Unterrichtseinsichten - Schuljahr 2011/2012 - Mathematik 11ma3g

e-Funktion und natürlicher Logarithmus

• Hier das Tafelbild mit den Überlegungen zum Problem y=y'. Genauere Ausführungen finden Sie hier.
  
  

• Im Mittelpunkt der Stunde stand der Zusammenhang zwischen kontinuierlicher Verzinsung und Eulerscher Zahl e: Es gilt (Beweis)
  Genauere Ausführungen im Skript.
  
  
• Rückgabe der Klausur 2  [ Aufgaben | Lösungen ]

• Wir haben den Begriff Umkehrfunktion kennengelernt und als Beispiel die Logarithmusfunktion (Basis e) als Umkehrfunktion zur e-Funktion behandelt.
• Machmal ist die Ableitung einer Funktion schwieriger als die der Umkehrfunktion, wie z. B. bei f(x)=ln x.
  Mit Hilfe der Ableitung der Umkehrfunktion haben wir herausgefunden: f(x) = ln x → f ' (x) = 1/x.
  Wir haben damit auch den fehlenden Fall bei der Integration von Potenzfunktionen herausgefunden:
  
  
• Nachzulesen ist alles im Script.

• Ableitung der allgemeinen Exponentialfunktion:
  
  Herleitung:
  
• Integration der allgemeinen Exponentialfunktion:
  
  Die Ableitung der gesuchten Stammfunktion muss gleich a^x sein.
  Mit Hilfe der oben hergeleiteten Ableitung der allgemeinen Exponentialfunktion kann man leicht raten, dass
  
• Nachzulesen sind diese Herleitungen im Script.

• Wachstums- und Zerfallsprozesse können oft durch Exponenzialfunktionen beschrieben werden: f(x)=f(0)·a^k·x.
  Für die Basis a kann immer die Eulersche Zahl e benutzt werden. Der Einfluss der Basis a wird dann durch die Konstante (k·ln a) wahrgenommen:
  
• Die Halbwertzeit T_1/2 ist die Zeit, in der sich die Hälfte eines Bestandes zersetzt hat, wenn die Zersetzung mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit zufällig erfolgt.
  Mit Hilfe des Wertes von T_1/2 kann der Exponent der e-Funktion aussagekräftiger geschrieben werden:
  

• Anwendungen des gelernten Stoffs bei Aufgaben zur exponeziellen Abnahme bei radioaktivem Zerfall und bei Gabe von Beteubungsmitteln im Rahmen von Operationen.
  Angewendet werden musste die Formel
  
  und die Auflösung nach t:
  

• Begrenztes Wachstum (siehe auch hier)
  
• Logistisches Wachstum (siehe auch hier und hier)