Unterrichtseinsichten - Schuljahr 2013/2014 - Mathematik 10e
Differentialrechnung
2013-11-29
- Beim Interpretieren von Graphen ist oft das Verhalten des Graphen
für anwachsendes x gefragt.
Für Geraden ist klar: Die Steigung m gibt das Maß für
das Wachsen oder Abnehmen an.
Bei gebogenen Kurven ist die Antwort schwieriger, weil es nicht eine
einheitliche Steigung gibt (anschaulich: man kann kein Steigungsdreieck
an die Kurve legen).
Man legt nun fest: Die Steigung einer Kurve in einem Punkt des Graphen
ist identisch mit der Steigung der Tangente in diesem Punkt.
Eine Sekante (=Gerade, die eine Kurve in 2 Punkten schneidet) gibt die
Steigung der Kurve in einem Punkt zwischen den beiden (nicht zu weit
voneinander entfernten) Schnittpunkten näherungsweise an.
- Die Steigung einer Tangente in einem Punkt P0 soll (zum
Beispiel bei einer Normal-Parabel f(x)=x2) rechnerisch
bestimmt werden.
Eine Tangente hat aber nur einen Punkt mit der Kurve gemeinsam, sodass
man keine 2 Punkte für das Steigungsdreieck finden kann.
Man nimmt deshalb neben dem Punkt P0 noch einen weiteren
Punkt P auf der Kurve an und bestimmt für die Sekante durch diese
Punkte die Steigung.
Diese Steigung stimmt zwar nicht mit der Tangentensteigung überein,
aber sie ist doch näherungsweise gleich der Tangentensteigung.
Die Übereinstimmung mit der Tangentensteigung ist umso
größer, je dichter der Punkt P an P0 liegt.
Beim Grenzprozess P gegen P0 wird dann die Sekantensteigung
zur Tangentensteigung.
- Visualisierung mit einem GeoGebra-Arbeitsblatt:
Zur Bedienung des Arbeitsblattes bitte den Text zum Arbeitsblatt
beachten.
- Rechnung zur Bestimmung der Tangentensteigung:
Sekantensteigung mS:
Um die Tangentensteigung zu erhalten, muss man den Punkt P gegen den
Punkt P0 wandern lassen.
Damit wird auch x gegen x0=2 wandern.
Rechnung dazu:
2013-12-02
- Die Sekantensteigung mS nennt man auch
"Änderungsrate", weil sie angibt, um wieviel sich der Funktionswert
beim Anwachsen des x-Wertes verändert.
- Die Tangentensteigung mt nennt man auch "Ableitung der
Funktion f an der Stelle x0" und schreibt das als f '(x0)
oder auch einfach y '.
Gesprochne wird f '(x0) als f-Strich-von-x-Null und y ' als
ypsilon-Strich.
- Da es zu umständlich ist, immer wieder wie in der letzten Stunde
die Ableitung zu berechnen, wird ein einziges Mal mit der beliebigen
Stelle x0 gerechnet und man hat dann eine Formel für
alle x-Werte:
Ableitung der Funktion f(x)=x2 an der Stelle x0:
Man erhält also die Steigung einer Normalparabel an der Stelle x,
indem man den x-Wert verdoppelt.
- Übung zur Bildung der Ableitung mit Hilfe der Änderungsrate:
2013-12-06
- Mathematische Sachverhalte lassen sich in verschiedener Schreibweise
darstellen.
Beispiel: Der Differenzenquotient lässt sich zum Beispiel auf
folgende (aber auch noch ganz andere) Arten schreiben:
Welche Schreibweise man wählt, hängt ganz von dem Problem ab,
was man gerade bearbeitet.
Wichtig ist: Im Zähler steht die Differenz von 2 Funktionswerten,
im Nenner die Differenz der entsprechenden x-Werte.
- In der nächsten Zeit werden wir folgende Schreibweise für
die Ableitung und den Differenzenquotienten verwenden:
Ableitung der Funktion f an der Stelle x0:
- Differenzenschreibweise:
- h-Schreibweise:
- Lösung der Hausaufgabe mit beiden Schreibweisen
Gesucht war die Ableitung der Funktion f(x)=(x+3)2-4 an der
Stelle x0.
- Differenzenschreibeweise (Vorteil: Einsetzen der Funktionsgleichung
ist einfach; Nachteil: Es muss mit (x-x0) gekürzt
werden):
- h-Schreibweise (Vorteil: Das Kürzen mit h ist sehr einfach;
Nachteil: Das Auflösen von f(x0+h) ist schwieriger):
Vorbereitung:
Ableitung:
2013-12-09
- Wiederholung zur Mathematikarbeit
Themen der Arbeit werden sein (Buch: Seiten 107 bis 130 und Seiten 136
bis 151)
- Folgen
- Grenzwert
- explizite Darstellung von Folgen
- rekursive Darstellung von Folgen
- Überlagerung von exponentiellem und linearem Wachstum
- begrenztes Wachstum
- logistisches Wachstum
- Änderungsrate, Differenzenquotient, Ableitung
- Einige Rechen-Beispiele:
- Suche den Grenzwert der Folge:
- Ableitung der Funktion f(x)=2x2-4 an der Stelle x0=-1
- 1. Methode: x → x0
- 2. Methode: h →0
2013-12-16
2014-01-06
- Rückgabe der Klassenarbeit 2 [ Aufgaben
| Lösungen
]
- Wiederholung zum und Berechnungen mit dem Differenzenquotienten zur
Bestimmung der Ableitung spezieller Funktionen:
- Ableitung der Hyperbel-Funktion
- Ableitung der Funktion 3. Grades
- Übersicht über die bisher gebildeten Ableitungen:
Eine Regelmäßigkeit lässt sich zwischen den einzelnen
Funktionen noch nicht so gut erkennen.
Mehr Erfolg hat man, wenn man die Funktions- und Ableitungsgleichungen
umformt:
Hier sieht man:
1. Bei den Funktionsgleichungen wächst der Exponent von oben nach
unten immer um 1 an.
2. Bei den Ableitungsgleichungen wächst der Koeffizient von oben
nach unten immer um 1 an.
3. Bei den Ableitungsgleichungen wächst der Exponent von oben nach
unten immer um 1 an.
4. Der Exponent bei der Funktionsgleichung und der Koeffizient bei der
Ableitungsgleichung stimmen überein.
5. Der Exponent bei der Ableitungsgleichung ist immer um 1 kleiner als
der Koeffizient.
Vermutung: Für alle nϵZ gilt:
2014-01-10
2014-01-13
- Während der Notenbesprechung habt Ihr Euch über die
Sinusfunktion f(x)=a·(b·x+c)+d informiert.
Ob Ihr richtige Vorstellungen vom Kurvenverlauf in Abhängigkeit von
den Parametern habt, könnt Ihr mit diesem Trainingsprogramm
untersuchen
oder aber auch mit GeoGebra.
- Hausaufgabe: Graphisches Differenzieren der Sinuskurve mit der
Funktionsgleichung f(x)=sin x.
2014-01-17
- Die allgemeine Sinusfunktion, ihr Graph und die Ableitung der
Sinusfunktion
- Allgemeine Sinusfunktion der Art f(x) = a·sin(b·(x-c))+d
a: Streckfaktor in y-Richtung
b: Streckfaktor in x-Richtung
c: Verschiebung in x-Richtung
d: Verschiebung in y-Richtung
Mit folgendem GeoGebra-Arbeitsblatt
lassen sich die Abhängigkeiten untersuchen:
- Die graphische Ableitung der Sinusfunktion ergab die Kosinusfunktion,
vom Graph her gesehen also eine Verschiebung um -90° oder -π/s in
x-Richtung.
Wir haben gefolgert:
f (x) = sin(x)
f '(x) = cos(x)
f ' '(x) = - sin(x)
f ' ' '(x) = - cos(x)
f ' ' ' '(x) = sin(x)
Überprüfung dieser Überlegungen mit einem
GeoGebra-Arbeitsblatt.
Zusätzlich haben wir schon einmal experimentell untersucht, wie
sich die Wahl der Parameter in der allgemeinen Sinusfunktion auf die
Ableitungen auswirkt:
Änderung von a bewirkt eine gleichartige Änderung bei der
Ableitungsfunktion.
Änderung von b bewirkt eine gleichartige Streckung in x-Richtung
und eine Streckung in y-Richtung um das a2-fache.
Änderung von c bewirkt eine gleichartige Verschiebung in x-Richtung
Änderung von d bewirkt bei den ABleitungen keine Änderung.
2014-01-20
- Differenzierbarkeit von Funktionen
- Besitzt ein Funktionsgraph "Knicke", so kann man die Funktion nicht
differenzieren.
Begründung: An den Stellen, an denen sich Knicke befinden, kann
man nicht eindeutig eine Tangente anlegen.
Anschaulich: Durch den Punkt an einem Knick laufen unendlich viele
Geraden, die in der Umgebung des Knicks genau einen Punkt mit der
Kurve gemeinsam haben, also im Prinzip Tangente sein könnten.
Damit wäre aber die Ableitungsfunktion an dieser Stelle nicht
genau definiert.
Beispiel: Die Funktion f(x)=|x| besitzt bei x=0 einen Knick und ist
deshalb nicht differenzierbar, Siehe dazu den Ableitungsgraph, der in
der Nähe von x=0 die y-Werte +1 und -1 besitzt.
- Besitzt der Funktionsgraph Sprungstellen, so ist die Funktion (auch,
wenn die Steigungen an den Sprungstellen übereinstimmen) nicht
differenzierbar.
Beispiel:
Die Ableitungswerte bilden zwar insgesamt eine Parabel, an der
Nahtstelle bei x=1 kann aber keine Tangente angelegt werden, da der
Grenzwert der Sekantensteigungen nicht existiert, wenn man Punkte auf
beiden Seiten der Sprungstelle benutzt.
- Herleitung von Ableitungsregeln
2014-01-24
- Kettenregel bei linearer innerer Funktion
Die Ableitung der Funktion f(x)=(3x-5)2 ist durch
Ausmultiplizieren und anschließendes Ableiten mit den bekannten
Ableitungsregeln leicht zu finden:
f(x)=(3x-5)2=9x2-30x+25 → f '(x)=18x-30
- Das GeoGebra-Arbeitsblatt erlaubt ein experimentelles
Überprüfen der Ableitungsregel:
Am Beispiel f(x)=(3x-5)² soll die Kettenregel für den
Spezialfall "lineare innere Funktion" gezeigt werden.
Ausgehend von der Funktion f1(x)=x² wird der Graph um 5 nach rechts
verschoben: f2(x)=(x-5)². Die Multiplikation von x mit 3 staucht
den Graph auf 1/3 zum Graph von f(x)=(3x-5)². Das Stauchen bewirkt
eine größere Steigung des Graphen um den Faktor 3.
Für die experimentelle Untersuchung dient der Punkt A1, der auf dem
Graph von f1(x) verschoben werden kann. An den entsprechenden Stellen
der Graphen werden Steigungsdreiecke angezeigt, die die
unterschiedlichen Steigungen bei den Punkten anzeigen.
Die Funktionsgleichung kann mit den Schiebereglern abgewandelt werden.
Ableitungsregel: f(x)=u(a·x+b) → f '(x)=a·u'(a·x+b)
2014-01-27
- Es gibt eine einfache Methode, um an eine Parabel eine Tangente zu
legen:
Man zeichnet durch den Berührpunkt eine Parallele zur x-Achse und
spiegelt deren Schnittpunkt mit der y-Achse an der x-Achse.
Die Gerade durch den Bildpunkt und den Berührpunkt ist dann die
Tangente.
Um die Gültigkeit dieser Konstruktion zu zeigen, wird die
allgemeine Form einer Tangentengleichung aufgestellt:
Beachtet man, dass
1. eine Tangent eine Gerade ist < t(x)=m·x+b >,
2. der Berührpunkt zum Graph der Funktion und zur Tangente
gehört < f(a)=t(a) > und
3. die Steigungen der Funktion und der Tangente im Berührpunkt
gleich sind < f '(a)=t '(a) >,
so gilt:
Angewendet auf eine Parabel der Gleichung f(x)=x2 mit f
'(x)=2·x ergibt sich: ta(x)=2·a·(x-a)+a2=2ax-2a2+a2=2ax-a2
.
Diese Tangente hat ihren y-Achsenabschnitt bei -a2 und den
Berührpunkt beim y-Wert a2.
Die Konstruktionsvorschrift oben ist also korrekt.
- Wird über ein Förderband auf einen Sand- oder Kieshaufen
(Schüttkegel) weiteres Material gegeben, so scheint die Höhe
des Kegels sich fast nicht zu ändern.
Für die Höhe h und den Radius eines Schüttkegels gilt
etwa .
Das Volumen V eines Kegels berechnet sich zu .
Wie entwickelt sich die Höhe h mit kontinuierlich zunehmendem
Volumen V?
Dazu wird h in Abhängigkeit von V dargestellt: .
Die Ableitung von h nach V ergibt die Änderungsrate für h: .
Man erkennt, dass mit wachsendem V die Änderung von h beliebig
klein wird.
Veranschaulichung mit GeoGebra:
Bei einem größten Durchmesser des Schüttkegels von 20 m
beträgt der Radius 10 m und die Höhe 15 m.
Daraus folgt ein Volumen von etwa 1570 m3.
Entsprechender Ausschnitt mit GeoGebra:
Wird alle 10 Minuten 1 m3 Material aufgeschüttet, so
ändert sich dabei die Höhe lediglich um 0,003 m bis 0,004 m,
also um 3 mm bis 4 mm!
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