Unterrichtseinsichten
- Schuljahr 2010/2011 - Mathematik 9c
Ähnlichkeit
2010-08-06
- Ein
altes Foto im Format 9x13 (d.h. 9 cm hoch und 13 cm breit), von dem
kein Negativ und keine Datei vorhanden ist, soll vergrößert
werden.
Dazu wird das Bild gescannt und im Format 12x15 auf Fotopapier gedruckt.
Das Ergebnis ist nicht zufriedenstellend. Warum?
9x13
12x15 - Ihr habt
vermutet, dass das Bild verzerrt aussieht, weil die Höhe um 3cm
und die Breite nur um 2cm vergrößert wurde.
Euer Vorschlag war, beide Längen um denselben Wert zu vergrößern.
Hausaufgabe:
Ist dieser Vorschlag richtig? Oder nach welcher
Gesetzmäßigkeit müsste man die Längen
vegrößern?
2010-08-09
- Wir
haben an mehreren Beispielen gesehen, dass ein vergrößertes
Bild dann "richtig" aussieht, wenn man die Breite und die Höhe des
Ausgangsbildes beide mit demselben Faktor multipliziert.
Rechnung:
Um von 9cm auf 12cm zu kommen, rechnen wir .
Damit ergibt sich die Bildbreite des vergrößerten Bildes so: . - Sind zwei mathematische Figuren oder zwei Bilder maßstabsgerecht vergrößert oder verkleinert, so nennt man sie ähnlich.
Folgende Gesetzmäßigkeiten haben wir bei ähnlichen Figuren gefunden: - Multipliziert
man die Strecken einer Figur jeweils mit demselben Wert, so ergeben
sich die entsprechenden Strecken der ähnlichen Figur.
- Entsprechende Winkel in beiden Figuren haben dieselbe Winkelgröße.
- Gelangt
man mit dem Streckfaktor k von den Strecken der einen Figur zu den
Strecken der anderen Figur, so gelangt man mit dem Streckfaktor k2 vom Flächeninhalt der einen zum Flächeninhalt der anderen Figur.
Begründung:
Flächeninhalte von rechtwinkligen Flächenstücken
berechnen sich durch Multiplikation zweier Streckenlängen. Wird
jede der beiden Strecken mit dem Streckfaktor multipliziert, so muss
der eine Flächeninhalt 2-mal mit dem Streckfaktor multipliziert
werden (k·k=k2), um zum Flächeninhalt der anderen Figur zu kommen.
- Mit der Umformung von Gleichungen habt Ihr noch Probleme.
Deshalb hier noch einmal die Umformung für den Fall, dass die gesuchte Größe im Nenner eines Bruches steht:
Wenn
auf jeder Seite des Gleichheitszeichens nur ein einzelner Bruch steht,
darf man auch auf beiden Seiten einfach den Kehrwert des Bruches
nehmen. Dadurch wird in diesem Fall die Rechnung wesentlich kürzer:
- Hausaufgabe: Seite 15 Aufgabe 22a,d ; Seite 18 Aufgaben 7a,b ; 9 ; 12a
2010-08-13
- Gehen bei zwei ähnlichen Figuren die Seiten durch Multiplikation mit dem Faktor k auseinander hervor,
so geschieht das bei Flächen durch Multiplikation mit k2
und bei Volumina durch Multiplikation mit k3:
- Zentrische Streckung:
Wir
haben gesehen, dass sich bei zwei ähnlichen Figuren, deren
entsprechende Seiten parallel liegen, die Verbindungslinien durch
entsprechende Eckpunkte in einem einzigen Punkt schneiden.
Mit Klick
auf das GeoGebra-Bild wird die abgebildete Anwendung geöffnet, in
der man diesen Sachverhalt für verschiedene Dreieck und
Streckfaktoren k nachvollziehen kann.
2010-08-16
- Im
Zusammenhang mit der Wiederholung haben wir besprochen, wie man mit
Hilfe des Streckfaktors k in einem n-dimensionalen Gebilde das
n-dimensionale Volumen eines Körpers bestimmen will.
Im 1-dimensionalen Gebilde (Strecke) muss man mit k1 multiplizieren,
im 2-dimensionalen Gebilde (z.B. Dreieck) muss man mit k2 multiplizieren,
im 3-dimensionalen Gebilde (z.B. Pyramide) muss man mit k3 multiplizieren,
d.h. die Hochzahl beim k entspricht dem Grad der Dimension.
Beim 0-dimensionalen Gebilde (Punkt) wird also mit k0=1 multipliziert, d.h. ein Punkt bleibt abgebildet auch ein Punkt. - Mit
dem Geogebra-Arbeitsblatt (siehe oben 2010-08-13) kann man viele
verschiedene Fälle bei der zentrischen Streckung durchprobieren.
Hier einige Beispiele: - Punkte des roten Dreiecks auf den Geraden a, b und c an verschiedene Stellen ziehen,
- Ein Punkt des roten Dreiecks befindet sich auf Z,
- der Streckfaktor k wird mit Hilfe des Schiebereglers oder mit den Cursortasten (zuerst auf "k=2" klicken) verändert.
- k wird negativ , k nimmt die besonderen Werte 0, 1, -1 an, ...
- Z wird verschoben, z.B. in das rote Dreieck hinein,
- ...
- Ergebnisse:
- Bei der zentrischen Streckung sind abgebildete Strecken in der ursprünglichen Figur und im Bild parallel.
- Winkel bleiben bei der zentrischen Streckung erhalten.
- Gestreckte Strecken sind um das k-fache verlängert worden.
- Gestreckte Flächen sind um das k2-fache vergrößert worden.
- Rechnerisches
Ermitteln von k-Werten oder Punktkoordinaten (k : Streckfaktor; Z :
Streckzentrum; P oder Q : Punkte, die abgebildet werden sollen; P' oder
Q' : Bildpunkte)
- Gegeben sind Z(0/0), P(2/3), P'(4/6), gesucht ist k
In
x-Richtung ist P 2 Einheiten von Z entfernt, P' dagegen 4 Einheiten,
also das Doppelte. Damit ergibt sich für den Streckfaktor k der
Wert 4/2=2.
Probe mit der y-Richtung: P ist 3 Einheiten von Z und P' ist 6 Einheiten von Z entfernt, also passt der Faktor k=2. - Gegeben sind Z1(1/2), P1(4/1), P1'(10/-1), gesucht ist k
Um
so rechnen zu können wie im 1. Beispiel, verschieben wir alle
Punkte so, dass Z im Koordinaten-Ursprung liegt. Die Lage der Punkte
zueinander wird dadurch nicht geändert.
Man muss die Punkte in x-Richtung um -1 und in y-Richtung um -2 verschieben: Z2=(0/0), P2(3/-1), P2'(9/-3).
Nun rechnen wir wie oben und erhalten den Wert k=3. - Gegeben sind P(1/-1) und P'(-1/1) sowie Q(4/-1) und Q'(8/1). Gesucht sind das Streckzentrum Z(x/y) und der Streckfaktor k.
Mit GeoGebra findet man graphisch die Lösung Z(2/-2) und k=3.
Auch allein durch Rechnung kommt man zum Ziel:
Für die x-Richtung gilt ZP·k=ZP' und ZQ·k=ZQ'.
Mit ZP=1-x, ZP'=-1-x, ZQ=4-x und ZQ'=8-x gilt:
Daraus folgt
Einsetzen des x-Wertes ergibt den k-Wert:
Auch
für die y-Richtung können wir die oben angegebene
Formel ZP·k=ZP' benutzen (jetzt die y-Werte einsetzen):
Lösung: Das Streckzentrum liegt im Punkt Z(2/-1) und der Streckfaktor ist k=3.
- Hausaufgabe: Seite 25 Aufgaben 8a und 9a
2010-08-20
- Mit dem Pantograph kann man Zeichnungen vergrößern und verkleinern
Die gelben Pfeile sind beide 7 Einheiten lang, die magentafarbenen Pfeile 23 Einheiten.
Wird
der grüne Punkt als Drehpunkt festgelegt und führt man den
blauen Punkt über eine Zeichnung, so beschreibt der rote Punkt
eine um 23/7-fach vergrößerte Zeichnung (also etwa
Streckfaktor 3). - Besprechung der Hausaufgabe (siehe letzte Stunde)
Noch einmal zur Übung: Seite 25 Aufgaben 8c und 9c.
2010-08-23
- Lösung der Hausaufgabe:
- 8c:
Betrachtung der x-Koordinaten:
Einsetzen in y-Koordinaten:
Der Streckfaktor ist also k=0,5 und das Streckzentrum liegt bei Z(-4/4). - 9c:
Gegeben sind die Dreiecke ΔABC und ΔPQR durch A(-2/-2), B(6/0), C(0/0), P(-4/0), Q(10/4), R(0,4)
Bildet man die Differenzen der x-Koordinaten zwischen je 2 Punkten eines Dreiecks, so erhält man
AB=8 ; AC=2 ; BC=6 und PQ=14 ; PR=4 ; QR=10
Die Strecken AC=2 und PR=4 deuten auf den Streckfaktor k=2 hin.
Es gilt aber AB·k=8·2=16 und nicht 14
und es gilt BC·k=6·2=12 und nicht 10.
Die Dreiecke sind also nicht ähnlich und nicht durch zentrische Streckung auseinander hervorgegangen.
Anmerkung: Läge Q bei Q(12/4), so wären die beiden Dreiecke ähnlich.
- Höhensatz des Euklid
Da
in den Dreiecken ΔABC, ΔAHC und ΔHBC alle
Winkel übereinstimmen, sind die Dreiecke ähnlich.
Das Verhältnis entsprechender Seiten stimmt also überein.
Also gilt im roten und im blauen Teildreieck: Diese Beziehung nennt man Höhensatz des Euklid.
Das
Produkt aus den beiden Abschnitten, die auf der Hypotenuse des
großen Dreiecks liegen, ergeben also das Quadrat der Höhe im
großen Dreieck.
p·q kann man auch als Formel für den Flächeninhalt eines Rechtecks deuten.
Zeichnet man dieses Rechteck aus p und q und das Quadrat mit Seitenlänge h in die Dreiecksfigur ein, so ergibt sich
Man
kann mit Hilfe des Höhensatzes geometrisch ein Rechteck in ein
flächengleiches Quadrat und ein Quadrat in ein
flächengleiches Rechteck umwandeln. - Hausaufgabe: Beweis des Kathetensatzes von Euklid
2010-08-27
- Die folgende Rechnung bezieht sich noch einmal auf die Zeichnung aus der letzten Stunde:
In den drei Dreiecken ist das Verhältnis entsprechender Seiten zueinander gleich:
Aus der mittleren Zeile folgt: 1. Kathetensatz
Aus der oberen Zeile folgt: 2. Kathetensatz
Aus der unteren Zeile folgt: Höhensatz
Aus dem 1. und 2. Kathetensatz folgt: Satz des Pythagoras
Aus der mittleren Zeile folgt: Flächeninhalt des Dreiecks auf 2 Arten berechnet.
2010-08-30
- Strahlensätze
GeoGebra-Datei zum Bild - Das rote Dreieck ΔZBA und das Dreieck ΔZB'A', das die Farben rot und grün enthält, sind ähnlich.
Damit
ist das Verhältnis zweier Seiten in einem Dreieck gleich dem
Verhältnis von entsprechenden Seiten im anderen Dreieck. - Entsprechend
kann man andere Dreiecke in der Abbildung finden, für die diese
Gesetzmäßigkeit auch gilt (Beispiel:ΔZB''D'' und ΔZB'''D''').
- Aus
diesen Überlegungen ergeben sich unmittelbar die
Strahlensätze (als Strahl sieht man hier die Halbgerade an, die
bei Z beginnt und sich nach rechts hin ausbreitet):
- 1. Strahlensatz:
Das
Verhältnis von 2 Strecken auf einem Strahl ist gleich dem
Verhältnis von 2 entsprechenden Strecken auf einem anderen Strahl.
Beispiel: - 2. Strahlensatz:
Das Verhältnis zweier Strecken auf einem Strahl, bei denen ein Endpunkt jeweils Z ist
ist
gleich dem Verhältnis zweier entsprechender Strecken auf den
Parallelen, die durch die anderen Endpunkte der beiden Strecken auf dem
Strahl verlaufen.
Beispiel: - 3. Strahlensatz:
Das
Verhältnis zweier Strecken auf einer Parallelen ist gleich dem
Verhältnis entsprechender Strecken auf einer anderen Parallele.
Beispiel:
- Mit
Klick auf die Zeichnung oder den daneben stehenden Link kann eine
GeoGebra-Datei geladen werden, mit der man die Strahlensätze
einüben kann.
Gibt man z.B. in der unten stehenden Eingabezeile
e=Strecke[A'',C'']/Strecke[B'',D'']-Strecke[A,C]/Strecke[B,D] ein, so
überprüft man damit das Beispiel zum 3. Strahlensatz.
Dazu
wird bei dem Beispiel von der linken Gleichungsseite die rechte Seite
abgezogen. Wenn e=0 herauskommt, war die Wahl der entsprechenden
Strecken richtig. - Noch einmal zum Gleichungsumformen:
- Beispiel:
- 1. Schritt: Nenner entfernen, indem mit dem Nenner multipliziert wird.
- 2. Schritt: Alles, was mit x zu tun hat, auf die eine Seite, die Zahlen auf die andere Seite.
- 3. Schritt: Auf beiden Seiten zusammenfassen (x ausklammern).
- 4. Schritt: Durch den Faktor vom x dividieren.
- Hausaufgabe: Seite 38 Aufgabe 7a,b ; 9 ; 10b ; Seite 41 Aufgabe 6
2010-09-03 und 2010-09-06
- Weiterführende Aufgaben zu den Themen "Ähnlichkeit" und "Strahlensätze"
- Der wievielte Teil des linken Parallelogramms ist gelb eingefärbt?
In der rechten Figur sind einige Hilfslinien ergänzt.
Die linke Seitenkante besteht aus 3 Teilen, die rechte Seitenkante zwischen b und d aus 2 Teilen.
Damit ergibt sich: b/a=d/c=2/3.
Auch
die waagrechte Linie ind er Mitte wird in diesem Verhältnis
geteilt: 3/5 liegen links und 2/5 rechts neben dem Schnittpunkt in der
Mitte.
Folglich hat auch das farbige Parallelogramm 3/5 und das
farblose Parallelogramm 2/5 der Fläche des großen
Parallelogramms.
Da das gelbe Dreieck halb so groß ist wie das
farbige Parallelogramm, besitzt das gelbe Dreieck 3/5·1/2
=3/10=0,3 der Fläche des großen Parallelogramms. - Linsenformel
Download der GeoGebra-Datei
Bezeichnungen:
Gegenstandsgröße G (y-Wert von G), Bildgröße B
(y-Wert von G'), Gegenstandsweite g (x-Wert von G), Bildweite b (x-Wert
von G'), Brennweite f (x-Wert von F1)
Auf Grund der Strahlensätze gilt in der grünen Figur: und in der roten Figur: (bitte kontrollieren!)
Daraus folgt:
Das Ergebnis nennt man Linsenformel.
- Hausaufgabe: Wiederholung zur Arbeit, besonders Seite 58
2010-09-10
2010-09-13
weiter mit Trigonimetrie