Unterrichtseinsichten - Schuljahr 2011/2012 - Mathematik 11ma3g

Wahrscheinlichkeitsverteilungen

• Wiederholung zur Wahrscheinlichkeitsrechnung (Klassen 5 bis 10):
• Die Wahrscheinlichkeit p eines Ereignisses ist im Prinzip ein willkürlicher Wert zwischen 0 und 1.
  Der Wert soll voraussagen, mit welcher relativen Häufigkeit man bei einem Zufallsversuch rechnen kann.
  Deshalb wählt man meist die Wahrscheinlichkeit so, dass sie mit der relativen Häufigkeit eines Zufallsversuchs mit großem Umfang übereinstimmt.
  Vielfach lässt sich aber auch die Wahrscheinlichkeit berechnen, z. B. bei Laplace-Versuchen.
  
• Laplace-Versuche sind Versuche, bei denen die Wahrscheinlichkeiten der Elementarereignisse übereinstimmen.
  Beispiel: Würfeln mit einem W6-Würfel. Die Wahrscheinlichkeiten für alle Zahlne sind gleich p=1/6  (falls der Würfel nicht gezinkt ist).
  Bei Laplace-Versuchen gilt: die Wahrscheinlichkeit ist gleich der Anzahl der Erfolge dividiert durch die Anzahl der Versuche.
• Empirisches Gesetz der großen Zahl
  Führt man einen Zufallsversuch sehr oft durch, so stabilisiert sich die relative Häufigkeit mit wachsender Anzahl der Versuchsdurchgänge.
  Das lässt sich an folgender Tabelle sehr gut sehen:
  
  In Spalte B werden die Zufallszahlen mit der Formel =ZUFALLSBEREICH(1;4) erzeugt.
  In Spalte C werden die Erfolge durch 1 und die Misserfolge durch 0 markiert. Die Formel: =ZÄHLENWENN($C$1;B3)
  Die relativen Häufigkeiten in Spalte D werden mit der Formel =SUMME($C$3:C3)/A3 (in Zelle D3, dann diese Formel weiter nach unten kopieren) erzeugt.
  Das Diagramm zeigt, dass nach zunächst unheitlichem Verlauf die relativen Häufigkeit einem Wert zwischen 0,2 und 0,3 zustrebt.
  Theoretisch muss sich der Wert 0,25(=1/4) ergeben.
  Die Zahl in C3 kann geändert werden und gibt das Ereignis an.
• Sucht man die Wahrscheinlichkeit für ein zusammengesetzes Ereignis, so kann man die Wahrscheinlichkleiten der Elementarereignisse addieren.
  Beispiel:
  
• Die Wahrscheinlichkeit für ein Ereignis E ist gleich 1 minus die Wahrscheinlichkeit für das Gegenereignis von E:
  
  Beispiel: p({1;2;3;4;5})=1-p({6})=1-1/6=5/6
• Historische Aufgabe "Problem von Chevalier de Meré"
  Welches der Ereignis E₁ und E₂ hat die größere Wahrscheinlichkeit?
  E₁: Mindestens eine Sechs beim 4-fachen Würfeln mit einem Würfel.
  E₂: Mindestens ein Sechser-Pasch (also zwei Sechsen) beim 24-maligen Würfeln mit zwei Würfeln.
• Lösung für E₁
  Pfaddiagramm:
  Da die Berechnung der Summe länger dauern wird (vor allem im Hinblick auf das Ereignis E₂), wird eine vereinfachte Berechnung gesucht.
  Nennt man den Bruch 5/6 allgemein q, so ist zu berechnen q⁰+q¹+q²+q³.
  Allgemein besteht die Frage, wie man eine Summe mit n Summanden berechnen kann, also q⁰+q¹+q²+q³+...+q^n-1.
  Ansatz: die Summe sei durch einen Bruch dargestellt:
  
  Dann gilt .
  Mit dem Ansatz Nenner=1-q ergibt sich:
  
  Also insgesamt: .
  Daraus folgt: .
  Schaut man sich das Ergebnis an, sieht man, dass man das Ergebnis auch viel einfacher erhalten kann.
  Man berechne einfach die Wahrscheinlichkeit für das Gegenereignis (keine 6 beim 4-fachen Würfeln) und subtrahiere das Ergebnis von 1:
  
  
• Hausaufgabe: Berechnen von p(E₂).

• Lösung der Hausaufgabe:
  E₂: Ein Pasch 66 bei 24-maligem Würfeln
  
  Man sieht, dass E₂ geringfügig seltener eintritt als E₁.
• Nach der Formel aus der letzten Stunde haben wir uns überlegt, dass für eine unendlich lange Summe (man nennt das dann "Reihe") der Wert von qn gegen 0 geht. Die Formel heiß dann: .
  
• Weitere Übungen zu Baumdiagrammen und der Berechnung von Wahrscheinlichkeiten mit Hilfe der Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses.

• Übungsaufgabe zur Unterscheidung zwischen "Ziehen mit Zurücklegen" und "Ziehen ohne Zurücklegen".
  Beim Ziehen mit Zurücklegen bleiben die Wahrscheinlichkeiten für einzelne Ereignisse konstant.
  Beim Ziehen ohne Zurücklegen ändert sich jedesmal die Wahrscheinlichkeit. Da das zu erheblichem Rechenaufwand führen kann, rechnet man näherungsweise mit "Ziehen mit Zurücklegen", wenn die betrachtete Menge sehr groß gegenüber der Stichprobe ist (z. B. aus den Schüler(inne)n einer Schule werden 3ausgewählt. Mit welcher Wahrscheinlichkeit handelt es sich um 2 Mädchen und einen Jungen?)
• Übungsaufgabe zum Fall "Lotto 4 aus 8" und "Lotto 3 aus 6".
  Die Anzahl der verschiedenen Möglichkeiten der Ziehung bei "4 aus 8" berechnet sich so:
• Für die erste Zahl hat man 8 Möglichkeiten, für die 2. Zahl dann noch 7, für die 3. Zahl 6 und für die 4. Zahl 5 Möglichkeiten.
  Insgesamt sind das also 8·7·6·5=1680 Möglichkeiten.
• Da es aber auf die Reihenfolge nicht ankommt, muss man noch berechnen, auf wieviel Arten man die Lösungszahlen der Reihe nach legen kann:
  Für die 1. Zahl gibt es 4 Möglichkeiten, für die 2. Zahl 3, für die 3. Zahl 2 und für die 4. Zahl 1 Möglichkeit, zusammen also 4·3·2·1=24 Möglichkeiten.
• Diese 24 Möglichkeiten sind für das Ergebnis gleichwertig.
  Man muss also die Anzahl 1680 noch durch 24 dividieren. Das ergibt 1680:24=70.
  Es gibt also 70 verschiedene Ergebnisse beim "Lotto 4 aus 8".
• Kein Grund zur Besorgnis: Die Rechnung zum Lotto-Beispiel werden wir im weiteren Verlauf des Unterrichts noch genau behandeln.

• Weitere Übung zu Pfaddiagrammen. Wenn die Pfade so verknüpft sind, dass ein Punkt über mehrere Pfade erreicht werden kann, müssen die Wahrscheinlichkeiten für alle diese Pfade addiert werden.
• Geburtstagsproblem: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass in einer Gruppe von Menschen wenigstens 2 Personen am selben Tag Geburtstag haben?
  Eure Vermutungen lagen für eine Gruppe von 22 Personen zwischen 0,02% und 16%.
  In unserem Kurs waren keine "Geburtstagszwillinge" dabei.
  Die Simulation mit dem Taschenrechner (MATH > PRB > 5:randInt) ergab mit der Eingabe randInt(1,365) eine Wahrscheinlichkeit von über 50%.
  Zur genaueren Untersuchung haben wir ein Java-Programm (download) benutzt.
  
  Zur Berechnung haben wir den Weg über die Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses eingeschlagen:
  
  E=Mindestens 2 Personen haben am selben Tag Geburtstag.
  Nicht E=Alle Personen haben an verschiedenen Tagen Geburtstag.
  
  

• Kann man den Ereignissen eines Zufallsversuchs eindeutig Zahlenwerte zuordnen, so nennt man die Zuordnungsvorschrift "Zufallsgröße" und die Zahlenwerte die "Werte der Zufallsgröße". Zufallsgrößen kennzeichnet man oft mit den Großbuchstaben X, Y, Z und die Werte mit k.
  
• Wird jedem Wert der Zufallsgröße eine Wahrscheinlichkeit zugeordnet, so nennt man diese Zuordnungsvorschrift "Wahrscheinlichkeitsverteilung" oder einfach "Verteilung der Zufallsgröße".
• Wir haben die neuen Bezeichnungen an Hand folgenden Beispiels eingeführt:
  Ein Glücksrad besitzt 6 gleich große Sektoren, die mit 0, 0, 0, 1, 1 und 2 beschriftet sind.
  
  Das Rad wird 2-mal gedreht. Die beiden gezogenen Zahlen werden miteinander multipliziert und ergeben den Gewinn in Euro.
  Die Frage ist, wie hoch der Spieleinsatz sein muss, damit das Spiel fair ist (d. h. dass man im Schnitt nichts verliert aber auch nichts gewinnt).
• Zufallsgröße ist hier der Gewinn in Euro.
• Die Werte k der Zufallsgröße X ergeben sich aus der Multiplikation.
  Folgende Zahlenkombinationen sind möglich:
  0·0=0
  0·1=0
  0·2=0
  1·1=1
  1·2=2
  2·2=4
  Damit gilt:
• Da das einmalige Drehen der Scheibe ein Laplace-Versuch ist, kann man die Wahrscheinlichkeit für eine Zahl durch "Anzahl der jeweiligenZahl dividiert durch 6" berechnen:
  p(0)=3/6 ; p(1)=2/6 ; p(2)= 1/6
  Bei der Berechnung der Wahrscheinlichkeiten muss man beachten, das die Ereignisse "erst 0, dann 1" und "erst 1, dann 0" verschiedene Ereignisse sind.
  Durch den vorgestellten Faktor 2 wird das berücksichtigt.
  
  Mit Hilfe des Additionssatzes folgt:
  
  Das bedeutet zum Beispiel: Einen Gewinn von 2 Euro erhält man in 4 von 36 Spielen, also insgesamt 2 Euro · 4 = 8 Euro in 36 Spielen.
  Um den Gewinn pro Spiel zu erhalten, muss man deshalb den Gewinn mit der Wahrscheinlichkeit multiplizieren.
• Errechnet man so den Gewinn für alle Gewinnmöglichkeiten pro Spiel und addiert diese Werte, so erhält man den Gesamtgewinn pro Spiel.
  Diesen Wert nennt man "Erwartungswert".
• Am einfachsten erfolgt die Berechnung (wenn man keinen Taschenrechner benutzen möchte) mit einer Tabelle:
  
  Man kann also pro Spiel mit 44 Cent Gewinn rechnen. Der Einsatz müsste also auch 44 Cent betragen.

• Weitere Übungsaufgaben zu den Begriffen "Zufallsgröße" und "Erwartungswert".

• Einführung in das Thema Bernoulli-Versuche
• Ein Zufallsversuch ist ein Bernoulli-Versuch, wenn
• es nur zwei Ausgänge gibt (Erfolg und Misserfolg)
• wenn die Wahrscheinlichkeiten bei mehrstufigen Versuchen gleich bleiben (Ziehen mit Zurücklegen)
• Näherungsweise kann man auch beim Ziehen ohne Zurücklegen von einem Bernoulli-Versuch sprechen, wenn die Anzahl der Ziehungen sehr klein gegenüber der untersuchten Erfolgs-Menge und Misserfolgs-Menge ist.

• Herleitung von Formeln
• Zieht man aus insgesamt k Urnen, die n₁, n₂, n₃, ... , n_k Kugeln enthalten, jeweils 1 Kugel, so gibt es für diesen Vorgang n₁·n₂·n₃· ... ·n_k Möglichkeiten.
• Ist die Anzahl der Kugeln in jeder Urne gleich groß, so hat man n^k Möglichkeiten, aus jeder Urne 1 Kugel zu ziehen.
  Diesen Zufallsversuch könnte man auch mit einer einzigen Urne durchführen, wenn man "mit Zurücklegen" zieht.
• Man würfelt 10-mal mit einem Würfel W6. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, 4-mal eine 1 zu würfeln?
  Die Wahrscheinlichkeit für "eine 1" ist 1/6, für "keine 1" 5/6.
  Angenommen, die vier Einsen würden gleich zu Beginn gewürfelt und danach würden nur noch andere Zahlen gewürfelt werden, so ergibt sich die Wahrescheinlichkeit
  
  Nun kann man die vier Einsen aber nicht nur zu Beginn, sondern auch später würfeln.
  Für die erste 1 hat man dazu 10 Würfe zur Auswahl, für die 2. Eins noch 9 Würfe, für die 3. Eins 8 Würfe und für die 4. Eins 7 Würfe.
  Insgesamt sind es also 10·9·8·7=5040 mögliche Ergebnisse.
  Einige dieser Ergebnisse sind aber doppelt gezählt: Stehen die 4 Würfe mit einer 1 fest, so kann man die Einsen so auf diese 4 Plätze verteilen, dass die erste Eins 4 Möglichkeiten, die 2. Eins 3, die 3. Eins 2 und die 4. Eins nur noch 1 Möglichkeit hat. Zusammen sind das 4·3·2·1=24 mögliche Fälle.
  Die Gesamtzahl 5040 muss also durch diese 24 Fälle dividiert werden: 5040/24=210.
  Es gilt also:
  
• Um nicht jedesmal diese Überleguingen durchführen zu müssen, wird nun eine Formel entwickelt für den allgemeinen Fall: k-mal Erfolg bei n Versuchen.
  Die Wahrscheinlichkeit für "Erfolge" sei p und für Misserfolg damit (1-p)=q.
  Die k Erfolge lassen sich wie im Beispiel oben den Versuchen auf n·(n-1)·(n-2)· ... ·(n-k+1) Arten zuordnen.
  Einige, nämlich k·(k-1)· ... ·3·2·1, sind doppelt. Bildet man den Quotienten aus beiden Produkten, so erhält man die tatsächliche Anzahl der erfolgreichen Fälle bei k Erfolgen. Durch Erweitern, Benutzen der Fakultätsdarstellung und Definition von Binomen erhält maneine einfachere Darstellung:
  
  Daraus folgt für die Wahrscheinlichkeit:
  

• Die Berechnungen in der letzten Stunden sind zum Teil sehr zeitaufwändig und durch die vielen Tastendrücke auf dem Taschenrechner auch fehleranfällig.
  Zum Glück gibt es Abkürzungen:
• Die Binome berechnen sich mit n nCr k, wobei man die Funktion nCr so erhält: MATH > PRB > 3:nCr
  Beispiel mit n=10 und k=4:
          
  
• Die Wahrscheinlichkeit kann mit 2nd > DISTR > A:binompdf( berechnet werden, hier am Beispiel :
          
  
• Will man die Verteilung für alle k sehen, so lässt man den 4. Übergabeparameter (hier die 4) weg. Sinnvoll ist eine Darstellung in Listen mit der Möglichkeit, ein Histogramm zeichnen zu lassen:
  Formeln in den Listen L1 und L2:
  L1=seq(X,X,0,10)    "seq" erhält man durch  2nd > LIST > OPS > 5:seq(
  L2=binompdf(10,1/6)
             
  

• Wiederholung zur Binomialverteilung
• Wir haben die Rolle der Binomialkoeffizienten bei der Binomischen Formel und beim Pascalschen Dreieck gesehen.
  Daraus ergab sich folgende Aufgabe:
  
  Mit Hilfe der Definition   lässt sich die Allgemeingültigkeit der Gleichung zeigen:
  
  

• Erwartungswert einer Binomialverteilung
• Beim Quiz "quid fit crassus" muss man in jeder Runde 10 Fragen beantworten und erhält jeweils 4 Vorschläge, von denen einer richtig ist.
  Wieviel richtige Antworten wird man im Durchschnitt haben, wenn man ohne Nachzudenken die Antworten ankreuzt?
  Wir haben an diesem Beispiel die Bernoulli-Formel wiederholt und fanden z. B.
  
• für 3 richtige Antworten die Wahrscheinlichkeit
• für k richtige Antworten die Wahrscheinlichkeit
• für k richtige Antworten bei n Versuchen die Wahrscheinlichkeit
• allgemein für k richtige Antworten bei n Versuchen mit der Erfolgswahrscheinlichkeit p die Wahrscheinlichkeit
  
• Den Erwartungswert erhält man, wenn man für alle k-Werte das Produkt aus k und der entsprechenden Wahrscheinlichkeit bildet und dann die Ergebnisse addiert:
  
  Hier die Berechnung mit dem Taschenrechner:
  L1=seq(X,X,0,10)
  L2=binompdf(10,1/4,L1)
  L3=L1*L2
  E(X)=sum(L3)
       
  
• Im Beispiel wurde bei 10 Versuchen und der Wahrscheinlichkeit p=1/4=0,25 der Erwartungswert 2,5 gefunden, also
  Erwartungswert gleich Anzahl der Versuche mal Wahrscheinlichkeit.
  Ist das ein Zufall?
  Wir haben in mehreren allgemeinen Rechnungen (für n=1 bis n=3) diese Gesetzmäßigkeit "bestätigen" können.
  Ein Beweis ist das nicht, aber es ist plausibel:
  Wenn im Beispiel bei 1 Versuch eine von vier Möglichkeiten richtig ist, hat man einen durchschnittlichen Erfolg von 0,25.
  Bei 10 Spielen ist dann der Erfolg 10-mal so groß, also 2,5.
• Bei der Binomialverteilung berechnet sich der Erwartungswert E aus E=n·p.
  Trägt man die Werte der Tabelle als Histogramm auf, so erkennt man, dass der Erwartungswert den Ort des Maximums angibt:
          
  

• Wiederholung zum Erwartungswert bei Binomialverteilungen
• E=n·p
• Das Maximum des Histogramms ist an der Stelle k zu finden, bei der gilt k=E.
• "Überprüft" werden kann das durch Simulation mit dem Taschenrechnerbefehl randBin:
  Eine n-stufige Bernoulli-Kette mit der Erfolgswahrscheinlichkeit p soll a-mal wiederholt werden.
  Der Mittelwert der Ergebnisse entspricht dann etwa dem Erwartungswert:
  n=20; p=0,4; a=50; n·p=8,0
          
       
• Aufgabe (Auslastungsmodell) zur Einführung in die kumulierte Binomialverteilung
  5 Schüler sollen als Gruppenarbeit eine Aufgabe in 90 Minuten bearbeiten.
  Während 1/3 der Arbeitszeit müssen die Schüler einen Computer benutzen.
  Wieviel Computer sollte man den Schülern zur Verfügung stellen? Die Computer sollen nicht ungenutzt herumstehen, die Schüler sollen aber auch nicht zu lange auf eine freien Computer warten müssen.
• Im Unterricht wurden 2 zur Verfügung gestellte Computer als angemessen angesehen.
  Zur Überprüfung dieses Vorschlags sollte berechnet werden, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, dass mehr als 2 Computer benötigt werden.
  n=5; p=1/3
  Gesucht ist P(k>2) = P(k=3)+P(k=4)+P(k=5) = 1-P(k=0)+P(k=1)+P(k=2) = 1-P(k<3)
  Hier müssen auf alle Fälle 3 Werte berechnet werden. Bei größerem n steigt die ANzahl der zu berechnenden Werte.
  Man erstellt deshalb Tabellen mit kumulierten Wahrscheinlichkeitswerten, d.h. Werten mit P(X<=k) an der Stelle k:
  
  In der Aufgabe gilt: P(k>2) = 1-P(k<3) = 1-P(k<=2) = 1-0,7901 = 0,2099,
  d.h. in etwa 21% aller Fälle müsste ein Schüler warten.
  Würden 3 Computer zur Verfügung gestellt, so ergäbe sich für die Wahrscheinlichkeit, dass man wareten müsste
  P(k>3) = 1-P(k<=3) = 1-0,9547 = 0,0453, also etwa 4,5%.

• Weitere Übungen zur kumulierten Binomialverteilung

• Übungen zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten mit der kumulierten Binomialverteilung
  Wir haben besprochen, wie man Wahrscheinlichkeiten einzelner Ereignisse und zusammenhängender Ereignisse umschreiben kann, so dass sie mit der kumulierten Binomialverteilung zu berechnen sind:
  kann unmittelbar abgelesen werden
  
  
  
  
  
  
   
• Häufig ist es schwierig, das richtige Wahrscheinlichkeitsmodell für einen Vorgang zu finden.
  Man hat deshalb einige Modelle entwickelt, die sich auf eine große Anzahl von Vorgängen anwenden lassen.
  Neben dem schon in der Sek.I bekannten Urnenmodell haben wir heute das Kugel-Fächer-Modell kennengelernt.
  n Kugeln sollen dabei auf f Fächer verteilt werden. Gefragt wird dann z. B., wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, dass k Kugeln in einem Fach liegen.
  Die Berechung erfolgt mit der Binomialverteilung, wobei n die Anzahl der Kugeln angibt und die Wahrscheinlichkeit p der Kehrwert der Fächerzahl ist: p=1/f.
• Der Zufallsversich kann mit folgendem Java-Programm simuliert werden:
  
  Stimmt die Anzahl der Kugeln mit der Anzahl der Fächer überein, so gilt n=f und p=1/n.
  Damit hat der Erwartungswert den Wert E(X)=n·p=n·1/n=1.
  Die Simulation deutet darauf hin, dass der Wert 0 aber etwa gleich häufig wie der Wert 1 auftritt:
  
  Dass das so sein muss, zeigt die Berechnung:
  
  
  

• Weitere Übungen zum Kugel-Fächer-Modell und zur Binomialverteilung
• Neu war eine Aufgabe, bei der eine unbekannte Anzahl von Kugeln auf eine bekannte Anzahl von Fächern verteilt werden und bei der bekannt war, wieviel Fächer hinterher keine Kugeln enthalten:
• Aufgabe:
  Gegeben sind n Kugeln, die auf 100 Fächer verteilt werden. Bei der abschließenden Kontrolle zählt man 50 Felder ohne eine Kugel. Gefragt ist die Anzahl n der verteilten Kugeln.
• Lösung:
  Anzahl der Fächer f=100 bedeutet eine Wahrscheinlichkeit von p=1/f=1/100.
  
  Das ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein beliebiges Feld keine Kugel enthält.
  Da es 100 Felder gibt, wird es etwa geben, die keine Kugel enthalten.
  Nun hat man 50 Felder ohne Kugel angetroffen, d. h. man muss die Gleichung lösen.
• Am elegantesten macht man das natürlich mit dem Logarithmus:
  
• Wenn man mit dem Logarithmus auf Kriegsfuß steht, kann man z. B. auch auf dem Taschenrechner den SOLVER-Befehl benutzen (Taste MATH):
             
  
  

• Problem der vollständigen Serie
• Beispiel:
  Ein Würfel W6 wird so oft geworfen, bis alle Zahlen einmal als Ergebnis registriert worden sind.
  Die Ergebnisse der Simulation im Kurs sind in folgender Tabelle zu finden:
  
  Zur Berechnung des Erwartungswertes (wie oft muss man im Schnitt würfeln, bis alle Zahlen einmal aufgetaucht sind?) haben wir beim Taschenrechner die obere Zeile in die Liste L1 und die untere Zeile in die Liste L2 eingetragen.
  In Liste L3 wurde dann mit der Formel L3=L1*L2 das Produkt aus Anzahl der Würfe und der absoluten Häufigkeit gebildet.
  Danach wurde mit sum(L3) die Summe der Werte in Liste 3 gebildet.
  Da es beim Erwartungswert aber auf die relativen Häufigkeiten ankommt, wurde dieses Ergebnis dann mit sum(L2) durch die Anzahl aller Versuche dividiert.
  Kürzer hätte man auch rechnen können: sum(L1*L2)/sum(L2).
  Es ergab sich der Erwartungswert 14,6.
  Der durchgeführte Zufallsversuch legt also nahe, dass man im Schnitt etwa 14- bis 15-mal würfeln muss, um alle Würfelzahlen einmal zu erhalten. 
• Theoretische Überlegung:
  Man überlegt sich, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, die einzelnen Zahlen des Würfels der Reihe nach zu erhalten.
• Zu Beginn ist die Sache einfach:
  Die 1. gewürfelte Zahl ist garantiert noch nicht gefallen und deshalb ist die Wahrscheinlichkeit, eine neue Zahl zu erhalten gleich 1.
• Für die 2. Zahl stehen noch 5 Zahlen von insgesamt 6 zur Verfügung.
  Die Wahrscheinlichkeit, jetzt eine noch nicht gezogene Zahl zu erhalten, ist deshalb 5/6.
• Für die 3. Zahl stehen noch 4 Zahlen von insgesamt 6 zur Verfügung.
  Die Wahrscheinlichkeit, jetzt eine noch nicht gezogene Zahl zu erhalten, ist deshalb 4/6.
• Für die 4. Zahl stehen noch 3 Zahlen von insgesamt 6 zur Verfügung.
  Die Wahrscheinlichkeit, jetzt eine noch nicht gezogene Zahl zu erhalten, ist deshalb 3/6.
• Für die 5. Zahl stehen noch 2 Zahlen von insgesamt 6 zur Verfügung.
  Die Wahrscheinlichkeit, jetzt eine noch nicht gezogene Zahl zu erhalten, ist deshalb 2/6.
• Für die 6. Zahl stehen noch 1 Zahlen von insgesamt 6 zur Verfügung.
  Die Wahrscheinlichkeit, jetzt eine noch nicht gezogene Zahl zu erhalten, ist deshalb 1/6.
• Nun überlegt man sich, wie oft man einen Bernoulli-Versuch (E(X)=n·p) durchführen muss, damit man 1-mal Erfolg hat:
  n muss der Kehrwert der Wahrscheinlichkeit sein.
  Das heißt in unserem Fall:
• Um die erste Zahl zu erhalten, muss man im Schnitt 1-mal oder 6/6-mal würfeln.
• Um dann die 2. Zahl zu erhalten, muss man im Schnitt 6/5-mal würfeln.
• Um dann die 3. Zahl zu erhalten, muss man im Schnitt 6/4-mal würfeln.
• Um dann die 4. Zahl zu erhalten, muss man im Schnitt 6/3-mal würfeln.
• Um dann die 5. Zahl zu erhalten, muss man im Schnitt 6/2-mal würfeln.
• Um dann die 6. Zahl zu erhalten, muss man im Schnitt 6/1-mal würfeln.
• Insgesamt muss man also so oft würfeln: 6/6+6/5+6/4+6/3+6/2+6/1 = 6·(1/1+1/2+1/3+1/4+1/5+1/6) = 6·2,45 = 14,7
  Dieser theoretisch berechnete Wert stimmt sehr gut mit unserem empirisch berechneten Wert (14,6) überein.
• Hat man nicht 6 mögliche Ergebnisse, sondern allgemein n Ergebnisse, so kann die Überlegung genau so durchgeführt werden und man erhält für die Anzahl der Würfe:
  
• Zum vereinfachten Durchführen weiterer Versuche zur vollständigen Serie kann das Java-Programm benutzt werden:
  
  Eingegeben werden kann die Anzahl der "Fächer" (z. B. 6 für die Zahlen auf einem Würfel) und die Anzahl der Versuche.
  Die "gewürfelten" Zahlen und die Anzahl der Würfe bis zur vollständigen Serie sind im rechten Bereich gelistet.