Unterrichtseinsichten
- Schuljahr 2009/2010 - Mathematik 8d
Terme mit
Gleichungen und Klammern
2009-08-10
- Hinter
einem 12 m breitem Reihenhaus befindet sich ein rechteckiger Garten,
der in einen Rasen-Bereich von 15 m Länge und in einen
Spielplatzbereich von 6 m Länge geteilt ist.
Berechne den Flächeninhalt des Gartenbereiches. - Lösung: Wir haben 2 Wege gefunden:
- Man rechnet die Längen der beiden Bereiche zusammen und multipliziert das Ergebnis mit der Breite des Hauses:
(6+15)·12 = 21·12 = 252 - Man berechnet getrennt die Rasen-Fläche und die Spielplatzfläche und addiert die beiden Flächeninhalte:
6·12+15·12 = 72+180 = 252
- Die Lösungen stimmen überein, d.h. es gilt (6+15)·12 = 6·12+15·12
- Wir haben gesehen, dass es allgemein gilt: (a+b)·c = a·c+b·c
Dieses
Gesetz nennt sich Distributivgesetz und zeigt, wie man Klammern
auflösen kann und wie man einen Term, in dem in jedem Summanden
die gleiche Zahl oder die gleiche Variable vormommt, mit einer Klammer
schreiben kann:
Ausmultiplizieren: (a+b)·c = a·c+b·c
Ausklammern: a·c+b·c = (a+b)·c - Merksatz: Soll eine Summe in einer Klammer mit
einer Zahl multipliziert werden, so muss jeder Summand in der Klammer
mit der Zahl multipliziert werden. Die Ergebnisse werden dann addiert.
- Treten
Minuszeichen auf, so müssen die Regeln für das Rechnen mit
vorzeichenbehafteten Zahlen (also positiven und negativen Zahlen)
beachtet werden.
- Beim Distributivgesetz der Multiplikation darf
die Zahl, mit der die Klammer multipliziert wird, vor oder hinter der
Klammer stehen:
(a+b)·c = a·c+b·c = c·a+c·b = c·(a+b) - Auch für die Division gibt es ein Distributivgesetz:
(a+b):c = a:c+b:c , denn - Achtung: Bei der Division muss die außen stehende Zahl hinter der Klammer stehen, denn kann man nicht zerlegen.
2009-08-11
- Beispiel für eine Aufgabe, so wie wir sie im Unterricht besprochen haben:
- Denkt Euch eine Zahl.
Multipliziert diese Zahl mit der um 3 verkleinerten Zahl.
Zum Ergebnis addiert Ihr das 6-fache der gedachten Zahl.
Von diesem Ergebnis subtrahiert Ihr das Quadrat der gedachten Zahl.
Wenn
Ihr mir dieses Endergebnis nennt, kann ich Euch sagen, an welche Zahl
Ihr gedacht habt. (Man muss die genannte Zahl durch 3 dividieren)
- Folgende Rechnung zeigt, warum die angegebene Lösung immer richtig ist.
- Die gedachte Zahl nennen wir x.
Mit der um 3 verkleinerten Zahl multipliziert ergibt sich x·(x-3)
Dazu das 6-fache der Zahl, also 6x, addiert: x·(x-3)+6x
Das Quadrat der gedachten Zahl, also x2, subtrahiert ergibt x·(x-3)+6x-x2
Vereinfacht ergibt sich x·(x-3)+6x-x2 = x2-3x+6x-x2 = 3x.
Dividiert man 3x durch 3, ergibt sich die gedachte Zahl x.
2009-08-12
- Besprechung der Hausaufgabe
- Wichtig:
- Beim Addieren und Subtrahieren (+ und -) müssen die Summanden identische Buchstabenkombinationen haben.
3ab2cd4+2ab2cd4=5ab2cd4, aber 3ab2cd4+2a2bcf4 lässt sich nicht addieren, da die Hochzahlen und die Buchstaben nicht übereinstimmen. - Beim
Multiplizieren und Dividieren (· und :) dürfen aber
unterschiedliche Buchstaben und Hochzahlen in den Faktoren auftauchen.
Günstiges Vorgehen: - 1. Vorzeichen betrachten
- 2. Zahlen multiplizieren bzw. dividieren
- 3. Buchstaben in alphabetischer Reihenfolge multiplizieren bzw. dividieren
- Rechenzeichen in Klammern dürfen als Vorzeichen beim Multiplizieren benutzt werden, da z.B. (3a-6c) = (3a+(-6c))
2009-08-13
- Weitere Übungsaufgaben zur Anwendung des Distributivgesetzes (zusammengesetze Terme und Gleichungen).
2009-08-17
- Gleichungen und Textaufgaben in Verbindung mit dem Distributivgesetz.
- Wichtige Erkenntnisse
- Beim
Umformen von Gleichungen muss das Ziel sein, alles, was mit x zu tun
hat, auf die eine Seite der Gleichung zu bringen, und alles, was mit x
nichts zu tun hat, auf die andere Seite zubringen.
- Um einen
Teilterm von einer Seite der Gleichung zu entfernen, muss man die
umgekehrte Rechenart benutzen, mit der dieser Teilterm mit dem ganzen
Term gebunden ist.
Beispiele: Bei 2+4x=... entfernt man die 2 durch -2 auf beiden Seiten der Gleichung. Bei 2·4x=... rechnet man :2. - Immer
vereinfachen, wenn es geht. Z.B. kann man bei der Gleichung
2·(x-4)+5x-6=3-7x+2·(x-4) den Teilterm 2·(x-4) auf
beiden Seiten durch Subtraktion entfernen.
- Bei Brüchen in
der Gleichung ist es oft günstig, die Gleichung mit dem
Hauptnenner zu multiplizieren, da dann alle Brüche verschwinden.
- Meistens rechnet es sich einfacher mit Brüchen wie als mit gemischten Zahlen wie oder mit periodischen Dezimalzahlen wie .
- Ein Beispiel für eine Textaufgabe (leicht abgewandelt gegenüber dem Unterricht):
Otto hat 2 Freundinnen, Ella und Ursula. Sie vergleichen ihre Geldmengen, die sie bei sich haben:
Otto
hat 21 € mehr als Ella und 5 € mehr als Ursula. Die
Hälfte von Ellas Geldmenge ist gleich einem Drittel der Geldmenge
von Ursula. Wieviel Geld besitzt jede(r)?
Lösung: x, e und u sind die Geldmengen von Otto, Ella und Ursula.
Es gilt: x=e+21 und x=u+5. Umgeformt ergibt sich e=x-21 und u=x-5.
Nach dem 2. Satz gilt e/2=u/3.
Daraus folgt: (x-21)/2=(x-5)/3
Multiplikation mit dem Hauptnenner 6 gibt 3·(x-21)=2·(x-5)
Durch Klammernauflösen erhält man 3·x-63=2·x-10
Mit +63 und -2·x folgt x=53 und damit e=x-21=53-21=32 und u=x-5=53-5=48
Otto besitzt also 53 €, Ella 32 € und Ursula 48 €.
2009-08-20
- Textaufgaben lassen sich häufug nach einem bestimmten Schema lösen:
- Benennung einer oder mehrerer gesuchter Größen durch Variablen/Buchstaben (z.B. durch x, y, z, ...)
- Gegebene Bedingungen benutzen, um eine oder mehrere Gleichungen aufzustellen.
- Mit den so gefundenen Beziehungen zwischen den Variablen alle Variablen durch eine einzige Variable ersetzen.
- Die Gleichung mit dieser Variable lösen.
- Antwortsatz
- Beispiel für 2 Textaufgaben (leicht gegenüber dem Schulbuch abgeändert):
- Aufgabe:
Zwei
Freunde Lars (L) und Ron (R) haben Kastanien gesammelt. Zu Hause
verraten sie nicht, wie viel Kastanien sie jetzt haben. Ron sagt nur:
"Ich habe 4-mal so viel Kastanien wie Lars. Wenn ich aber Lars 60
Kastanien abgebe, hat Lars 4-mal so viel Kastanien wie ich." Wie viele
Kastanien hat Lars und wie viele hat Ron nach Hause gebracht?
Lösung:
Zeichnung zum Text:
Lars besitzt L Kastanien, Ron besitzt R Kastanien.
Ron hat 4-mal so viel Kastanien wie Lars, also R=4·L.
Gibt Ron 60 Kastanien an Lars ab, so hat Lars 4-mal so viel Kastanien wie Ron, also 4·(R-60)=(L+60)
In
der zweiten Gleichung wird R durch 4·L ersetzt (1. Gleichung),
also 4·(4·L-60)=(L+60) → 16·L-240=L+60 →
15·L=300 → L=300:15=20
Einsetzen in R=4·L ergibt R=4·20=80
Ron hat also 80 Kastanien und Lars hat 20 Kastanien gesammelt. - Aufgabe:
Eine
Mutter ist 4-mal so alt wie ihre Tochter. Vor 8 Jahren war sie noch
12-mal so alt wie die Tochter. Wie alt sind Mutter und Tochter jetzt?
Lösung:
Zeichnung zum Text:
Die Mutter ist M Jahre alt, die Tochter T Jahre.
Die Mutter ist 4-mal so alt wie ihre Tochter, also M=4·T.
Vor 8 Jahren waren die Mutter M-8 und die Tochter T-8 Jahre alt.
Damals
war die Mutter 12-mal so alt wie die Tochter, also
(M-8)=12·(T-8) → M-8=12·T - 96 →
M=8+12·T-96=12·T-88.
Einsetzen in M=4·T ergibt 4·T=12·T-88 → 88=8·T → T=11
Einsetzen in M=4·T ergibt M=4·11=44
Die Mutter ist jetzt 44 Jahre und die Tochter ist 11 Jahre alt.
2009-08-24
- Thema: Auflösen von Minus-Klammern
Beispiel: -(3-6+9-7) = (-1)·(3-6+9-7) = -3+6-9+7
Lässt man den Mittelteil der Gleichungskette weg, ergibt sich eine Lösung nach folgender Rechenregel: - Eine
Minus-Klammer löst man auf, indem man das Minus vor der Klammer
und die Klammer weglässt und in der Klammer alle
Plus-Minus-Rechenzeichen/Vorzeichen ändert. Dabei wird aus - ein +
und aus + wird ein -.
-(3-6+9-7) = -3+6-9+7
Die roten Teile des Terms fallen weg, beim Rest wird statt + ein - und statt - ein + gesetzt. - Weiteres Beispiel (in der Klammer steht ganz links eine negative Zahl): -(-6+2+4-9) = +6-2-4+9
- Hausaufgabe: Detektivaufgabe und Einsetzaufgabe (Seite 18 Aufgaben 8 und 11 ganz)
2009-08-27
- Bei der Besprechung der Hausaufgabe gab es noch sehr viele Frage. Hier eine Aufgabe, die fast alle falsch gerechnet haben:
- -(r-(s-r)) kann man auf folgende Arten auflösen (Minusklammern in rot, Plusklammern in grün):
-(r-(s-r)) = -r+(s-r) = -r+s-r = -2r+s oder -(r-(s-r)) = -(r-s+r) = -r+s-r = -2r+s
- Zum Thema Ausklammern haben wir folgende Merkregel aufgestellt:
1. Suche den ggt (größten gemeinsamen Teiler) von allen Zahlen in den Summanden.
2. Suche nach gleichen Variablen in den Summanden.
3. Setze die Ergebnisse von 1. und 2. vor die Klammer.
4.
Schreibe in die Klammer als Summanden das, was man mit dem Term vor der
Klammer multiplizieren muss, damit die gegebenen Summanden herauskommen. - Beispiel: 40·a·b3·c2 - 24·a3·b·c + 16·a·c3
zu 1.: ggt von 40, 24 und 16 ist 8
zu 2.: in allen 3 Summanden kommen vor a und c
zu 3.: schreibe 8ac·( ... )
zu 4.: 8ac·5b3c=40ab3c2 ; 8ac·3a2b=24a3bc ; 8ac·2c2=16ac3
Daraus folgt 40ab3c2 - 24a3bc + 16ac3 = 8ac·(5b3c - 3a2b + 2c2) - Hausaufgabe: Seite 19/20 Aufgabe 3, 6 ganz
2009-08-31
- Wir
haben gesehen, dass man nicht nur Zahlen oder Buchstaben, sondern auch
komplizierte Terme, Klammern und Minuszeichen ausklammern kann.
Beispiele: - (für die Kästen kann man einsetzen, was man möchte)
- Klammern ausklammern:
- Minuszeichen ausklammern: (Vor der Klammer das Vorzeichen wechseln, in der Klammer alle Vorzeichen/Rechenzeichen wechseln)
- Hausaufgabe: Seite 20/21 Aufgaben 9c, 10e, 10f, 11 und von 14 und 17 jeweils die rechte Spalte.
2009-09-03
- Besprechung der Hausaufgabe:
- Neu: Wie multipliziert man Klammern mit Klammern?
2009-09-07
- Besprechung der Hausaufgabe.
Nicht angefertigte oder fehlerhafte Hausaufgaben zum nächsten Mal vollständig und berichtigt vorlegen! - Beispielaufgaben zu den Hausaufgaben:
- Hausaufgabe: Seite 25 durcharbeiten, Seite 26 Aufgaben 3, 6 und 7 je c, d , Aufgabe 5
2009-09-10
- Weitere Übungen zu den Binomischen Formeln.
- 1. Binomische Formel: (a+b)2=a2+2ab+b2
- 2. Binomische Formel: (a-b)2=a2-2ab+b2
- 3. Binomische Formel: (a+b)(a-b)=a2-b2
- Auf die 2. Binomische Formel kann auf Grund der folgenden Überlegung verzichtet werden:
Es gilt - (a+b)2=a2+2ab+b2
- (a-b)2=a2-2ab+b2
- (-a+b)2=a2-2ab+b2
- (-a-b)2=a2+2ab+b2
- Stehen in den Klammern gleiche Summanden, die sich nur durch das Vorzeichen unterscheiden, so gilt:
- Sind die beiden Vorzeichen gleich (+ und + bzw. - und -), so steht rechts +2ab.
- Sind die beiden Vorzeichen verschieden (+ und - bzw. - und +), so steht rechts -2ab.
- Man kann auch einfach die Rechenzeichen als Vorzeichen der Summanden nehmen und dann mit der 1. Binomischen Formel rechnen.
- Hausaufgabe: Seite 27, Aufgaben 11 und 13
2009-09-14
- Besprechung der Hausaufgabe und Wiederholung zur Arbeit
- Beispiel für eine Textaufgabe:
- Von einem zunächst quadratischen Grundstück muss der Eigentümer 2 Abschnitte abgeben:
Die eine Seite des Grundstücks wird um 1m verkürzt, um einen Fahrradweg anzulegen,
eine andere Seite wird um 2m für einen Entwässerungsgraben verkürzt.
Damit gehen 79m2 verloren. Wie groß ist das Grundstück jetzt?
- Lösung:
- Zunächst eine Skizze:
Der rötliche und der gelbe Teil werden abgeschnitten, der grüne Teil bleibt. - Aufstellen der Lösungsgleichung:
Die Seitenlänge des ursprünglichen quadratischen Grundstücks betrage x. Die Fläche ergibt sich daraus zu x2.
Das neue Grundstück hat die Seitenlängen (x-1) und (x-2). Daraus ergibt sich die Fläche zu (x-1)(x-2).
Damit ergibt sich die Gleichung x2-79=(x-1)(x-2) → x2-79=x2-2x-x+2 → -79=-3x+2 → 3x=81 → x=27.
Das ursprüngliche Grundstück hatte demnach eine Größe von 27·27m2=729m2 und das verkleinerte Grundstück hat die Größe 729m2-79m2=650m2.
Man
hätte diesen Wert auch aus dem Term auf der rechten Seite erhalten
können: (x-1)(x-2)=(27-1)(27-2)=26·25=650. - Zusammenhang zwischen dem Term x2-2x-x+2 und der Zeichnung:
x2 ist die Fläche des Quadrates.
Es werden 2x abgezogen. Das ist die gelbe Fläche am oberen Rand.
Zusätzlich werden 1x abgezogen. Das ist die Fläche am linken Rand.
Der Ausgleich für das 2-mal abgezogene orangefarbene Flächenstück oben links ist die +2=1·2.
- Hausaufgabe: Wiederholung zur Arbeit!
2009-09-16
- Wiederholungen und Fragestunde zur Klassenarbeit
2009-09-17
- Klassenarbeit 1 [ Aufgaben A B | Lösungen A B ]
2009-09-21
- Bisher wussten wir schon: Kommt in jedem Summand einer Summe ein gleicher Faktor vor, so kann man diesen ausklammern.
Beispiel: 5a2b + 20ab2 + 15abc = 5ab·(a + 4b + 3c) - In Ausnahmefällen kann man Summen auch faktorisieren, wenn z.B. die Binomischen Formeln anzuwenden sind:
- Besteht eine Summe aus 2 Summanden mit unterschiedlichem Vorzeichen, so kann man die 3. Binomische Formel anwenden.
Beispiel: 4x2-y4 = (2x-y2)(2x+y2) oder allgemein a2-b2 = (a-b)(a+b) - Besteht
eine Summe aus 2 Quadratzahlen und einem 3. Summanden, so kann man
möglicherweise die 1. Binomische Formel anwenden. Man muss aber
testen, ob der 3. Summand zu den Quadratzahlen passt.
Beispiel: 4x2+4xy2+y4 = (2x+y2)2 , allgemein a2+2ab+b2 = (a+b)2
aber: 4x2+5xy2+y4
lässt sich nicht faktorisieren, weil der 3. Summand nicht zu
den Quadratzahlen passt (statt der 5 müsste eine 4 stehen, s.o.).
- Potenzen von Klammern:
- (a+b)2 = a2+2ab+b2
- (a+b)3 = (a2+2ab+b2)·(a+b) = a3+a2b+2a2b+2ab2+ab2+b3 = a3+3a2b+3ab2+b3
- (a+b)4 = (a3+3a2b+3ab2+b3)·(a+b) = a4+a3b+3a3b+3a2b2+3a2b2+3ab3+ab3+b4 = a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4
- Ihr habt mehrere Gesetzmäßigkeiten bei den Summen erkannt:
- Die Potenzen von a werden nach rechts hin immer um 1 kleiner.
- Die Potenzen von b werden nach rechts hin immer um 1 größer.
- Die Zahl im 2. und vorletzten Summanden ist so groß wie die Hochzahl an der Klammer.
- Um
höhere Potenzen von (a+b) schneller ausrechnen zu können,
haben wir begonnen ein Dreieck zu zeichnen, bei dem von Zeile zu Zeile
immer schräg links unten und rechts unten eine 1 hinzu kommt und
jeweils 2 nebeneinander liegende Zahlen in der oberen Zeile summiert
werden und dazwischen liegend in die aktuelle Zeile übernommen
werden:
- Hausaufgabe: Zahlen-Dreieck weiter berechnen; Seite 29 Aufgabe 7
2009-09-28
- Zum Pascalschen Dreieck und der Verbindung zu den Binomischen Formeln findet Ihr einen Beitrag auf dieser Seite bei den Stunden vom 09.11.2007 und 12.11.2007.
- Bei der Besprechung zum Pascalschen Dreieck haben wir im Vorgriff die Hochzahl 0 kennen gelernt:
Bei 34=81 ; 33=27 ; 32=9 wird die jeweils nächste Zahl durch Division mit 3 erhalten. Die Hochzahlen werden um 1 kleiner.
Die Reihe lässt sich also so fortsetzen:
34=81 ; 33=27 ; 32=9 ; 31=3 ; 30=1 .
Diese Gesetzmäßigkeit gilt für alle Zahlen (außer 0), so dass a0=1 (für alle a bis auf a=0). - Manchmal kann man Summen faktorisieren, wenn man die Binomischen Formeln "rückwärts" anwendet.
Beispiel: 4x2-24x+36=(2x-6)2 . - Sinnvoll ist ein solches Verfahren, wenn z.B. eine quadratische Gleichung (Gleichungen mit x2) gelöst werden sollen.
Beispiel: 4x2-24x+36=0 . Es gilt 4x2-24x+36=(2x-6)2=(2x-6)(2x-6)=0, also muss sein 2x-6=0 → 2x=6 → x=3. - Wenn ein Produkt den Wert 0 hat, so muss ein Faktor gleich 0 sein.
Beispiel: 5·65·2·0·93=0 oder 23·x·65·123=0 (hier muss x=0 sein).
Das
gilt auch für Klammern: (x-6)(x+4)=0 hat die Lösungen x=6 und
x=-4, da für diese Werte jeweils eine der Klammern zu 0 wird. - Hausaufgabe: Seite 29, Aufgabe 9b und 10c,d
2009-10-01
- Bei
Mischungsaufgaben geht es darum, aus mehreren Ausgangsstoffen, die zu
einem bestimmten Prozentsatz einen gemeinsamen Bestandteil mit
bestimmter Eigenschaft besitzen, einen neuen Stoff zusammenzustellen.
Gegeben
sind dabei z.B. die Massen der Ausgangsstoffe oder des Zielstoffes oder
die Prozentsätze und Massen der Inhaltsstoffe. - Zur Lösung stellt man sich am besten eine Tabelle zusammen:
1. Spalte: Massen des 1. Stoffs, des 2. Stoffs und die Gesamtmasse
2. Spalte: Prozentsätze, zu denen die Inhaltsstoffe im 1. Stoff, im 2. Stoff und in der Gesamtmasse vorkommen
3. Spalte: Massen der Inhaltsstoffe
1. Reihe: Daten zum 1. Stoff
2. Reihe: Daten zum 2. Stoff
3. Reihe: Daten zur Gesamtmasse beider Stoffe
Im einfachsten Fall lassen sich die Felder der Tabelle aus den anderen Angaben direkt berechnen.
In
schwierigeren Fällen bezeichnet man die gesuchte Größe
mit x und erhält durch weiteres Ausfüllen in einer
Tabellenzelle eine Gleichung, deren Lösung den Wert von x ergibt. - 2 Beispiele:
- 60
Liter mit 30% Alkohol werden mit 40 Liter von 20%-igem Alkohol
gemischt. Wie viel Prozent Alkohol sind in der Mischung enthalten?
Zunächst
werden die grünen Felder berechnet, aus den beiden rechten
grünen Feldern dann das blaue Feld. Zum Schluss ergibt sich das
rote Feld als Lösung. - Aus 800g 60%-iger Säure soll
durch Zumischen von 20%-iger Säure eine 30%-ige Säure
entstehen. Wieviel Gramm 20%-iger Säure benötigt man dazu?
Die gesuchte Größe wird mit x bezeichnet.
Zunächst ergeben sich die beiden oberen grünen Felder, daraus dann der Term im unteren grünen Feld.
Aus der blau unterlegten Gesamtmenge ergibt sich der blau unterlegte Term unten rechts.
Die beiden Terme unten rechts sind gleich, also ergibt sich die Gleichung 480+0,2·x=0,3·(800+x)
Daraus folgt 480+0,2·x=240+0,3·x → 240=0,1·x → x=2400.
Man muss also 2400 g 20%-ige Säure zugeben, damit 30%-ige Säure (800 g + 2400 g = 3200 g) entsteht.
2009-10-19
weiter mit Systeme linearer Gleichungen