Gesamt-Flächeninhalt zu
berechnen ist.
Wichtig ist: Man darf nicht das Integral von 0 bis 5 der Funktion f(x)
bilden, da sich dann durch negativ und positiv orientierte
Flächeninhalte ein falscher Wert ergibt (im Beispiel a=-6,67).
Man muss als Grenzen die Begrenzungen des Intervalls und die Nullstellen
benutzen:
- Nullstellen berechnen:
- Integrieren:
- Grenzen einsetzen:
- Der Gesamtflächeninhalt ergibt sich aus den Beträgen der einzelnen
Flächeninhalte:
- Siehe zu diesen Berechnungen auch das Skript
Teil 8 auf den Seiten 7 und 8.
2014-11-27
- Flächeninhaltsbestimmung für Flächen zwischen 2 Graphen.
Mit der Formel
wird der Flächeninhalt einer Fläche, die sich zwischen 2 Graphen
befindet, berechnet.
Dabei kommt es nicht auf die Lage der x-Achse oder der y-Achse an (ob
also eine der Achsen durch eine Teilfläche verläuft).
- Schneiden sich die beiden Graphen mehrfach, so muss jeweils von
Schnittpunkt bis Schnittpunkt integriert werden.
Liegt f(x) oberhalb von g(x), so ist das Ergebnis positiv, sonst
negativ.
Für den Fall "Fläche zwischen Funktionsgraph von f(x) und x-Achse" gilt:
g(x)=0 beschreibt dann die x-Achse.
- Siehe zu diesem Thema auch das Skript
Teile 9 und 10 auf den Seiten 8 und 10.
2014-12-02
- Integration in Verbindung mit Funktionsscharen
Kommen neben den Variablen x und y und Zahlen auch Parameter (andere
Buchstaben) vor, so stehen diese für konstante Zahlen.
Durch Einsetzen verschiedener Werte ergeben sich unendlich viele
verschiedene Funktionen, die aber in bestimmten Eigenschaften
übereinstimmen.
- Wir haben 2 verschiedene Aufgabentypen in Verbindung mit solchen
Funktionsscharen kennen gelernt:
- Berechne den Flächeninhalt der Fläche, die von den Graphen der
beiden Funktionen fk(x)=k∙x2 und gk(x)=4k∙x+5k
vollständig eingeschlossen wird und gib den k-Wert an, für den der
Flächeninhalt den Wert 1 hat.
- Berechne das k, für das die Funktion mit der Gleichung die größte
Fläche mit der x-Achse einschließt.
2014-12-04
- Uneigentliche Integrale
Streben eine oder beide Grenzen des Integrals gegen Unendlich und
existiert ein endlicher Wert für das Integral, so nennt man das Integral
"uneigentliches Integral".
- 2 Beispiele:
- Flächenihalt der Fläche zwischen dem Graph mit der Gleichung y=1/x²
und der x-Achse im Intervall [1;∞[ :
- Flächenihalt der Fläche zwischen dem Graph mit der Gleichung y=1/√x
und der x-Achse im Intervall [0;1] :
2014-12-09
- Berechnung eines Bestandes durch
Integration der Veränderungsfunktion .
Beispiel: Den zurückgelegten Weg s kann man berechnen, wenn man die
Funktion kennt, die die Geschwindigkeit in Abhängigkeit von der Zeit
beschreibt.
Für konstante Geschwindigkeit gilt s=v∙t.
Für variables v gilt:
- Beispiel aus der Physik: Für konstante
Kraft F gilt für die Energie E: E=F∙s mit s als Weg, entlang dem die
Kraft F vorhanden ist.
Ist wie bei einer Schraubenfeder die Kraft proportional zum Weg
(Hookesches Gesetz), so gilt F(s)=D∙s mit D als Federkonstante.
Die Energie E berechnet sich nun aus
2014-12-11 und 2014-12-16
2015-12-18
- Klausur 2 [ Aufgaben | Lösungen ]
weiter mit Wachstumsprozesse