Unterrichtseinsichten - Schuljahr 2014/2015 - Mathematik 10e
Wachstumsprozesse - Grenzwerte
2014-09-12
- Potenzielles Wachstum
Auf dem Skulpturenpfad von Diepholz
zum Dümmer kommt
man bei den Fibonacci-Kuben
vorbei.
(Informationen zu Fibonacci
und der Fibonacci-Folge)
Die Fibonacci-(Zahlen-)Folge ergibt sich daraus, dass jede neue Zahl der
Folge aus der Summe der beiden vorangegangenen Zahlen gebildet wird:
Man beginnt mit 0 und 1. Dann ergeben sich die nächsten Zahlen der Folge
durch 0+1=1, 1+1=2, 1+2=3, 2+3=5, 3+5=8, 5+8=13, ...
Ist f(n) das n-te Element der Fibonacci-Folge, so wird die Folge
rekursiv definiert durch f(0)=0; f(1)=1; f(n)=f(n-2)+f(n-1).
Die explizite Darstellung lautet .
- Gefragt war nach Formeln, um die Gesamtlänge L(x) aller Kanten, die
Gesamt-Oberfläche O(x) und das Volumen V(x) eines Kubus zu berechnen und
vor allem auch des Würfels, der als nächster in der Reihe gebaut wird
und noch nicht ausgestellt ist (x ist die Seitenlänge eines Würfels).
Lösung: L(x)=12·x ; O(x)=6·x2 ; V(x)=x3
- Die beiden kleinsten Würfel haben jeweils die Seitenlänge 0,2m.
Damit haben die schon vorhandenen Würfel die Seitenlängen 0,2m ; 0,2m ;
0,4m ; 0,6m ; 1,0m ; 1,6m ; 2,6m.
Der nächste zu bauende Würfel besitzt also
die Seitenlänge 4,2m und damit
die Gesamt-Kantenlänge L(4,2m)=12·4,2m=50,4m,
die Gesamt-Oberfläche O(4,2m)=6·(4,2m)2=105,84m2
und
das Volumen V(4,2m)=(4,2m)3=74,088m3.
- Der größte Zahlenwert tritt hier bei der Oberfläche auf.
Gefragt war nun, für welche Würfel L, für welche O und für welche V den
größten Zahlenwert haben.
Dazu sollten die Graphen der Funktionen gezeichnet werden.
Hausaufgabe: Bestimmung der Schnittpunkte und damit der geforderten
Lösung.
2014-09-17
- Allgemein werden nun Funktionen der Art f(x)=xn untersucht:
Aufgabe: Klassifikation der Funktionen, also z. B.
- für welche n gibt es ähnliche Graphen?
- gibt es Punkte, die alle Graphen gemeinsam haben?
- gibt es Punkte, die nur ein Teil der Graphen gemeinsam hat?
- Zur Klassifikation der Potenzfunktionen haben wir uns die Graphen der
Funktionen f(x)=xn mit n∈R in GeoGebra angesehen:
-
- Download
der GeoGebra-Datei.
- Folgende Eigenschaften haben wir gefunden:
- Die Graphen aller Funktionen mit positivem geraden n sehen U-förmig
aus (Bild links) und laufen durch den Punkt C(-1/1).
- Die Graphen aller Funktionen mit positivem ungeraden n sehen so aus
wie die Kurve im Bild rechts und laufen durch den Punkt D(-1/-1).
- Die Graphen aller Funktionen laufen durch die Punkte A(0/0) und
B(1/1).
- Sonderfälle:
- Bei n=1 ergibt sich eine Ursprungsgerade der Steigung 1.
- Bei n=0 ergibt sich eine Parallele zur x-Achse beim y-Wert 1. DIe
Gerade hat eine Lücke bei (0/1), da ein Wert für 00 nicht
definiert ist.
2014-09-19
- Übungen zu Potenzfunktionen mit Exponenten aus dem Bereich der
natürlichen Zahlen.
- Einführendes Beispiel zu Potenzfunktionen mit negativem Exponenten
Aus einem Metallwürfel soll durch Ziehen ein Draht mit quadratischem
Querschnitt (Seitenlänge x) und der Länge L entstehen.
Gesucht ist die mathematische Funktion, die bei gegebenem Volumen die
Länge L in Abhängigkeit von der Seitenlänge x des Quadrates beschreibt.
Ansatz: V=x∙x∙L
Lösung: L(x)=V/x2=V∙x-2
- Klassifikation von Potenzfunktionen mit negativen ganzen Exponenten
- Die Graphen aller Funktionen mit negativem geraden n nehmen in der
Nähe der y-Achse sehr große Werte an und nähern sich der x-Achse im
Unendlichen immer weiter an.
Die Graphen laufen alle durch den Punkt (-1/1).
- Die Graphen aller Funktionen mit negativem ungeraden n verlaufen im
1. Quadranten etwa so wie bei positivem ganzzahligem Exponenten und
verlaufen im 3. Quadranten punktsymmetrisch zum 1. Quadranten.
Alle Graphen laufen durch den Punkt (-1/-1).
- Die Graphen aller Funktionen laufen durch die Punkte A(0/0) und
B(1/1).
- Sonderfälle:
- Bei n=1 ergibt sich die Normalhyperbel y=1/x.
- Bei n=0 ergibt sich eine Parallele zur x-Achse beim y-Wert 1. DIe
Gerade hat eine Lücke bei (0/1), da ein Wert für 00 nicht
definiert ist.
2014-09-24
- Potenzen mit Exponenten aus dem Bereich der reellen Zahlen R.
Zur Veranschaulichung die vorbereitete GeoGebra-Datei
herunterladen und mit Geogebra
starten.
2014-09-26
- Übung zum Verschieben von Graphen (Potenzfunktion mit negativem
Exponenten) im Koordinatensystem
- rote Kurve:
Exponent muss ungerade sein wegen des unterschiedlichen Verhaltens der
Kurve an der senkrechten Asymptote.
Kurve zu y=x-1 ist um 3 in x-Richtung und um 2 in
y-Richtung verschoben.
Geht man vom Schnittpunkt der Asymptoten um 1 nach rechts, beträgt bei
y=x-1 der y-Wert 1. Hier ist aber der y-Wert gleich 1/2.
Also Streckung mit 0,5.
Funktionsgleichung: y=0,5∙(x-3)-1+2
- grüne Kurve:
Exponent muss gerade sein wegen des gleichen Verhaltens der Kurve an
der senkrechten Asymptote.
Kurve zu y=x-1 ist um -3 in x-Richtung und um -1/2 in
y-Richtung verschoben.
Geht man vom Schnittpunkt der Asymptoten um 3 nach rechts, beträgt bei
y=x-1 der y-Wert 1/9. Hier ist aber der y-Wert gleich 1/2
(bei x=0). Also Streckung mit 9/2=4,5.
Funktionsgleichung: y=-4,5∙(x+3)-1-0,5
- Vergleich dreier Wachstumsprozesse (über die Möglichkeit einer
Realisierung des Beispiels wollen wir uns bitte nicht streiten!)
Ein Kanuverleih bietet einen maximal 18 Tage dauernden Ferienjob zu 3
Bedingungen an:
1. Am ersten Tag erhält man 8€, an jedem der darauf folgenden Tage 20€.
2. An jedem Tag erhält man 18€.
3. Am ersten Tag erhält man 2 Cent. An jedem der folgenden Tage erhält
man noch einmal so viel, wie man bisher insgesamt verdient hat.
Welches Angebot sollte man annehmen?
Hausaufgabe: Berechne für jede Arbeitsdauer von 1 Tag bis zu 18 Tagen,
welches Angebot am günstigsten ist.
Lösung mit Hilfe eines Tabellenblattes:
Funktionsgleichungen für die 3 Angebote:
1. Angebot: y=20∙(x-1)+8=20∙x-20+8=20∙x-12
2. Angebot: y=18∙x
3. Angebot: y=0,02∙2x-1=0,01∙2x
Weitere Betrachtungen zum Wachstumsverhalten dieser Funktionen in der
nächsten Stunde.
2014-10-01
- Exponentialfunktion f(x)=2x
Der Graph dieser Funktion verläuft von links kommend sehr nah an der
x-Achse (die x-Achse ist eine Asymptote), um dann im Bereich der y-Achse
immer weiter nach oben anzusteigen.
Experimentell haben wir mit dem Taschenrechner herausgefunden, wie wir
die Skalierung der y-Achse wählen müssen, damit wir den Funktionswert
bei x=10 abgebildet bekommen:
- Angenommen, man würde einen Papierstreifen um die ganze Erde legen,
darauf ein Koordinatensystem mit der Einheit 1 cm zeichnen und dann den
Graph der Funktion f(x)=2x abtragen. Wo würde man dann nach
der Umrundung der Erde wieder auf die x-Achse treffen?
Lösung: Die Erde hat den Umfang 40 000 km = 40 000 000 m = 4 000 000 000
cm.
Man muss also die Gleichung 2x=4 000 000 000 lösen. Da wir
noch nicht wissen, wie man diese Gleichung nach x auflösen kann, haben
wir das Ergebnis durch Probieren gefunden:
Der Papierstreifen müsste also nur um 2 cm breiter sein als eine
DIN A-4-Seite im Querformat!
Noch überraschender ist, dass die nächste Erdumrundung schon nach einem
einzigen weiteren cm auf die x-Achse trifft.
Der Graph verläuft, nachdem er erst einmal den Weg nach oben angetreten
hat, fast senkrecht, aber eben nur fast: Der Bereich ab etwa x=35 wäre
bis ins Unendliche ganz schwarz vor lauter Graph, weil beliebig große
x-Werte in die Gleichung eingesetzt werden können!
- Exponentielles Wachstum kann durch Funktionen der Art f(x)=a·bx
beschrieben werden, wobei b>1 sein muss.
Beispiel für f(x)=1000·1,03x
- Exponentielle Abnahme (oder Expoentieller Zerfall) kann durch
Funktionen der Art f(x)=a·bx beschrieben werden, wobei
0<b<1 sein muss.
Beispiel für f(x)=30·0,78x
2014-10-08
- Wiederholungen und Anwendungen zu Exponentialfunktionen der Form y=a∙bx:
Ist b>1, so liegt ein exponentielles Wachstum vor.
Ist b<1, so liegt eine exponentielle Abnahme vor.
- Prozentuales Wachstum
Herleitung des prozentualen Wachstums am Beispiel Sparen:
- Im Jahr 0 besitzt man das Kapital K(0)
- Im Jahr 1 ergibt sich das Kapital K(1) aus dem vorhandenen Kapital
K(0) und den Zinsen p/100·K(0) zu
K(1)=K(0)+p/100·K(0)=K(0)·(1+p/100)
- Im Jahr 2 ergibt sich das Kapital K(2) auf gleiche Weise aus dem
Kapital K(1):
K(2)=K(1)+p/100·K(1)=K(1)·(1+p/100)=K(0)·(1+p/100)·(1+p/100)=K(0)·(1+p/100)2
- Im Jahr 3 folgt auf gleiche Weise
K(3)=K(0)·(1+p/100)3
- Im Jahr n besitzt man also das Kapital
K(n)=K(0)·(1+p/100)n
- Bei prozentualem Wachstum um p Prozent besteht der Wert von b aus
1+p/100, bei einer Steigerung um 3% gilt z. B. b=1+3/100=1,03.
Bei prozentualer Abnahme um p Prozent besteht der Wert von b aus
1-p/100, bei einer Abnahme um 3% gilt z. B. b=1-3/100=0,97.
- Hausaufgabe: Zuordnung zwischen Funktionsgleichungen und
Exponentialkurven.
2014-10-10
- Erweiterung der Aufgabenstellung zu Exponentialfunktionen
Bislang haben wir Beispiele für den Fall gehabt, dass bekannt war, um
wieviel sich ein Bestand 1 Zeitschritt oder 1 Wegstück ändert.
Wenn ein Wachstumsfaktor für einen beliebigen Zeitschritt oder ein
beliebiges Wegstück gegeben ist, muss der Exponent geändert werden.
- Beispiel:
Eine Bakterienkultur vergrößert sich in 5 Tagen um das 2,7-fache. Zu
Beginn sind 130 Bakterien vorhanden. Wieviel Bakterien sind es nach 17
Tagen?
Die Gleichung y=130∙2,7x ist falsch, da dann schon nach 1 Tag
das 2,7-fache vorhanden wäre.
Man muss den Exponenten so ändern, dass jeweils nach 5 Tagen der
Exponent um 1 zunimmt.
Das geschieht durch Division von x durch 5: y=130∙2,7x/5,
denn wenn x=5, dann ist 5/5=1, bei x=10 ist 10/5=2 usw.
- Ergebnis
- Lösung der Aufgabe:
x=17 → y=130∙2,717/5=3807
- Man kann die Gleichung auch so umformen, dass im Exponenten nur x
steht:
Die Basis gibt jetzt den Wachstumsfaktor für 1 Zeitschritt bzw. 1
Wegschritt an.
2014-10-15
- Regression
Folgende Wertetabelle ist gegeben:
.
Es ist eine Funktionsgleichung gesucht, die die Abhängigkeit zwischen x
und y gut beschreibt.
Dazu werden zunächst die Werte graphisch dargestellt:
Da nicht eindeutig der Funktionstyp auszumachen ist, soll überprüft
werden, ob eine lineare Funktion, eine Exponentialfunktion oder eine
Potenzfunktion die Lage der Punkte am besten beschreibt.
- Mit STAT > CALC > 4:LinReg(ax+b) wird vom Rechner eine
Ausgleichsgerade durch die Punkte gelegt.
Abweichend vom folgenden Screenshot muss bei älteren Betriebssystemen
des GTR "LinReg(ax+b) L1,L2,Y1" eingegeben werden.
Hier muss man natürlich die Listen angeben, in die man die Werte
eingegeben hat.
L1 und L2 erhält man mit der 2nd-Taste, gefolgt von der 1- bzw.
2-Taste (es steht blau oberhalb der Taste L1 bzw. L2).
Y1 erhält man mit der ALPHA-Taste, gefolgt von der F4-Taste. Die
gewünschte Funktion kann dann mit Cursor und abschließendem ENTER
ausgewählt werden.
Das Komma erhält man über die Komma-Taste (oberhalb der 7-Taste).
Nach Durchführen der Regression (←Anpassung) Zeigt der Rechner die
Werte für a und b an.
Zusätzlich erhält man über den Wert für r eine Information, wie gut
die Anpassung ausfällt.
Ist r=1 oder r=-1, so ist die Anpassung perfekt. Ist r=0, so ist die
Anpassung vollkommen fehlgeschlagen.
Je näher der Wert an 1 oder -1 liegt, desto besser ist die Anpassung.
Zeigt der Rechner den Wert für r nicht an, kann das durch MODE >
STAT DIAGNOSTICS > ON angeschaltet werden.
- Mit STAT > CALC > 4:ExpReg wird vom Rechner der
Ausgleichsgraph einer Exponentialfunktion durch die Punkte gelegt.
Abweichend vom folgenden Screenshot muss bei älteren Betriebssystemen
des GTR "ExpReg L1,L2,Y1" eingegeben werden.
Weitere Informationen wie bei LinReg.
- Mit STAT > CALC > 4:PowReg wird vom Rechner der
Ausgleichsgraph einer Exponentialfunktion durch die Punkte gelegt.
Abweichend vom folgenden Screenshot muss bei älteren Betriebssystemen
des GTR "PowReg L1,L2,Y1" eingegeben werden.
Weitere Informationen wie bei LinReg.
- Auswertung
Der r-Wert bei LinReg ist zwar vielversprechend (0,993), aber man
sieht am Graph, dass die Punkte auf einer Linkskurve liegen.
Bei PwrReg ist der Graph anders gekrümmt als eine gedachte Kurve, die
durch die Punkte gelegt wird.
Also kommen eine lineare Funktion und eine Potenzfunktion für die
Annäherung nicht in Frage.
Die Exponentialkurve beschreibt den Verlauf der Punkte sehr gut. Man
sollte also als Näherungskurve eine Exponentialfunktion zu Grunde
legen.
2014-10-17
- Wiederholung zur Klassenarbeit 1
- Berechnung der Funktionsgleichung einer Exponentialfunktion bei
Kenntnis zweier Punkte eines Graphen
- Einsetzverfahren:
- Divisionsverfahren:
2014-10-22
2014-10-24
- Besprechung des Leistungsstandes
Parallel dazu: Regression an Beispielen zu exponenziellem und
potenziellem Wachstum (Besprechung dazu nach den Ferien)
2014-11-26
- Rückgabe der Klassenarbeit 1 [ Aufgaben
| Lösungen
]
- Vorgehen bei Regressionen mit dem Taschenrechner:
- STAT > EDIT : Eingeben der Werte in 2 Listen (z. B. in L1 und L2)
- 2nd > STAT PLOT, dort Plot einrichten
- WINDOW-Einstellungen
- GRAPH zeichnen lassen
- STAT > CALC , dort gewünschte Regression auswählen (z. B.
LinReg(ax+b) für eine lineare Funktion, ExpReg für eine
Exponentialfunktion, PwrReg für eine Potenzfunktion)
- Listen (z. B. L1 und L2) und die gewünschte Funktionsgleichung (z.B.
Y1) eingeben
- Mit GRAPH Regressionskurve zeichnen lassen
- Bewertung der Regression (Werden die Punkte gut angenähert? Passt
die Funktion zum beschriebenen Vorgang? Verhält sich der
Funktionsgraph so, dass er bei Extrapolationen zum gegebenen Vorgang
passt?)
- Aufgabe: Ein Guthaben von 50 € wird mit 3% jährlich verzinst. Wie
lange muss man warten, bis sich das Kapital verdoppelt hat?
Ihr habt durch Probieren mit Hilfe des Taschenrechners das Ergebnis
schnell gefunden:
In die Gleichung y=50·1,03x werden für x Werte eingesetzt,
die so gewählt werden, dass das Ergebnis für y sich immer besser an 100
annähert.
Kann man aber nicht einfach die Gleichung 100=50·1,03x oder
2=1,03x nach x auflösen?
Mit bekannten Hilfsmitteln geht das nicht.
Deshalb schreibt man die Lösung für x einfach als Aufgabe mit folgender
Schreibweise: x=log1,03 2 und meint damit, dass die Zahl x
gesucht wird, mit der man 1,03 potenzieren muss, um 2 zu erhalten.
Diese Festlegung sieht zunächst einmal eigenartig aus, ist aber gar
nicht so verschieden von der Wurzelschreibweise: x=∛8 bedeutet, dass man
die Zahl x suchen soll, die 3-mal mit sich selbst multipliziert 8
ergibt.
Und auch Brüche sind eigentlich Rechenaufgaben: x=5/7 bedeutet, dass
eine Zahl gesucht ist, die man erhält, wenn man 5 durch 7 dividiert.
Die Zahlen (Aufgaben) mit dem Zeichen log nennt man Logarithmen.
Das, was links und rechts des Doppelpfeils steht, ist genau dasselbe,
nur in anderer Schreibweise:
- Manche Logarithmen kann man auch ohne Taschenrechner berechnen (bzw.
in anderer Form darstellen)
Beispiele:
2014-11-28
- Herleitung mit Beweisen und Plausibilitätsbetrachtungen sowie Übungen
zu den Logarithmus-Formeln:
2014-12-03
- Anwendung zu den Rechengesetzen für Logarithmen:
Rechenstab: Das Multiplizieren von Zahlen kann auf das Addieren der
Logarithmen dieser Zahlen zurückgeführt werden. Mit dem Rechenstab
gelingt dieses Addieren der Logarithmen durch Aneinanderlegen zweier
logarithmischer Zahlen (genauere Beschreibung - auch für andere
Rechenarten - siehe Link).
Beschreibung
zu den Funktionen eines Rechenstabes.
- Lösungsverfahren für Gleichungen, bei denen x im Exponenten steht:
- mit Formeln aus der Potenzrechnung:
- mit Formeln aus der Logarithmenrechnung
- In beiden Fällen ergibt sich etwa -2,567.
2014-12-05
- Weitere Übungen zu Logarithmen
Aufgabe: Mit Informationen aus den Graphen sind die Gleichungen der
Exponentialfunktionen zu bestimmen und die Koordinaten des
Schnittpunktes der beiden Graphen zu berechnen.
Für den roten Graph liest man die Koordinaten (1/1) und (2/2) ab.
Daraus ergibt sich die Gleichung für den roten Graph:
Für den grünen Graph liest man die Koordinaten (0/2) und (-1/8) ab.
Daraus ergibt sich die Gleichung für den grünen Graph:
Berechnung des Schnittpunkts der beiden Graphen: die y-Werte müssen
gleich sein, damit auch die rechten Seiten der Gleichungen
2014-12-10
- Wiederholung zur Klassenarbeit
2014-12-12
2014-12-17
- Die Logarithmus-Graphen gehen aus den Graphen der
Exponenzialfunktionenhervor, wenn man diese an der 1. Winkelhalbierenden
spiegelt.
Grund Wandelt man die Gleichung einer Logarithmusfunktion um und tauscht
dieBezeichnungen x und y aus, so ergibt sich die Gleichung einer
Exponenzialfunktion.
Das Vertauschen von x und y bedeutet die Spiegelung der x- und y-Achse
an der 1. Winkelhalbierenden.
- Zur Klassifikation von Logarithmusgraphen siehe folgende GeoGebra-Datei
(Klick auf das Bild):
- Würde man ein Zeichenpapier rings um die Erde legen (40000km) und auf
diesesPapier mit dem Maßstab 1 Einheit - 1 cm die Logarithmuskurve mit
der Gleichung y=log2x zeichnen, wo würde man dann die y-Achse
treffen, wenn man einmal um die Erde herum gezeichnet hätte?
Lösung: In die Gleichung y=log2x für x den Erdumfang in cm
eintragen (4000000000cm) und dann y berechnen.
Es ergibt sich 31,9. Beim gewählten Maßstab würde alsofast eine
DIN-A4-Blatt-Höhe für das Papierband um die Erde reichen, u den Graphen
darauf unterbringen zu können.
Wir sehen daraus: Die Logarithmusfunktion ist eine Funktion, deren
Funktionswertenur sehr sehr langsam größer werden.
2015-01-07
- Folgen sind Funktionen, deren Definitionsbereich die natürlichen
Zahlen sind.
- Erstellen von expliziten und rekursiven Gleichungen für gegebene
Folgen
explizite Form: Aus einem gegeben n kann man unmittelbar den Wert des
Folgengliedes u(n) berechnen.
rekursive Form: Man bezieht sich zur Berechnung eines Folgengliedes u(n)
auf ein Folgenglied mit kleinerem n, also z. B. auf u(n-1). Damit man
einen definierten Anfang hat, wird ein Anker, z. B. u(1)=1 angegeben.
- Beispiel 1
- Die explizite Gleichung lässt sich einfach finden, weil die
Anzahla(n) der Punkte in den Figuren mit dem Quadrat der n-Werte
übereinstimmt:
a(n)=n2
- Zur rekursiven Gleichung überlegt man sich, dass bei wachsendem n
immer rechts und oben eine Spalte bzw. Zeile hinzugefügt wird, die n
Kreise enthält.
Zusammen wären das 2·n Kreise, wobei aber der Kreis oben rechts
doppelt gezählt wird.
Also kommen 2·n-1 Kreise dazu.
Es gilt also: a(n)=a(n-1)+2·n-1
Taschenrechner:
- Beispiel 2
- Die rekursive Gleichung lässt sich schnell finden, denn die Anzahl
der vorhergehenden Figur vergrößert sich jedesmal um n:
a(n)=a(n-1)+n
- Zur expliziten Darstellung:
Durch Probieren findet man: n2+n ist immer doppelt
so groß wie a(n), also gilt a(n)=0,5·(n2+n)
- Aufgabe: Zum Ansparen der Kostenm für einen Führerschein werden
jährlich 100€ auf ein Konto eingezahlt und mit dem vorhandenen Kapital
zu einem Zinssatz von 5% verzinst. Die Zinsen werden dem Kapital
hinzugefügt und werden mit verzinst. Nach wie viel Jahren überschreitet
das Kapital die 1500€-Marke?
- Würde nur zu Beginn ein einziges Mal 100€ eingezahlt, ergäbe sich
die Lösung aus der Gleichung u(n)=100·1,05n. n könnte dann
mit dem Logarithmus bestimmt werden.
- Im gegeben Fall ist aber die Nutzung einer rekursiven Form besser:
Mit u(1) wird das Kapital zur Zeit der Einzahlung bezeichnet:
u(1)=100.
Im zweiten Jahr ist das Kapital u(2)=u(1)·1,05+100 vorhanden,
im dritten Jahr sind es u(3)=u(2)·1,05+100 und
im n-ten Jahren sind es u(n)=u(n-1)·1,05+100.
Mit dem Taschenrechner kann man die Funktionswerte u(1), u(2), u(3),
usw. gut durch Folgen darstellen:
Mit MODE wird beim Taschenrechner der Modus FUNC (Funktion) in den
Modus SEQ (Sequenz=Folge) geändert.
Mit y= erscheint dann eine andere Eingabemaske, in die das minimale
n(nMin) und die Formel für u(n) eingetragen wird. Der Anfangswert wird
mit u(nMin) festgelegt.
Mit TABLE können dann die Folgenwerte betrachtet werden.
Nach 12 Jahren ist also das Geld angespart.
2015-01-09
- Wiederholung zu der expliziten und der rekursiven Definition von
Folgen.
- Sierpinski-Teppich
In Smartphones wird dir Antenne näherungsweise durch einen
Sierpinski-Teppich dargestellt:
Eine quadratische Platte wird in 9 gleich große Qudrate unterteilt. Das
mittlere Quadrat wird entfernt.
Diesen Prozess wiederholt man endlos für jedes kleinere Quadrat das
nicht entfernt wurde.
Gefragt ist, wie viel Abfall durch das Ausstanzen der Quadrate entsteht.
Für jeden Vorgang wird die aktuelle Abfallfläche durch den Wert eines
Folgengliedes angegeben, wobei n die Stufe des Prozesses angibt.
Geht man von einem großen Quadrat der Seitenlänge 1 aus (für andere
Längen müssen im weiteren einfach alle Längen mit einer Konstanten
multipliziert werden), so wird zu Beginn 1 Quadrat der Seitenlänge 1/3
entfernt. Die Fläche ist dann u(1)=1/9.
Im nächsten Schritt wird aus allen 8 restlichen Quadraten der
Seitenlänge 1/3 das Quadrat mit der Seitenlänge 1/92 aus der
Mitte entfernt. Es ergibt sich die Abfallmenge u(2)=1/9+8∙1/92.
Nun bleiben 8∙8 Quadrate übrig, aus denen jeweils ein Quadrat der Fläche
1/93 entfernt wird: u(3)=1/9+8∙1/92+82∙1/93.
Für den nächsten Schritt gilt: u(4)=1/9+8∙1/92+82∙1/93+83∙1/94.
Man erkennt das rekursive Bildungsgesetz der zugrunde liegenden Folge:
u(n)=u(n-1)+8n-1/9n ; u(1)=1/9
Mit der TABLE-Funktion des Taschenrechners werden einige Werte
berechnet:
Überraschendes Ergebnis: Es bleibt vom gesamten Material nichts übrig.
2015-01-14
- Begrenztes Wachstum
Bei Wachstums- und Zerfallsprozessen verläuft die Zunahme bzw. die
Abnahme oft so, dass die Zu- bzw. Abnahme proportional zu dem Betrag
ist, der an einem bestimmten Wert, dem Grenzwert, noch fehlt.
Wartet man sehr lange, so wird der Bestand sich immer mehr diesem
Grenzwert annähern, ohne ihn wirklich zu erreichen.
Also: Mit dem Proportionalitätsfaktor q wird die Differenz von Grenzwert
G und Wert g (zur Zeit t-1) multipliziert. Das Ergebnis wird zum Bestand
g (zur Zeit t) addiert:
- Beispiele:
- Eine Flasche Wasser mit Kühlschranktemperatur (4°C) wird auf den
Tisch gestellt. Die Raumtemperatur beträgt 23°C.
Das Wasser erwärmt sich in jeder Minute um 10% der Temperatur, die an
der Zimmertemperatur von 23°C noch fehlt.
Nach wie viel Minuten besitzt des Wasser eine Temperatur von 20°C?
Lösung: Rekursionsgleichung: g(t)=g(t-1)+0,1∙(23-g(t-1)) ; g(0)=4 ;
gesucht ist t für g(t)=20.
In den Taschenrechner wird die Gleichung als
u(n)=u(n-1)+0.1*(23-u(n-1)) eingegeben.
Nach 18 Minuten ist die Temperatur zum ersten Mal auf über 20°C
gestiegen.
- Eine Tasse mit heißem Kakao (Temperatur 85°C) steht in einem Raum
mit der Zimmertemperatur 23°C. Die Abkühlung des Kakos geschieht so,
dass in jeder Minute die Temperatur um 15% des Temperaturunterschieds
Kakao-Zimmer sinkt. Nach wie viel Minuten beträgt die Temperaurdes
Kakaos 30°C?
Lösung: Rekursionsgleichung: g(t)=g(t-1)+0,15∙(23-g(t-1)) ; g(0)=85 ;
gesucht ist t für g(t)=30.
In den Taschenrechner wird die Gleichung als
u(n)=u(n-1)+0.15*(23-u(n-1)) eingegeben.
Nach 14 Minuten ist die Temperatur zum ersten Mal auf unter 30°C
gesunken.
- Eine Baum der Höhe 2m wird gepflanzt. Seine maximal erreichbare Höhe
beträgt 60m. Der Baum wächst so, dass er jedes Jahr um 4% der an 60m
fehlenden Höhe zulegt.
Nach wie viel Jahren ist der Baum 50m hoch?
Lösung: Rekursionsgleichung: g(t)=g(t-1)+0,04∙(60-g(t-1)) ; g(0)=2 ;
gesucht ist t für g(t)=50.
2015-01-16
- Rückgabe der Klassenarbeit 2 [ Aufgaben
| Lösungen
]
- Besprechung der Zeugnisnoten.
Parallel dazu Durcharbeiten des Kapitels "Grenzwert" (Buch Seiten
120-121)
2015-01-21
- Grenzwert
Eine Folge hat einen Grenzwert, wenn sich die Werte der Folgenglieder
immer mehr einen bestimmten Wert, dem Grenzwert, nähern.
Ob dieses "immer mehr annähern" wirklich zutrifft, kann man so
überprüfen:
Wenn man sich einen beliebig kleinen aber positiven Wert ε>0 denken
kann, so dass sich ab einem bestimmten Folgenglied n0 alle
weiteren Folgenglieder um weniger als ε von einem Wert g unterscheiden,
dann besitzt die Folge den Grenzwert g. In Formeln:
g ist der Grenzwert einer Folge, wenn es für jedes noch so kleine ε>0
ein n0 gibt, sodass für alle n>n0 gilt:
|a(n)-g|<ε.
- Schreibweise für den Granzwert g:
Sprechweise: Der Grenzwert g ergibt aus dem Limes für n gegen Unendlich
von der Folge a(n).
- Beispiele:
- Diese Folge hat keinen
Grenzwert, da für wachsendes n der Term über alle Grenzen wächst.
- Diese Folge hat den Grenzwert
3, da der Summand 1/n für große n gegen 0 geht.
- Um den Grenzwert dieser
Folge zu erkennen, sollte man zunächst denBruch mit n kürzen, d.h. den
ganzen Zähler und den ganzen Nenner durch n dividieren.
Im Nenner wird
der Bruch 1/n für n gegen Unendlich zu 0, d.h. esbleibt nur der Bruch
3/1=3 übrig. Grenzwert der Folge ist also 3.
2015-01-23
- In der vorletzten Stunde haben wir das begrenzten Wachstum
kennengelernt, bei dem der Zuwachs proportional zu dem Wert ist, der am
Grenzwert (dem maximalen Wert) noch fehlt.
- Beispiel:
Unsere Schule besuchen 840 Schüler. 6 Schüler denken sich ein Gerücht
aus und verbreiten dieses in der großen Pause (20 Minuten).
Modell: In jeder Minute soll die Anzahl der "Wissenden" um 10% von der
Anzahl der noch "Unwissenden" zunehmen.
Gefundene Rekursionsgleichung und Graph:
u(0)=6 ; u(n)=u(n-1)+0,10·(840-u(n-1))
Die waagerechte punktiete Linie am oberen Bildrand zeigt den Grenzwert
an. Man sieht, dass nach beendigung der Pause immer noch einige Schpler
nichts vom Gerücht gehört haben.
Kritik am Modell "begrenztes Wachstum": Zu Beginnn scheint der
Verbreitungsgrad am größten zu sein. Das können die 6 Schüler aber gar
nicht leisten. Wie bei der Verbreitung von Krankheiten gilt auch hier,
dass zunächst die Anzahl der "Wissenden" exponentiell steigt und dann
erst in ein begrenztes Wachstum übergeht. Ein besser angepasstes Modell
ist
- Logistisches Wachstum
Folgende Gesetzmäßigkeit legt man zu Grunde:
Der Zuwachs z ist proportional zur vorhandenen Menge (z~u(n-1)) und ist
auch proportional zur noch ausstehenden Menge (z~840-u(n-1)).
Zusammen gilt also z~u(n-1)·(840-u(n-1)) oder z=q·u(n-1)·(840-u(n-1))
mit q als Wachstumsfaktor. Für q gilt die Bedingung q<1/G mit G als
Grenzwert oder im speziellen Fall q<1/840=0,00119.
Die rekursiv definierte Folge für dieses spezielle Wachstum ist dann z.
B.: u(0)=6 ; u(n)=u(n-1)+q·u(n-1)·(840-u(n-1))
Gesucht ist der Wachstumsfaktor, bei dem nach 20 Minuten (fast) alle
Schüler von dem Gerücht gehört haben.
Der Wachstumsfaktor 0,0006 liefert das gewünschte Ergebnis.
- Das Wachstum nach diesem Modell nennt man logistisches Wachstum
Allgemeine Rekursionsgleichung für das logistische Wachstum mit A als
Anfangswert, q als Wachstumsfaktor und G als Grenzwert:
u(0)=A ; u(n)=u(n-1)+q·(u(n-1)·(G-u(n-1))
weiter mit Differentialrechnung