Unterrichtseinsichten - Schuljahr 2008/2009 - Physik 10e

Dynamik

2009-02-10

Nach Aristoteles benötigt ein Körper einen bestimmten Impetus, um sich bewegen zu können. Ist dieser Impetus aufgebraucht, kommt der Körper zur Ruhe.
Newton dagegen ging im Trägheitsgesetz davon aus, dass ein Körper solange im Zustand der Ruhe oder der geradlinig gleichförmigen Bewegung bleibt, solange keine äußeren Kräfte auf ihn einwirken.
Aus Erfahrung weiß man zwar, dass jeder Körper irgendwann zur Ruhe kommt.
Der Widerspruch erklärt sich daraus, dass wir nahezu immer mit Reibung (an Luft, Gegenständen, usw.) bei Versuchen zu rechnen haben.
Wir haben mehrere Versuche zur Trägheit gesehen, die auf dieser Seite gezeigt werden.

2009-02-12

Bei der Wiederholung zum Trägheitssatz haben wir gesehen: Die Trägheit einer Masse hängt von der Größe der Masse ab. Je größer eine Masse, desto schlechter kann sie in Bewegung gesetzt oder abgebremst werden.
Zur genaueren Untersuchung der Zusammenhänge dienen folgende Versuche mit der Luftkissenfahrbahn:

Zwei Fahrbahnwagen gleicher Masse werden durch eine Feder auseinandergedrückt.
Auf beide Wagen wirkt deshalb die gleiche Kraft.

In gleicher Zeit bewegen sich jeder Wagen um die gleiche Strecke nach außen.
Wird die Masse des einen Wagens auf das Doppelte vergrößert, bewegt sich der Wagen mit der doppelten Masse nur halb so weit wie der Wagen mit der kleineren Masse.

Da der schwerere Wagen nur halb so weit kommt wie der leichtere Wagen, ist die Geschwindigkeit des schwereren Wagens halb so groß wie die Geschwindigkeit des leichteren Wagens.

Allgemein gilt: Haben die Wagen die Massen m₁ und m₂ und die Geschwindigkeiten v₁ und v₂, so gilt m₁·m₂=v₁·v₂.
In unserem Versuch gilt m₁=m, m₂=2·m, v₁=v und v₂=1/2·v. Dann folgt: m₁·v₁=m·v und m₂·v₂=2·m·1/2·v=m·v
Wenn die antreibende Kraft in zwei Versuchen gleich ist, so ist auch das Produkt m·v gleich. Man setzt p=m·v und nennt p den Impuls.
Die Impulse des rechten und des linken Fahrbahnwagens sind also gleich.
Hier der Versuchsaufbau und eine Simulation.

2009-02-17

Im Versuch mit der Luftkissenfahrbahn fährt ein Wagen auf einen ruhenden Wagen gleicher Masse auf und gleitet mit ihm gemeinsam weiter.
Gemessen wird, dass die gemeinsame Geschwindigkeit (2,5 cm/s) genau halb so groß ist wie die Geschwindigkeit des bewegten Wagens vor dem Stoß (5,0 cm/s).
Die Impules der beiden Wagen vor dem Stoß waren: p₁=m₁·v₁=100g·5,0cm/s=500g·cm/s ; p₂=m₂·v₂=100g·0cm/s=0g·cm/s
Die Impules der beiden Wagen nach dem Stoß sind: p'=m'·v'=200g·2,5cm/s=500g·cm/s
Die Impulse vor dem Stoß und nach dem Stoß sind also gleich. Das werden wir in der nächsten Stunde noch einmal theoretisch vertiefen.

2009-02-18

Die beiden Wagen (Abbildung 2009-02-12 oben) sind in der Fahrbahnmitte in Ruhe. Ihr Gesamtimpuls ist also gleich 0: p_gesamt=p₁+p₂=0
Gleiten die Wagen zu beiden Seiten weg mit der Geschwindigkeit v=-v₁=v₂ , so sind die Impule entgegengesetzt gleich: -m1·v1=m2·v2 und damit gilt 0=m₁·v₁+m₂·v₂=p_gesamt .
Entsprechend gilt beim 2. Versuch (unterer Teil der Abbildung, Achtung: v₁ ist negativ!): m₁=2·m₂ und -v₁=1/2·v₂ -m₁·v₁=-p₁=p₂=m₂·v₂ pgesamt=m₁·v₁+m₂·v₂=-2·m₂·1/2·v₂+m₂·v₂=0
Diese Versuche zeigen beispielhaft den
Impulserhaltungssatz: In einem abgeschlossenen System ist die Summe aller Impulse konstant.
Speziell bei Stoßversuchen: Die Summe der Impulse vor dem Stoß ist gleich der Summe der Impulse nach dem Stoß.
Beispielrechnung und Lösung der Hausaufgabe:

2009-02-24

Besprechung der Hausaufgabe: Es bereitete Schwierigkeiten, den Impulssatz nach m₂ aufzulösen. Deshalb hier noch einmal die allgemeine Lösung:
Gegeben v₁, v₂, v' und m₁. Gesucht m₂

2009-02-26

In der vorletzten Stunde haben wir gesehen, dass der Gesamtimpuls vor dem Loslassen der Wagen gleich 0 war und dass das auch für die Situation nach dem Losgleiten so war.
Theoretisch sollte auch für den Fall, dass die Wagen sich zu Beginn bewegen, dann zusammenstoßen und danach vereint oder getrennt weiter fahren, der Gesamtimpuls immer konstant sein.
Diesen Impulserhaltungssatz drückt man durch folgende Gleichungen aus:
Gemeinsames Weiterfahren nach dem Stoß: m₁·v₁+m₂·v₂=(m₁+m₂)·v'
Getrenntes Weiterfahren nach dem Stoß: m₁·v₁+m₂·v₂=m₁·v₁'+m₂·v₂'
Rechnungen auf der Grundlage dieser Gesetzmäßigkeit haben wir in der letzten Stunde durchgeführt.
Zur Überprüfung dieser Gesetzmäßigkeit wurde nun in dieser Stunde die Bewegung zweier Wagen untersucht, die aufeinander zu gleiten und sich nach dem elastischen Stoß getrennt weiter bewegen:
Die Geschwindigkeit der Wagen wird dadurch ermittelt, dass die Zeit gemessen wird, in der ein auf dem Gleiter befestigter Streifen eine Lichtschranke verdunkelt.
Wagen 1 gleitet nach rechts. Er hat die Masse 91g und sein Streifen hat die Breite 1,1cm. Gemessen wird die Zeit 25,42ms.
Wagen 2 gleitet nach links. Er hat die Masse 193g und sein Streifen hat die Breite 1,0cm. Gemessen wird die Zeit 39,75ms.
Nach dem Stoß gleitet der Wagen 1 nach links. Beim Streifen mit der Breite 1,1cm werden nun 22,61ms gemessen.
Nach dem Stoß gleitet der Wagen 2 nach rechts. Beim Streifen mit der Breite 1,0cm werden nun 56,42ms gemessen.
Auswertung:

vor dem Stoß

Wagen1: Geschwindigkeit: v₁=1,1cm/25,42ms=0,043cm/ms

Wagen2: Geschwindigkeit: v₂=1,0cm/39,75ms=0,025cm/ms

Impuls vor dem Stoß: m₁·v₁+m₂·v₂=91g·0,043cm/ms-193g·0,025cm/ms=-0,918g·cm/ms

nach dem Stoß

Wagen1: Geschwindigkeit v₁'=1,1cm/22,61ms=0,049cm/ms
Wagen2: Geschwindigkeit v₂'=1,0cm/56,42ms=0,018cm/ms

Impuls nach dem Stoß: m₁·v₁'+m₂·v₂'=91g·(-0,049cm/ms)+193g·0,018cm/ms=-0,985g·cm/ms

Die Minuszeichen geben an, dass sich der Wagen nach links bewegt. Die Ergebnisse für den Impuls vor und nach dem Stoß stimmen näherungsweise überein.

2009-03-03

Auswertung der Hausaufgabe:

2009-03-05

In folgenden 2 Versuchen soll untersucht werden, wie sich ein ändernder Impuls auf einen Körper auswirkt:

Eine Kugel wird auf einen Holzklotz geschossen. Trifft sie dabei in einem Auffangbehälter auf und wird dort festgehalten, so wird der Holzklotz etwas zur Seite ausgelenkt.
Trifft die Kugel auf dem Holz auf und wird zurückgeschleudert, so wird der Holzklotz um einen größeren Winkel ausgelenkt.
Eure Vermutung, mit Kugel sei der Holzklotz schwerer als ohne Kugel und deshalb würde er im 1. Versuch nicht so weit ausgelenkt, könnte im Prinzip zutreffen. Da die Kugel aber wesentlich leichter ist als der Holzklotz, muss noch ein anderer Grund vorhanden sein.

Im Bild links hat die Kugel nach dem Abschuss den Impuls p=m·v. Nach dem Auftreffen ist sie im Prinzip in Ruhe (wird aber vom schwingenden Holzklotz mitgenommen). Ihr Impuls ist nun 0.
Im Bild rechts hat die Kugel nach dem Abschuss auch den Impuls p=m·v. Nach dem Auftreffen würde sie im Idealfall zurückreflektiert werden und hätte dann den Impuls p=-m·v.
Die Änderung des Impulses würde also 2·m·v betragen, wäre also doppelt so groß, wie im 1. Fall. Deshalb schwingt hier der Holzklotz auch weiter aus.
Bei größerer Impulsänderung wird der Holzklotz weiter bewegt, es muss also eine größere Kraft auf ihn gewirkt haben.
Würde die Impulsänderung über einen größeren Zeitraum hin erfolgen, so würde die wirksame Kraft kleiner sein.
Auf Grund dieser Abhängigkeiten: größerer übertragener Impuls --> größere Kraft ; Übertragung des Impulses über lange Zeit --> kleinere Kraft definiert man Kraft als .

2009-03-10

Für den Fall, dass die Masse konstant bleibt, kann die in der letzten Stunde gefundene Formel noch folgendermaßen umgeformt werden:
Man erhält so die Newtonsche Bewegungsgleichung (auch Grundgleichung der Mechanik oder in der Form 2. Newtonsches Gesetz genannt).

2009-03-12

Übungsaufgaben zu

2009-03-17

Beispiel für das Vorgehen bei einer komplexen Messung an Hand der Messung eine speziellen Kraft (Kraft bei Drehbewegung)

Versuchsaufbau:

Die Vorbesprechung hat ergeben, dass die Kraft F abhängig sein wird von der Masse m des Wagens, von der Winkelgeschwindigkeit ω der Drehbewegung und von dem Radius r, mit dem der Wagen um das Zentrum kreist.
Ist eine Größe von mehreren anderen Größen abhängig, so müssen bei einer Messung sinnvollerweise alle Größen konstant gehalten werden bis auf zwei Größen, deren Abhängigkeit man untersuchen will.
Beim vorliegenden Versuch muss man also 3 Fälle unterscheiden:

F und r variabel, m und ω konstant
F und m variabel, r und ω konstant
F und ω variabel, r und m konstant.

1. Messung: F und r variabel, m und ω konstant

Ergebnis:

Da das Messgerät für die Kraft nicht genau auf 0 eingestellt werden konnte, wurde zunächst die Anzeige ohne Belastung notiert und dann die Anzeige bei Drehung des Wagens.
Die Umdrehungsdauer wurde in einem Vorversuch zu 1,788 s festgestellt.
Hausaufgabe: Auswertung mit OOo.Calc.

2009-03-24

2. Messung: F und m variabel, r und ω konstant
Ergebnis:
3. Messung: F und ω variabel, r und m konstant
Ergebnis:
Hausaufgabe: Auswertung mit dem Taschenrechner

2009-03-26

Auswertung der Messreihen zur Drehbewegung
Am Beispiel der Messreihe zum variablem m wird der Einsatz des Taschenrechners gezeigt.

Eingabe der Messwerte in die Listen L1 bis L3 (Listeneditor aufrufen mit STAT > EDIT )
In L4 die Differenz der Kraft und des Offsets der Kraft bilden mit L4=L2-L3
Mit 2ND > STAT PLOT > PLOT1 das folgende Menü aufrufen.
Auf ON schalten, Punkte auswählen und Xlist auf L1 und Yist auf L4 setzen.
Die WINDOW-Einstellungen so wählen, dass alle Punkte günstig gezeichnet werden können.
Mit GRAPH die Messpunkte zeichnen lassen.
Unter STAT > CALC eine geeignete Regression wählen (hier lineare Regression), die beiden zugehörigen Listen angeben und - wenn gewünscht - eine Y-Variable, unter der der Regressionsgraph abgelegt wird. Der Regressionsgraph wird mit GRAPH zusätzlich zu den Punkten angezeigt. Der Regressionskoeffizient wird angegeben, wenn zuvor im CATALOG der Befehl DIAGNOSTIC ON ausgeführt wurde.
Man sieht, dass hier die Punkte gut durch eine Ursprungsgerade angenähert werden und schließt daraus: F~m.

2009-04-16

Analog zum Vorgehen in der letzten Stunde haben wir uns an der Auswertung zur Messung mit der variablen Umdrehugsdauer versucht.
Neu haben wir folgendes Vorgehen kennen gelernt:
Will man die Anzeige in der gesamten Tabelle aktualisieren lassen, wenn Werte geändert werden, muss man beim Eingeben der Formeln diese in Anführungszeichen setzen.
Die Formel ist dann geschützt und wird nach jeder Eingabe wieder angewendet.
Beispiel für die Spalten L2, L3 und L4, wenn zu Beginn in Spalte 2 ein Eingabefehler passiert ist:

mit Fehler in der 3. Zeile der Spalte L2 und Eingabe der Formel "L2-L3"

nach ENTER erscheint rechts neben L4 ein Zeichen für die geschützte Formel

mit Cursor auf dem falschen Wert in der Zeile L2 wird der richtige Wert eingegeben

nach ENTER wird der Wert in der Anzeige korrigiert und der Wert in L4 neu berechnet
Hausaufgabe: weitere Auswertung

2009-04-30

Auswertung der 3. Messung vom 2009-03-24
Eingeben der Werte
Zeit T in L1, Kraft F in L2, F(offset) in L3 eingeben
In L4 steht die Formel "L2-L3" und gibt die wirkende Kraft an

Einstellen der Zeichenparameter und zeichnen

Regression (y=a*x^b) durchführen

Man sieht, dass die Punkte in guter Näherung durch den Graph von angenähert werden.
F ist also proportional zu 1/T² .

2009-05-05

Wiederholung zur Klassenarbeit

2009-05-06

Klassenarbeit 2

2009-05-07

Gegenstände, die im Erdschwerefeld unter sich freien Raum haben oder die sich bewegen haben die Eigenschaft gegenüber auf dem Boden liegenden oder in Ruhe befindlichen Gegenständen, von selbst etwas bewirken zu können. Der im freien Raum befindliche Gegenstand kann beim Herunterfallen etwas zerstören, genau wie derjenige, der mit großer Geschwindigkeit gegen ein Hindernis stößt.
Diese Eigenschaft, Arbeit verrichten zu können, nennt man Energie.
Unmittelbar einsichtig ist, dass ein Körper um so mehr Energie hat, je höher er über dem Boden ist. Ebenso klar ist, dass ein schnellerer Körper mehr Energie hat als ein langsamer Körper.
Wie genau hängt aber die Energiemenge von der Höhe h und von der Geschwindigkeit v eines Körpers ab?
Um das Herauszufinden, wandelt man am besten die eine in die andere Energieform um.

So wird die Lageenergie eines Körpers, der sich in der Höhe h befindet, beim Herunterfallen in Bewegungsenergie umgewandelt, so dass er beim Auftreffen auf den Boden eine Geschwindigkeit erreicht hat, deren Bewegungsenergie der vorher vorhandenen Lageenergie entspricht.
Umgekehrt wird ein nach oben geworfener Gegenstand, der zu Beginn entsprechend seiner Geschwindigkeit Bewegungsenergie besitzt, am höchsten Punkt seiner Bahn diese gesamte Bewegungsenergie in Lageenergie umgewandelt haben.

Zur Untersuchung der Energieumwandlung von Lageenergie E_L in Bewegungsenergie E_B wird auf einer Luftkissenfahrbahn ein Wagen durch eine angehängte Masse beschleunigt. Die erreichte Geschwindigkeit wird mit Hilfe einer Lichtschranke (kleiner roter Punkt) bestimmt.

In Abhängigkeit von der Fallhöhe des schwarzen Massekörpers wird die Verdunkelungs-Zeit gemessen und dann mit der Formel v~1/t ein Maß für die Geschwindigkeit gefunden.

In L1 stehen die Fallhöhen des Massestücks, in L2 die gemessenen Zeiten.
In L3 wird dann mit 1000/L2 ein Maß für die Geschwindigkeit gefunden. Da es nicht auf absolute Werte, sondern nur auf Proportionalitäten ankommt, wurde zur besseren Lesbarkeit der Ergebnisse der Faktor 1000 gewählt.
Bei der Suche nach der mathematischen Funktion, die die Messwerte am besten beschreibt, muss man darauf achten, dass der Punkt (0/0) vom Graph möglichst gut getroffen wird, weil für die Fallhöhe 0 cm die Geschwindigkeit 0 m/s gilt.
In der nächsten Stunde werden wir darüber noch reden müssen.

2009-05-12

Wegen des Punktes (0/0) kann eine Gerade keine Lösung für das Problem der letzten Stunde sein.
Eine quadratische Regression ergab eine relativ gute Übereinstimmung, die Parabel bedeutete aber, dass bei größeren Fallhöhen die Geschwindigkeit wieder geringer würde.
Das ist aber Unsinn, denn je größer die Fallhöhe, desto größer auch die Geschwindigkeit.
Die Lösung des Problems erhielten wir, indem wir L3 waagrecht und L1 senkrecht abgetragen haben. Mit einer quadratischen Regression erhielten wir ein physikalisch sinnvolles Ergebnis und gute Übereinstimmung mit den Messwerten.
Ergebnis: h~v² . Über dieses Ergebnis werden wir noch reden.
Neuer Versuch: Eine gespannte Feder beschleunigt den Fahrbahnwagen. Welchen Zusammenhang gibt es zwischen dem Spannungsgrad der Feder und der Geschwindigkeit des Wagens?
Messwerte: s=4cm --> t=235,57ms ; s=6cm --> t=162,51ms ; s=8cm --> t=52,02ms

2009-05-19

Besprechung und Rückgabe der Klassenarbeit 2 (Aufgaben, Lösung).
In der letzten Stunde haben wir gesehen, dass die Höhe h, aus der ein Körper fällt, proportional zum Quadrat der Geschwindigkeit ist, die der Körper maximal erreicht: h~v² .
Nun soll der Zusammenhang zwischen der Spannenergie einer Feder und der Bewegungsenergie untersucht werden.
Bei gleicher Masse hängen diese Energien von der Verlängerung Δs der Feder und der Geschwindigkeit v des Körpers ab.
Ein Wagen der Luftkissenbahn wird durch eine gespannte Feder beschleunigt. Gemessen werden die Verlängerung Δs der Feder und die Zeit t, die der Wagen benötigt, damit eine auf ihm befindliche Papierschablone eine Lichtschranke durchquert. Da die Messgeräte in der letzten Stunde fehlerhaft gearbeitet haben, hier die Rechnung mit den Werten der 11. Klasse.
Messwerte, eingegeben in den GTR: in L1 Verlängerung der Schraubenfeder in cm, in L2 Zeit zum Durchqueren der Lichtschranke in ms.
In L3 wird die Formel L3=5000/L2 eingegeben. Damit wird die Geschwindigkeit des Wagens in cm/s berechnet.
Erläuterung: es gilt v=S/t mit S=5cm und t gemessen in ms. Möchte man die Einheit cm/s erhalten, so muss t durch 1000 dividiert werden oder, da t im Nenner steht, der Zähler des Bruches mit 1000 multipliziert werden.

Da die Geschwindigkeit 0 ist, wenn die Feder gar nicht verlängert wurde, wird dieser "Messwert" in den Spalten L1 und L3 hinzugefügt.
Vorsicht: In L2 darf unten nicht 0 stehen, da die Verdunkelungszeit bei der Geschwindigkeit 0 cm/s unendlich lang wäre.
Da die Messpunkte in etwa auf einer Geraden liegen, wird eine lineare Regression durchgeführt.
Ergebnis: Die Geschwindigkeit des Wagens ist proportional zur Verlängerung der Feder: v~Δs.
Aus dieser Proportionalität folgt v²~(Δs)² .
Damit gibt es folgende charakteristische Größen für die einzelnen Energiearten:
Lageenergie E_L --- h ; Bewegungsenergie E_B --- v² ; Spannenergie einer Feder E_S --- (Δs)² .
Wie die genauen Gleichungen für die Energien lauten, werden wir in den nächsten Stunden besprechen.

2009-05-28

Die Lageenergie E_L hängt außer von der Höhe auch noch von der Masse ab. Bei doppelter Masse sollte die Energie doppelt so groß sein.
Auch der Ortsfaktor g sollte in der Energie vorkommen, denn auch eine große Masse kann zur Lageenergie nichts beitragen, wenn sie nicht durch eine Gravitationskraft beschleunigt wird.
So hat man dann die Lageenergie (oder auch potenzielle Energie E_Pot) definiert als E_L=m·g·h.
Energie kann man sich als gespeicherte Arbeit denken. Hebt man einen Körper der Gewichtskraft F_G=m·g um die Höhe h an, so hat man die Arbeit W=m·g·h verrichtet. Der Betrag dieser Arbeit ist gleich dem der Lageenergie.
Trägt man in einem Diagramm die Gewichtskraft gegen die Höhe auf, so ergibt sich für den Flächeninhalt zwischen Funktionsgraph und x-Achse der Wert der Energie:
Auch die Bewegungsenergie E_B (oder auch kinetische Energie E_Kin) wird zusätzlich zum gefundenen Faktor v₂ von der Masse m abhängen.
Gewinnt ein Körper Bewegungsenergie durch eine konstante Kraft, die auf einer Strecke Δs wirkt, so gilt:
F·Δs=Δp/Δt·Δs=Δp·Δs/Δt=Δp·v. Δp ist dabei der gesamte Impuls, der bei der Geschwindigkeit v erreicht wurde.
Trägt man auch hier im v-p-Koordinatensystem den entsprechenden Graph auf, so ergibt sich eine Ursprungsgerade und zwischen Ursprungsgerade und v-Achse als Flächeninhalt der entsprechende Energiewert: E_B=1/2·m·v²
Ähnlich verläuft die Herleitung der Spannenergie E_Sp:
Nach dem Hookeschen Gesetz F~s bzw. F=D·s wächst die Kraft linear mit der Auslenkung der Feder.
Graph und Flächenberechnung ergeben E_Sp=1/2·D·s².
Mit Hilfe der Integralrechnung lassen sich diese Herleitungen später eleganter lösen.
Wenn man mit Energien rechnet, werden manche Rechnungen sehr einfach.
Fragt man nach der Geschwindigkeit, die ein Körper, der aus der Höhe h fällt, am Boden erreicht, so haben wir vor einem halben Jahr die Gleichungen s=1/2·g·t2 und v=g·t verknüpft.
Einfacher geht es mit Hilfe einer Energiebetrachtung:
E_Pot,Beginn=E_Kin,Ende ---> m·g·h=1/2·m·v² ---> v=√(2·g·h) (Anmerkung: Die Masse spielt bei diesem Vorgang keine Rolle, da sie in der Formel nicht vorkommt!)

2009-06-04

Energie kann man nicht aus dem Nichts erzeugen und Energie verschwindet nicht einfach.
Würde Energie aus dem Nichts erzeugt werden können, so wäre es möglich, ein Perpetuum mobile (1, 2) zu bauen, eine Maschine, die ohne Energiezufuhr ewig laufen würde und darüber hinaus auch noch überschüssige Energie erzeugen könnte.
Energie verschwindet nicht einfach (z.B. wenn ein Ball nach mehrmaligen Hüpfen auf dem Boden liegen bleibt), sondern wird durch Reibungseffekte in innere Energie bzw. Wärme (=Bewegungsenergie der Atome und Moleküle) umgewandelt.
Folge ist, dass Energien sich ineinander umwandeln können und dass die Gesamtenergie eines Systems immer konstant ist. Es gilt der Energieerhaltungssatz (1, 2).
Wir haben folgende Aufgabe gerechnet:
2 Körper bewegen sich aufeinander zu und stoßen elastisch zusammen. Nach dem Stoß bewegen sie sich mit unterschiedlicher Geschwindigkeit voneinander fort.
Die Massen der Körper sind m₁=2kg, m₂=6kg und die Geschwindigkeiten vor dem Stoß v₁=4m/s und v₂=-2m/s. Gesucht sind die Geschwindigkeiten v₁' und v₂' nach dem Stoß.
Lösung: Da 2 Größen unbekannt sind, benötigen wir ein Gleichungssystem mit 2 Gleichungen.
Wir nehmen dazu den Impulserhaltungssatz und den Energieerhaltungssatz, setzen die Werte ein, lösen die eine Gleichung nach v₂' auf und setzen das Ergebnis in die andere Gleichung ein:
Impulserhaltungssatz m₁·v₁+m₂·v₂=m₁·v₁'+m₂·v₂'
Energieerhaltungssatz 1/2·m₁·v₁²+1/2·m₂·v₂²=1/2·m₁·v₁'²+1/2·m₂·v₂'² ---> (dividiert durch 1/2) m₁·v₁²+m₂·v₂²=m₁·v₁'²+m₂·v₂'²Rechnungen ohne Einheiten, da sich die Einheit kg herausteilt und das Ergebnis in der Einheit m/s abgezeigt wird.
Impulserhaltungssatz 2·4+6·(-2)=2·v₁'+6·v₂' ---> 8-12=2·v₁'+6·v₂' ---> -4=2·v₁'+6·v₂' ---> v₁'=(-4-6·v₂')/2=-2-3·v₂'
Energieerhaltungssatz 2·4²+6·(-2)²=2·v₁'²+6·v₂'² ---> 32+24=2·v₁'²+6·v₂'² ---> 56=2·v₁'²+6·v₂'² ---> 28=v₁'²+3·v₂'² --->
28=(-2-3·v₂')²+3·v₂'²=4+12·v₂'+9·v₂'²+3·v₂'² ---> 12·v₂'²+12·v₂'-24=0 ---> v₂'²+v₂'-2=0 --->
1. Lösung: v₂'=-1/2+√(1/4+8/4)=-1/2+√(9/4)=-1/2+3/2=2/2=1
daraus folgt v₁'=-2-3·1=-5
Der erste Körper bewegt sich also nach dem Stoß nach links mit 5m/s, der zweite Körper bewegt sich nach rechts mit 1m/s.
2. Lösung:
v₂'=-1/2-√(1/4+8/4)=-1/2-√(9/4)=-1/2-3/2=-4/2=-2
daraus folgt v₁'=-2-3·(-2)=-2+6=4
Man sieht, dass v₁=v₁' und v₂=v₂' . Die Körper haben sich also gar nicht getroffen, sondern sind aneinander vorbeigefahren.
Links zum zentralen elastischen Stoß: Theorie zu Sonderfällen - Allgemeine Herleitung zur Bestimmung der Geschwindigkeiten nach dem Stoß.

2009-06-09

Versuch zur Bestätigung des Energieerhaltungssatzes am Beispiel einer Schraubenfederschwingung.

Der untere Ansatz einer Schraubenfeder befindet sich auf der Höhe 1.
Nachdem die Masse m angehängt wird ist der untere Ansatz der sich in Ruhe befindenden Schraubenfeder auf der Höhe 2.
Nun wird die Schraubenfeder noch ein Stück per Hand nach unten ausgelenkt, so dass der untere Ansatz auf der Höhe 3 zu finden ist.
Auf der Höhe 4 ist eine Lichtschranke angebracht, die die Verdunkelungszeit t durch eine Papierfahne der Länge L misst. Man nimmt näherungsweise an, dass sich während der Verdunkelung die Schraubenfeder mit konstanter Geschwindigkeit bewegt und kann dann diese Geschwindigkeit aus den Messergebnissen berechnen.
Anschließend wird die Gesamtenergie aus der potenziellen Energie E_Pot, der Spannenergie E_Sp und der kinetischen Energie E_Kin an der Höhe 4 berechnet und mit Gesamtenergien an anderen Orten verglichen. Dann sollte zu sehen sein, dass die Gesamtenergie auf allen Höhen identisch ist.
Messwerte: m=260g; L=2cm; Höhe1=735mm; Höhe2=510mm; Höhe 3=400mm; Höhe4=545mm; t=0,0239s
2 weitere Messungen bei verschiedenen Werten von Höhe 3:
H3=300mm; t= 0,0133s
H3=200mm; t=0,0108s
Auswertung in der nächsten Stunde.

2009-06-11

Auswertung der Messung aus der letzten Stunde:
Die Gesamtenergie auf der Höhe 4 soll berechnet werden. Es liegen dort Energien in Form von E_Pot, E_Sp und E_Kin vor.
Es gilt: E_gesamt=E_Pot+E_Sp+E_Kin =m·g·h+1/2·D·s²+1/2·m·v²

Die Gewichtskraft F_G der Masse m entspricht der Kraft F, die die Schraubenfeder um die Länge s₀ verlängert (von 1 nach 2, also 225mm=0,225m).
Man kann also schreiben: F_G=F ---> m·g=D·s₀ ---> D=m·g/s₀ .
Den 0-Punkt der potenziellen Energie legen wir in die Ebene 3. Damit ist h der Abstand zwischen den Ebenen 3 und 4, also 145mm=0,145m.
s ist die Verlängerung der Schraubenfeder von Ebene 1 zu Ebene 4, also 190mm=0,19m.
v berechnet sich aus der Hohe L der Papierfahne und der gemessenen Zeit t: v=L/t.
m=0,26kg ; L=0,02m ; g=9,81m/s²
Es gilt also (Einheiten werden weggelassen): E_gesamt4=0,26·9,81·0,145+1/2·(0,26·9,81/0,225)·0,19²+1/2·0,26·(0,02/0,0239)² = 0,3698+0,2046+0,0910 = 0,6655
Auf der Höhe 3 besitzt der Körper die kinetische Energie 0, weil dort der Umkehrpunkt der Schwingung ist.
Auch die potenzielle Energie ist dort 0, weil der Nullpunkt auf das Niveau 3 gelegt wurde.
Folglich ist nur die Spannenergie von 0 verschieden. Das s ist der Abstand zwischen den Ebenen 1 und 3, also 335mm=0,335m.
Es folgt: E_gesamt3=1/2·D·s²=1/2·(m·g/s₀)·s²=1/2·(0,26·9,81/0,225)·0,335² = 0,6361

Die weiteren Messungen ergeben für

H3=300mm ; t=0,026s : Energie auf Ebene 4: E_gesamt4=0,9064
Energie auf Ebene 3: E_gesamt3=1,0725
H3=250mm ; t=0,0079s : Energie auf Ebene 4: E_gesamt4=1,7902
Energie auf Ebene 3: E_gesamt3=1,3333

Information: Bei genaueren Messungen würde sich ergeben, dass E_gesamt4=E_gesamt3 . Der Energieerhaltungssatz besagt, dass auf jeder Höhe die Gesamtenergie gleich groß ist.

2009-06-16

Simulation/Berechnung zur Energie bei der Schwingung einer Schraubenfeder.
Es werden die potenzielle Energie, die kinetische Energie, die Spannenergie und die Gesamtenergie graphisch dargestellt.
Frei gewählt werden können die angehängte Masse m, die dadurch bewirkte Auslenkung s₀ der Schraubenfeder, der Ortsfaktor g, die Anfangsauslenkung h0 und die Zeitdifferenz Δt zwischen 2 "Messzeiten".