Unterrichtseinsichten - Schuljahr 2009/2010 - Mathematik 8d

Satz des Pythagoras

• Versuch mit dem Knotenseil.
  Ihr solltet zu dritt eine gespannte Seilschlaufe so halten, dass an einer Ecke ein rechter Winkel entsteht.
  An den im Seil angebrachten Knoten konnte man ablesen, dass dann die Seitenlängen 3, 4 und 5 Einheiten lang waren.
  
  Die Frage, was so Besonderes an den Werten 3, 4 und 5 als Seitenlängen eines rechtwinkligen Dreiecks ist oder wie diese Werte rechnerisch zusammenhängen, konntet Ihr noch nicht beantworten.
• Im nächsten Beispiel kamen wir der Lösung näher:
  Ihr habt ein gleichschenklig-rechtwinkliges Dreieck gezeichnet und dann die Längen der Seiten gemessen.
  
  Eure Messergebnisse haben wir in den Taschenrechner eingegeben, um dann experimentell den Zusammenhang zwischen den Werten zu finden:
   
  In L1 stehen die Werte für die Seiten a und b, in L2 die Werte für die Seite c.
  Ihr habt gesehen, dass die Werte in L2 immer größer sind als die entsprechenden Werte in L1 und dass man möglicherweise durch Multiplikation mit einer Zahl von der Spalte L1 auf die Spalte L2 kommt.
  In L3 haben wir deshalb den Quotienten L2/L1 eingetragen. Es ergibt sich überall fast derselbe Wert.
  Aus dem Unterricht der vergangenen Wochen ist noch bekannt, dass die Wurzel aus 2 so beginnt: 1,4142...
  Da die Zahlen damit Ähnlichkeit haben, haben wir in Spalte L4 das Quadrat von L3 gebildet: L4=L3^2. Es ergibt sich recht genau der Wert 2.
  Da die Quadratbildung sehr vielversprechend aussah, haben wir die Listen L1 und L2 in L5 und L6 quadriert.
  Hier erkennt man nun, dass in L6 etwa der doppelte Wert wie in L5 steht.
  Es liegt also nahe zu vermuten, dass 2*L1^2=L2^2, bzw. 2·a²=c² oder a²+a²=c².
• Dass das immer stimmen muss, haben wir an folgender Figur untersucht, die wir auch schon in den letzten Wochen kennengelernt hatten.
  
  Wir hatten gezeigt, dass das kleine Quadrat ADBC den halben Flächeninghalt vom Quadrat EFGH besitzt.
  Das kleine Quadrat hat aber den Flächeninhalt a² und das große Quadrat den Inhalt c². Also gilt 2·a²=c², wie vermutet.
• Zum Schluss der Stunde haben wir dann gesehen, dass auch bei nicht-gleichschenkligen rechtwinkligen Dreiecken der Satz des Pythagoras gilt: a²+b²=c²:
  
  Das große Quadrat ABCD hat den Flächeninhalt (a+b)·(a+b)=a²+2ab+b².
  Ein Dreieck besitzt den Flächeninhalt 0,5·ab. Alle 4 Dreiecke zusammen haben also den Flächeninhalt 4·0,5·ab=2ab.
  Subtrahieren wir nun den Flächeninhalt der 4 Dreiecke vom Flächeninhalt des großen Quadrats, so behalten wir  a²+2ab+b²-2ab=a²+b².
  Der Rest ist aber auch der Flächeninhalt c² des schrägen Quadrats EFGH.
  Also gilt allgemein: a²+b²=c², wenn a, b und c Seitenlängen in einem rechtwinkligen Dreieck sind und der rechte Winkel c gegenüber liegt.
• Da man sich die Quadratzahlen auch bildlich als Flächeninhalte von Quadraten an den Dreiecksseiten vorstellen kann, wird häufig der Satz von Pythagoras mit folgendem Bild dargestellt:
  

• Im rechtwinkligen Dreieck werden die Seiten folgendermaßen bezeichnet:
  
  Dem rechten Winkel gegenüber liegt die Hypotenuse, der rechte Winkel wird von den beiden Katheten gebildet.
• Der Satz des Pythagoras wird häufig mit a²+b²=c² angegeben.
  Besser ist es, die Bezeichnungen im rechtwinkligen Dreieck zu benutzen: (Kathete 1)² + (Kathete 2)² = Hypotenuse² .
  Wegen des Kommutativgesetzes der Addition ist es gleich, welche Kathete man als Kathete 1 und welche als Kathete 2 wählt.
  In der Form a²+b²=c² ist der Satz des Pythagotras nur gültig, wenn a und b die Katheten und c die Hypotenuse sind.
• Beispiele für andere Bezeichnungen:
  
• Mit Hilfe des Satzes von Pythagoras kann man die Längen von Dreiecksseiten in einem rechtwinkligen Dreieck berechnen.
  Beispiele: 
• Gegeben sind 2 Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks, gesucht ist die Länge der 3. Seite:
  
  
  Die Seite x hat also etwa die Länge 4,77 cm.
• Gegeben ist eine Seite und die beiden Höhenabschnitte in einem rechtwinkligen Dreieck. Gesucht sind die Längen aller Dreiecksseiten.
  
  Zunächst wird im rechten Teildreieck die Höhe h berechnet, dann kann im linken Dreieck x berechnet werden.
  
  
  Die rechte Seite hat die Länge 2,56 cm.
  Die untere Seite hat die Länge (3,14+1,21) cm = 4,35 cm.
  Die linke Seite x hat etwa die Länge 3,87 cm.

• Wiederholung zum Satz des Pythagoras
  
  Multipliziert man die Längen der beiden Katheten jeweils mit sich selbst und addiert dann die beiden Ergebnisse, so erhält man denselben Wert, als wenn man die Länge der Hypotenuse mit sich selbst multipliziert,
  oder kurz:
  "Die Summe der Katheten-Quadrate ist gleich dem Hypotenusen-Quadrat"
• Den Flächeninhalt eines Dreiecks kann man berechnen, indem man die Länge einer Seite mit der Länge der zu dieser Seite gehörenden Höhe multipliziert und das Ergebnis davon durch 2 dividiert:
   
• Bei einem rechtwinkligen Dreieck ist die eine Kathete die zur anderen Kathete gehörende Höhe.
  Den Flächeninhalt eines rechtwinkligen Dreiecks kann man also einfach bestimmen durch 
  
• Hausaufgabe: Seite 131, Aufgabe 3 und Seite 132, Aufgabe 7

• In einem Buch stehen über die Cheopspyramide folgende Angaben:
  Die Pyramide hat eine quadratische Grundfläche mit der Seitenlänge a=227m und besitzt eine Seitenkante der Länge s=211m.
  Früher, direkt nach ihrer Fertigstellung, betrug die Seitenlänge a=230,3m und die Seitenkante s=219,1m.
  Berechnet werden soll die Höhe der Pyramide entsprechend ihrer früheren und den heutigen Maßen.
• Da bei einer Rechnung mit Zahlenwerten jeder Rechenschritt doppelt durchgeführt werden muss, ist es günstiger, allgemein mit Buchstaben zu rechnen und dann nur noch 2-mal die gegebenen Zahlen in die erhaltene Formel einzusetzen:
  
• Zunächst wird im blauen Dreieck die Länge der Seite d berechnet:
  
• Dann berechnet man im roten Dreieck die Höhe h:
  
  
• heute:
  
  
• früher:
  
• Früher war die Pyramide also (146,6-137)m=9,6m höher als heute.
  Vergleiche diese Werte mit den Werten, die im Wikipedia-Artikel angegeben sind.
• Hausaufgabe: Seite 132, Aufgaben 13 und 15

• Klärung von Fragen zur Hausaufgabe. Zum nächsten Mal die Hausaufgabe vervollständigen.
• Beispielaufgaben zum Satz des Pythagoras.
  Wichtig bei Aufgaben
• Den Text genau lesen. 
• Bei Prozentaufgaben darauf achten, welches die Bezugsgröße ist (in unserem Beispiel die kurze Strecke und nicht die Umwegstrecke!).
• Die Frage "Wie groß dürfen die Platten sein?" bezieht sich auf den Flächeninhalt der Platten und nicht auf deren Höhe.
• Bei der "Tür-Aufgabe" (passt eine große Platte diagonal durch die Tür) haben wir gesehen, dass es soeben möglich ist, die Platte durch die Tür zu bringen.
  Was ist aber, wenn die Platte nicht unendlich dünn ist, sondern z.B. eine Dicke von 1cm oder 2cm hat?
  Wer löst die Aufgabe mit dieser Zusatzbedingung?

• Ein Tetraeder ist eine Pyramide mit einem gleichseitigen Dreieck als Grundfläche, bei der alle Seitenkanten dieselbe Länge haben.
      
  Berechne die Höhe h dieser Pyramide. Die Seitenlänge soll a=10cm betragen.
• Bei 3-dimensionalen Gebilden ist es sinnvoll, Flächen, in denen Größen berechnet werden sollen, in einer separaten Zeichnung in Draufsicht darzustellen.
  Die mittlere Zeichnung bildet die Grundfläche der Pyramide ab, die rechte Zeichnung ist die senkrechte Schnittfläche durch die Punkte A, T und S.
  Die Bezeichnungen stimmen in den 3 Abbildungen überein.
• Zunächst wird die Höhe (x+y) der Grundfläche berechnet:
  
• Für die Berechnung von h benötigt man nun die Länge x oder y für sich allein und nicht die Summe x+y.
  Hier hilft es weiter, eine zusätzliche Beziehung zwischen x und y aufzustellen:
  Das kleine Dreieck MCT ist im großen Dreieck BCA 6-mal enthalten.
  Die Flächeninhalte der beiden Dreiecke werden berechnet:
  Fläche kleines Dreieck MCT: 
  Fläche großes Dreieck BCA:  
  Es gilt:
  Oben einsetzen:
• Nun kann mit Hilfe der rechten Zeichnung h berechnet werden:
  
• Mit der Seitenlänge a=10cm ergibt sich die Höhe der Pyramide zu 0,816 · 10 cm = 8,16 cm

• Tunnelaufgabe
  
  An einem Tunneleingang soll ein Verkehrszeichen angebracht werden, das die zulässige Gesamthöhe der Fahrzeuge angibt.
  Der Tunnelquerschnitt ist ein Halbkreis mit 15m Durchmesser.
  Die Straße ist 12m breit. Links und rechts der Straße sind gleichbreite Gehwege.
  Bei der Angabe der maximalen Höhe soll 40cm Sicherheitsabstand eingerechnet werden.
• Lösung 1 (Längenangaben in m):
  Zu berechnen ist die Höhe h=CD. Die Gehweg-Breite ist p=AD=1,5. Vom Fußpunkt der Höhe bis zur anderen Seite des Tunnels liegt die Strecke q=DB=13,5.
  Weitere Streckenbezeichnungen: a=AC, b=BC. Der Winkel in C zwischen a und b ist ein 90°-Winkel (Satz des Thales).
  In den 3 rechtwinkligen Dreiecken Δ_ADC, Δ_BCD und Δ_ABC gelten folgende Bedingungen (Satz des Pythagoras):
  Δ_ADC : h²+p²=a²         Δ_BCD : h²+q²=b²          Δ_ABC : a²+b²=(p+q)²  
  a² und b² aus den ersten beiden Gleichungen werden in die dritte Gleichung eingesetzt. Umformung ergibt dann:
  
  Einsetzen der Werte ergibt: h²=1,5·13,5=20,25 und nach Wurzelziehen: h=4,5
  Die Höhe h beträgt also 4,5m.
  Zieht man den Sicherheitsabstand 40cm ab, so bleiben noch 4,1m. Dieser Wert muss auf dem Verkehrsschild stehen.
• Lösung 2 (Dank an Henry!):
  Da es vom Tunnel-Kreis-Mittelpunkt M zu den Punkten A, B und C gleich weit ist, gilt r=halber Tunneldurchmesser=7,5m.
  Der Abstand DM (Fußpunkt der Höhe bis zum Mittelpunkt) beträgt "halber Tunneldurchmesser-p"=7,5m-1,5m=6,0m.
  Mit dem Satz von Pythagors gilt h2=7,5²m²-6²m²=(56,25-36)m²=20,25m² und damit ebenso h=4,5m.
• Henrys Lösung ist elegant und schnell, mit der anderen Lösung erhalten wir aber ein weit reichendes Gesetz:
  Die Gleichung h²=p·q gilt in jedem Halbkreis mit einbeschriebenem rechtwinkligen Dreieck und wird Höhensatz des Euklid genannt.
  "Überprüfen" kann man das Gesetz mit folgendem GeoGebra-Arbeitsblatt:
  
• Hausaufgabe: Seite 140, Aufgabe 3

• In der letzten Stunde haben wir den Höhensatz des Euklid kennen gelernt (GeoGebra-Applet, siehe linkes Bild).
     
  Die Fläche des roten Quadrates ist genau so groß wie die Fläche des grünen Rechtecks.
• In dieser Stunde haben wird den Kathetensatz von Euklid bewiesen (GeoGebra-Applet, siehe rechtes Bild).
  Beweis des Kathetensatzes (siehe rechtes Bild):
• b²=h²+p²   ;   h²=p·q (Höhensatz)
• daraus folgt b²=p·q+p2=p·(q+p)=p·c
• also gilt der Kathetensatz des Euklid: b²=p·c
• Zusammenfassung der Flächensätze:
  
• Hausaufgabe: Seite 144, Aufgabe 9; Seite 147, Aufgabe 1a-c; Seite 148 "Bist du fit?"

• Wiederholung zur Arbeit

• Klassenarbeit 4

• Besprechung und Rückgabe der Klassenarbeit 4 [ Aufgaben | Lösungen ]