Unterrichtseinsichten - Schuljahr 2012/2013 - Mathematik 12ma3g
Analysis II
2013-01-08
- Wiederholung zu den Themen Kurvenanpassung und Integralrechnung
Ein Form eines Sektkelchs wurde so gewählt, dass die
äußere und die innere Begrenzung durch eine ganzrationale
Funktion 2. Grades angenähert werden kann.
Die Maße sind aus den Werten des Koordinatensystems abzulesen.
Gesucht sind die Funktionsgleichungen für die Randbegrenzung des
Kelchs und die Menge des verwendeten Glases (in Volumeneinheiten).
Allgemeine Form der Funktionsgleichungen: y=a·x2+b·x+c.
Da die Kurve symmetrisch zur y-Achse liegt, mus b=0 sein.
Die Funktionsgleichung vereinfacht sich also zu y=a·x2+c.
Die innere Begrenzungskurve y1 besitzt die Punkte P1(2/0) und Q1(0/-12).
Daraus folgt: 0=4a+c und -12=c und weiter 0=4a-12 → 4a=12 → a=3
Also gilt y1=3·x12-12
Die äußere Begrenzungskurve y2 besitzt die Punkte P2(2/0) und Q2(0/-16).
Daraus folgt: 0=4a+c und -16=c und weiter 0=4a-16 → 4a=16 → a=4
Also gilt y2=4·x22-16
Das Volumen des verwendeten Glases lässt sich über Rotationsvolumina berechnen:
Rotieren die äußere und die innere Kurve um die y-Achse, so schließen sie jeweils ein Volumen ein.
Die Differenz dieser beiden Volumina gibt das Volumen der Glasmasse.
Da nur die Formel für das Rotationsvolumen für die Rotation
um die x-Achse bekannt ist, werden die x- und y-Achse vertauscht: Die
Funktionsgleichungen werden nach x aufgelöst. Dann vertauscht man
die Bezeichnungen von x nach y und von y nach x:
Innere Begrenzungskurve:
Äußere Begrenzungskurve:
Anwenden der Formel für das Rotationsvolumen auf die beiden Gleichungen:
Innere Begrenzungskurve:
Äußere Begrenzungskurve:
Die Differenz ergibt das Volumen der Glasmenge: V=32·π-24·π=8·π≈25,1.
2013-01-10
2013-01-15
- Weitere Übung zum Thema Integralrechnung (mit Parameter).
- Wiederholung zur Definition von Exponentialfunktionen.
2013-01-17
- Wiederholung zu Exponentialfunktionen und zum Logarithmus
- Wachstumsverhalten eines Kapitals.
- Kontinuierliche Verzinsung
Grenzwertformel für e:
- Rechenregeln für Logarithmen
- Kopfrechenaufgaben zu Logarithmen
2013-01-29
- Übungen zur Integralrechnung mit Bezug zur e-Funktion
2013-02-05
- Wiederholung zum Logarithmus und Besprechung zum Ableiten und Integrieren der e-Funktion und der ln-Funktion.
Siehe dazu diese Einführung.
- exponentielle Wachstumsfunktionen
Bekannt ist die Wachstumsfunktion für den Fall, dass sich in einem
Zeitschritt x die Anzahl einer vorhandenen Menge jeweils verdoppelt:
y=c·2x.
Bei einer Verdreifachung oder Vervierfachung heißt die Basis der Potenz dann 3 oder 4.
Häufig wird stattdessen ausschließlich mit der Basis e
gerechnet. Jede Potenz lässt sich mit der Basis e schreiben:
- Allgemein sieht die Gleichung einer exponentiellen Wachstumsfunktion also so aus: y=c·ek·x=c·eln(a)·x, wobei a der Vervielfachungsfaktor für eine Zeiteinheit ist.
- Beispielaufgabe:
In einem Teich ist eine Fläche von 5m² von Algen bedeckt. Die
Algen vermehren sich so stark, dass sich nach jeweils einer Woche die
von Algen bedeckte Fläche verdoppelt hat. Die Gesamtfläche
des Sees beträgt 500m². Wie lange dauert es, bis der See ganz
bedeckt ist?
Lösung:
Nach etwas mehr als 6,5 Wochen ist also der See gefüllt.
2013-02-07
- Übungsaufgaben zum Thema exponentielles Wachstum.
- Hausaufgabe: Seiten 158/159 Aufgaben 7 und 8
2013-02-12
- Begrenztes Wachstum
- Einführende Aufgabe:
Der Kaffee in einer Tasse hat die Temperatur ϑ=90°C. Die
Zimmertemperatur beträgt 20°C. In 1 Minute nimmt die
Temperatur des Kaffees um 20% bezogen auf den Unterschied zur
Raumtemperatur ab.
Zu berechnen ist, wann die Temperatur 40°C beträgt.
Lösung: Die bisher benutzte Wachstums- und Zerfallsgleichung ϑ=a·ek·t
kann hier nicht benutzt werden, da dann für sehr große
t-Werte die Temperatur gegen 0°C gehen würde. Addiert man zum
rechten Term aber noch die Zimmertemperatur, so geht für
große t die Temperatur gegen diesen Wert: ϑ=a·ek·t+ϑZimmer.
Aus t=0 folgt ϑ=90°C, aus t=1 folgt ϑ=90°C-0,2·70°C=76°C.
Diese beiden Bedingungen gestatten es, die Parameter a und k zu
bestimmen. Dann kann auch leicht die gestellte Frage beantwortet werden.
Rest der Aufgabe als Hausaufgabe.
2013-02-14
- Lösung der Hausaufgabe:
Man muss also knapp 6 Minuten warten, bis der Kaffee die richtige Temperatur hat.
- Formeln für das begrenzte Wachstum und das logistische Wachstum
2013-02-19 und 2013-02-21
- Übungsaufgaben zu begrenztem und logistischem Wachstum
2013-02-26
2013-02-28
- Wiederholung zur Klausur (Tafelbilder auf Moodle)
2013-03-05
2013-03-07
2013-03-12
- Rückgabe der Klausur 3 [ Aufgaben | Lösungen ]
- Wiederholung zum Abitur.
Zum Taschenrechner und für einige weitere wichtige Informationen bitte bei Moodle nachsehen!
2013-03-14