Unterrichtseinsichten - Schuljahr 2012/2013 - Mathematik 9e
Potenzen
2012-09-05
- Werden Rechnungen oder andere Vorgänge immer wiederholt, so benutzt man dafür oft Abkürzungen.
Beispiele:
- LG bedeutet in Mails "liebe Grüße"
- Wiederholungen in der Musik:
- 3+3+3+3+3 = 5·3 : Die Multiplikation ist eine Abkürzung für viele gleiche Additionen.
- Für viele gleiche Multiplikationen hat man die Potenzdarstellung erfunden:
Die Potenz 53 bedeutet, dass die 5 3-mal mit sich selbst multipliziert werden muss.
- Da zu einer Multiplikation mindestens 2 Faktoren nötig sind,
muss der Exponent wenigstens den Wert 2 annehmen und natürlich
auch ganzzahlig sein.
Beispiele: 26=2·2·2·2·2·2=64 ; 72=7·7 = 49 ; 33=3·3·3=27
- Richtig interessant wird Mathematik immer dann, wenn man anfängt, Grenzen zu überschreiten.
Hier z.B.: Warum soll man nur die Zahlen 2, 3, 4, ... als Exponenten
benutzen, warum nicht auch 1, 0 oder negative Zahlen wie -5?
Kann man sinnvoll Ergebnisse für Rechnungen wie 50, 71, 3-6 angeben?
- Wir haben versucht, von bekannten Werten aus in die "verbotene" Zone vorzudringen.
Dazu sollten folgende Rechnungen sinnvoll fortgesetzt werden:
Es fällt auf, dass links der Exponent immer um 1 verringert wird
und rechts die Zahlen von Zeile zu Zeile immer durch 3 dividiert werden.
Setzt man entsprechend die Rechnung fort, so erhält man:
Ergebnis:
Es ist anscheind sinnvoll, für 31 (auch weil 3 genau 1-mal vorkommt) den Wert 3 zu schreiben.
Es ist anscheind sinnvoll, für 30 den Wert 1 zu schreiben.
Es ist anscheind sinnvoll, für einen negativen Exponenten den
Kehrwert der Basis zu nehmen und dann diesen Wert mit dem positiven
Exponenten zu versehen.
- Gegen Ende der Stunde haben wir uns überlegt, ob man wohl für 00 auch einen "vernünftigen" Wert angeben kann.
Eine ähnliche Überlegung wie oben ergab folgende 2 Ergebnisse:
Da einmal 00=0 und dann 00=1 herauskommt, ist 00 mehrdeutig. Daher sagt man, 00 sei nicht definiert und es gibt deshalb keinen Wert für 00.
Später werden wir aber sehen, dass wir bei Grenzwerten auch in
diesem Fall einen Wert angeben können, der aber vom Verhalten der
betrachteten Variablen in der Nähe von 0 abhängig ist.
2012-09-10
- An Aufgaben aus dem Lehrbuch haben wir einige wichtige Erkenntnisse gewonnen:
- Bei Potenzen gilt nicht das Kommutativgesetz, also gilt im Allgemeinen ab≠ba.
- Soll eine negative Zahl potenziert werden, muss man das Vorzeichen und die Zahl in Klammern setzen: (-5)4=+625, aber -54=-625
- Bei Mehrfachpotenzen müssen immer Klammern gesetzt werden:
- Wird bei einem Wachstumsvorgang die Menge in gleichen Zeiten
immer wieder verdoppelt, so kann man den Wachstumsverlauf mit der
Funktionsgleichung y=N·2x beschreiben, wobei N die Ausgangsmenge ist und x die verflossene Zeit (siehe Aufgabe mit den Salmonellen).
- Während bei Einheiten die Vorsätze k (Kilo), M (Mega),
G (Giga) usw. für das Multiplizieren mit 1 000, 1 000 000 und 1
000 000 000 stehen,
gilt in der Computertechnik für die Einheit Byte: 1 kB = 1024 Byte, 1 MB = 1024 kB, 1 GB = 1024 MB.
- Hausaufgabe: Seite 129 Aufgabe 125.
2012-09-12
- Übungen zur wissenschaftlichen Darstellung von Zahlen in der Form 2,345·1067 und zu Potenzen mit negativen Hochzahlen.
- Hausaufgabe: Seite 132 Aufgabe 14 ganz
2012-09-19
- Die Hausaufgabe hat vielen von Euch Schwierigkeiten bereitet.
Es ging darum, einen Bruch mit Hilfe von negativen Exponenten so zu schreiben, dass kein Nenner mehr auftritt.
4 Beispiele:
Merkregel: Bei allem, was unten im Nenner steht, wird die Gegenzahl des
Exponenten geschrieben und das Ergebnis geschlossen mit dem Zähler
multipliziert.
Als Bild:
In der roten Ellipse und im grünen Rechteck dürfen beliebige Terme stehen.
- Ein Würfel hat ein Volumen von V = 500 cm3. Wie lang sind seine Seitenkanten x?
Es gilt V = x3 = 500 cm3. Wie groß ist x?
Ein erster Versuch war x = 500-3 cm mit der Begründung, dass bei der Potenzierung die Hochzahl von 500... so klein sein muss, dass sich insgesamt 500 ergibt.
Allerdings gilt (500-3)3 = 500-9 = 1/5009, und das ist nicht gleich 500.
Zweiter Versuch: Wenn die Hochzahl z ist, dann muss gelten
- Diese gefundene "Zahl" ist für Euch sehr eigenartig gewesen.
Was soll man sich unter 1/3 als Hochzahl vorstellen? 500 soll 1/3-mal
als Faktor auftreten?
Die Bedeutung wurde uns klar, als wir eine Aufgabe zu einem Quadrat gerechnet haben:
Ein Quadrat hat den Flächeninhalt A = 500 cm2. Wie lang sind die Quadratseiten x?
Es gilt A = x2 = 500 cm2. Wie groß ist x?
Wenn die Hochzahl z ist, dann muss gelten
Wir wissen aber auch, dass man die Seitenkante eines Quadrats berechnen
kann, indem man die Wurzel aus dem Flächeninhalt zieht: .
Es gilt also . Die 2 im Nenner des Bruchs gibt offensichtlich an, dass man 2-mal multiplizieren muss.
Beim Volumen musste man 3-mal multiplizieren, also Bruch 1/3 und man
könnte analog auch ein Wurzelzeichen verwenden, wenn man irgendwie
angibt, dass man 3-mal multiplizieren muss.
- Als Schreibweise für Zahlen mit Stammbrüchen als Hochzahl schreibt man deshalb:
Allgemein:
- Hausaufgabe: Seiten 138/139 Aufgaben 5, 6, 7, 10, 11 jeweils a, b, c
2012-09-24
- Ergänzung zur Formel der letzten Stunde:
Steht unter einer n-ten Wurzel eine Potenz, so wird der Exponent als Zähler in dem Bruch geschrieben:
Beispiel:
Einfache Potenzgleichungen (s. o.) mit geradem Exponenten können 2 Lösungen besitzen.
Ist der Exponent ungerade, so gibt es auch eine Lösung, wenn die Potenz negativ ist.
Die Schreibweise wird aber nicht verwendet.
- Als Hausaufgabe eine etwas umfangreichere Aufgabe zum Üben
von Lösungen verschiedener Gleichungsarten: Seite 144 Aufgabe 3 ganz.
2012-09-26
- Wir haben besprochen, wie man verschiedene Arten von Gleichungen auf geeignete Weise lösen kann.
- 3x-5=7-9x
Eine einfache lineare Gleichung: Alle Terme mit x werden auf die eine
Seite der Gleichung gebracht und alle reinen Zahlen auf die andere
Seite.
Dann wird x isoliert und damit bestimmt.
- (x-1)·(3x+5)=1+x
Die Klammer wird aufgelöst und es entsteht eine quadratische Gleichung, die mit Hilfe der p-q-Formel gelöst wird.
- (3x - 15)(x+2)(x2-64)(x2+16)=0
Auf keinen Fall die Klammern auflösen!
Ein Produkt ist dann gleich 0, wenn mindestens ein Faktor gleich 0 ist.
Man schaut also nach, für welche x-Werte die einzelnen Klammern zu
0 werden. Die gefundenen Zahlenwerte sind dann die Lösungen.
1. Klammer: x1=5
2. Klammer: x2=-2
3. Klammer: x3=8 und x4=-8
4. Klammer: keine Lösung, da x2+16 immer größer als 0 ist und damit niemals gleich 0 sein kann.
- 0,25·x6-2·x3+1,75=0
Der Exponent 6 ist zwar sehr groß, aber da nur 3 und 6 als Exponenten auftreten, kann man substituieren (=ersetzen):
Man setzt z=x3, wodurch x6 zu z2 und x3 zu z wird. Die entstehende Gleichung löst man mit der p-q-Formel.
Dann wird aus x3=z der Wert für x bestimmt:
- 0,2·x3-3·x+2=1,6·x2
Für solche Gleichungen (mit x3, x2, x und einer Zahl) gibt es zwar Lösungsverfahren, aber die sind sehr aufwändig!
Noch schlimmer wird es mit der Rechnung, wenn auch noch x4 auftritt.
Wir können solche Gleichungen nähererungsweise gut mit dem Taschenrechner lösen:
Die Funktionsgleichung y=0,2·x3-3·x+2-1,6·x2 wird gezeichnet und die Nullstellen (die die Lösungen der Gleichung sind) werden mit der Funktion Calc > Zero gefunden:
Funktionsgleichung eingeben - Window-Einstellungen - Graph -
Calc>Zero - linkeGrenze - rechteGrenze - Näherungswert (guest)
- Lösung ablesen.
Die Screenshots zeigen die Bestimmung der mittleren Nullstelle.
- An Beispielen haben wir einige Formeln für das Rechnen mit Potenzen gelernt:
- Potenzen mit gleicher Basis werden multipliziert, indem man die Exponenten addiert.
- Potenzen mit gleicher Basis werden dividiert, indem man die Exponenten subtrahiert.
- Potenzen mit gleichem Exponenten werden multipliziert, indem
man das Produkt der Basen mit dem gemeinsamen Exponenten potenziert.
- Potenzen mit gleichem Exponenten werden dividiert, indem man den Quotienten der Basen mit dem gemeinsamen Exponenten potenziert.
2012-09-28
- Übungen zur Potenzrechnung.
Die Aufgabenstellung findet Ihr bei Moodle unter 9eMa.
Achtung: Am Montag ist in der 7. und 8. Stunde Mathematik - letztes Üben vor der Klassenarbeit!
2012-10-01
- Wiederholung zur Klausur
- Aufgaben zum Wachstums- und zum Abnahmeverhalten:
- Ein
Betrag von 1000 Euro wird zu einem festen Zinssatz auf einem Sparkonto
angelegt. Nach jedem Jahr werden die Zinsen zu dem Guthaben gelegt
und mit diesem zusammen weiterverzinst. Nach 10 Jahren ist das Guthaben
auf 1400 Euro gestiegen. Wie hoch ist der Zinssatz?
Lösung:
Jedes Jahr wächst das Kapital um denselben Faktor x.
Nach 1 Jahr besitzt man 1000·x Euro.
Nach 2 Jahren besitzt man (1000·x)·x = 1000·x2 Euro.
Nach 3 Jahren besitzt man (1000·x2)·x = 1000·x3 Euro.
...
Nach 10 Jahren besitzt man (1000·x9)·x = 1000·x10 Euro = 1400 Euro.
Jedes Jahr vermehrt sich das Geld um das 1,0342-fache, also zum eingezahlten Geld kommt noch das 0,0342-fache an Zinsen hinzu.
Der Zinssatz beträgt also 3,42%.
- Ein Betrag von 1000 Euro wird nicht bei der Sparkasse, sondern
unter dem Bett aufgehoben. Jedes Jahr wird das Geld wegen der Inflation
um denselben Faktor weniger wert. Nach 10 Jahren ist das Guthaben
nur noch 600 Euro wert. Wie hoch ist die Inflationsrate?
Lösung:
Jedes Jahr wird das Kapital um denselben Faktor x weniger wert sein.
Nach 1 Jahr besitzt man 1000·x Euro.
Nach 2 Jahren besitzt man (1000·x)·x = 1000·x2 Euro.
Nach 3 Jahren besitzt man (1000·x2)·x = 1000·x3 Euro.
...
Nach 10 Jahren besitzt man (1000·x9)·x = 1000·x10 Euro = 600 Euro.
Nach jedem Jahr ist das Geld um den Faktor 1,0000-0,9502=0,0498 weniger wert.
Die Inflationsrate beträgt also 4,98%.
- Bei Gleichungen muss man nach x auflösen
Beispiel:
- Bitte unbedingt noch einmal die Seite 163 "Bist Du fit" durcharbeiten!
2012-10-05
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